Презентация по решению геометрических задач при подготовке к ОГЭ

• 1 слайд

  Решение геометрических
  задач при подготовке
  к ОГЭ
  «Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач - одним»
  ПОЙА
  

• 2 слайд

  Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических
  фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с
  самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.
  
  В качестве эпиграфа своего выступления я взяла слова известного математика Пойа:
  «Лучше решить одну задачу несколькими способами,
  чем несколько задач – одним»
  
  

• 3 слайд

  И это не случайно. Я хочу показать, что при подготовке к экзаменам, необходимо отрабатывать умения решать задачи именно так как сказал великий математик, т.е. решать задачи несколькими способами.
  
  Начну с решения задачи из первой части.
  
  
  

• 4 слайд

  Задача 1.
  Найдите длину отрезка АN, если радиус изображенной на рисунке окружности ОК =3, АК = 2.
  Решение.
  1 способ. АN – касательная к окружности, АМ – секущая. Если
  из точки А к окружности проведены
  касательная и секущая, то квадрат
  отрезка касательной от точки А до
  точки касания равен произведению
  отрезков секущей от точки А до
  точек пересечения секущей с
  окружностью. АN2 = АК ∙ АМ = 2 ∙ 8 = 16
  АN = 4.
  
  
  
  

• 5 слайд

  2 способ
  Проведем радиус ОN. Касательная к
  окружности перпендикулярна к радиусу,
  проведенному в точку касания.
  Значит, ∆АNО – прямоугольный.
  АО = 5, NО = 3. По теореме Пифагора
  
  
  3 способ
  По основному тригонометрическому тождеству
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 6 слайд

  
  
  
  Задачи из второй части экзаменационной работы
  Задача 2.
  В трапеции АВСD точка К – середина основания АВ. Известно, что СК = КD. Докажите, что трапеция равнобедренная.
  Решение.
  1 способ. Т. к. СК = КD, то ∆СКD – равнобедренный, а в
  равнобедренном треугольнике углы при
  основании равны .
  как накрест лежащие при
  пересечении параллельных прямых DС и АВ
  секущей DК, как накрест
  лежащие при пересечении параллельных
  прямых DС и АВ секущей СК. Т. к. , то
  . Рассмотрим ∆АКD и ∆ВКС. АК = КВ, DК = СК – по
  условию, − по доказанному, то ∆АКD = ∆ВКС
  по первому признаку равенства треугольников.
  Из равенства треугольников следует, что АD= СВ ,
  следовательно трапеция АВСD – равнобедренная
  .
  
  
  
  
  1
  2
  

• 7 слайд

  2 способ
  1
  2
  Проведем высоты DН и СМ. ∆DКН = ∆СКМ по гипотенузе и катету (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, DК = СК – по условию)
  (Дальше как в первом способе).
  
  Н
  М
  3 способ
  Из равенства ∆DКН и ∆СКМ следует, что НК = КМ.
  
  
  
  
  Значит, прямоугольные треугольники АDН и ВСМ равны по двум катетам
  (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми, АН = МВ по доказанному). Из равенства треугольников следует, что АD= СВ трапеция АВСD – равнобедренная.
  
  
  
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  
  
  
  Задача 3
  В равнобедренном треугольнике АВС стороны АВ = ВС = 10,
  соs АВС = . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
  Решение.
  1 способ.
  
  По теореме косинусов
  Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы . Площадь данного треугольника можно найти следующими способами: 1.
  
  2. 3.
  р =
  
  
  
  Значит,
  
  
  н
  

• 9 слайд

  Мы знаем, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Проведем биссектрису ВН. Т. к. в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают, то биссектриса ВН будет и медианой, и высотой.
  
  Из ∆АВН по теореме Пифагора .
  
  2 способ
  D
  Проведем радиус ОD в точку касания. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Прямоугольные треугольники АВН и ОВD подобны по двум углам (угол АВН – общий, углы Н и D равны как прямые). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.
  Пусть ОН= х, тогда ВО = 8 – х.
  х = 3. Значит, радиус НО = 3.
  
  O
  Н
  D
  

• 10 слайд

  O
  Н
  D
  3 способ
  Начало такое же, как во 2-м способе. Только рассмотрим не подобные треугольники, а прямоугольный треугольник ОВD.
  Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.
  Пусть ОН = ОD = х, тогда ВО = 8 – х. По теореме Пифагора имеем уравнение:
  
  Значит, радиус НО = 3.
  
  
  O
  Н
  D
  4 способ
  Проведем ВН (не будем проводить ОD, но точку касания D обозначим). Из второго способа
  Из ∆АВН по теореме Пифагора
  Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6. ВD = 10 – 6 = 4.
  По теореме о касательной и секущей ВD2 = ВМ ∙ ВН
  16 = ВМ ∙ 8, ВМ = 2
  МН = 2r = 8 – 2 = 6 r = 3. Значит, радиус НО = 3.
  
  
  М
  

• 11 слайд

  5 способ
  O
  Н
  Проведем ВН и АО. Т.к. центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис, то АО – биссектриса угла А, а значит, и биссектриса треугольника АВН. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
  Пусть ОН = х, тогда ВО = 8 – х.
  
  16х = 48, х = 3. Значит, радиус НО = 3.
  
  O
  Н
  D
  6 способ
  Из ∆АВН: ВD = 4.
  
  Из ∆ОВD: ОD = 3.
  
  Значит, радиус НО = 3
  Ответ: радиус вписанной окружности равен 3.
  

• 12 слайд

  
  
  
  Задача 4.
  Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
  

• 13 слайд

  Решение.
  1 способ.
  Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2): 1) Из точки О2 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р) 2) Из точки О1 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К) 3) Из точки О1 к точке О2. Заметим, что: 1) СМ=АС/2, 2) СР=СМ, 3) СМ=СК, 4) O1O2=R+r, 5) O2Р перпендикулярна BC, п6) O1К тоже перпендикулярна BC, 7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС. Следовательно, O2Р || O1К (по свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что О1О2РК - прямоугольная трапеция (по определению трапеции).
  

• 14 слайд

  Рассмотрим эту трапецию. Проведем отрезок О2Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О1К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O1O2Е - прямоугольный. Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2. Подставим известные нам данные, полученные ранее: (R+r)2=AC2+(R-r)2. Раскрываем скобки, получаем: R2+2Rr+r2=AC2+R2-2Rr+r 2
  2Rr=AC2-2Rr , 4Rr=AC2 , r=AC2/4R, r=122/4*8 r=144/4*8, r=4,5
  
  Ответ: радиус вписанной окружности равен 4,5.
  
  

• 15 слайд

  2 способ
  О – центр вписанной окружности, АО и ВD – биссектрисы углов А и В
  Т.к. АВС по условию равнобедренный, то биссектриса ВD – медиана и высота
  АК - биссектриса < MAC (по свойству отрезков касательных, проведенных из т.А)
  
  
  
  ОАК – прямоугольный, AD – высота
  
  AD2 = OD . DK, OD
  
  Ответ: радиус вписанной окружности равен 4,5.
  
  

• 16 слайд

  Задания на экзамене предлагаются каждый год разные. Мы не можем знать заранее, какие задачи будут на экзамене. Поэтому, чтобы ученики могли уверенно решать предложенные задачи, им надо хорошо знать теорию, т.е. определения и формулировки теорем. А решая задачу разными способами, они повторяют весь изученный теоретический материал.
  Материал подготовила учитель математики МКОУ «Каменская ОШ» Астапенко Татьяна Васильевна
  
  
  РМО учителей математики, май 2017