Презентация по теме "Экстремум функции с единственной критической точкой"

• 1 слайд

  Экстремум функции с единственной критической точкой.
  

• 2 слайд

  
  
  Максимум: - 3; 6
  Минимум; 3
  Возрастает: (-9;-3) и (3;6)
  
  Убывает: (-3;3)
  По графику производной функции определите, на каких промежутках функция возрастает, на каких убывает. Укажите точки максимума и минимума
  

• 3 слайд

  По графику производной функции определите, на каких промежутках функция возрастает, на каких убывает.
  y = f ´(х)
  

• 4 слайд

  Ответ: 4
  

• 5 слайд

  Ответ: 2
  

• 6 слайд

  Ответ: 3
  

• 7 слайд

  Ответ: 1
  

• 8 слайд

  Внутреннюю точку х0 промежутка I, т. е. точку, принадлежащую интервалу (а; b), называют критической точкой функции f(x), если производная f'(x) в этой точке равна нулю или не существует. С другой стороны, если в точке х0 ∈ (а; b) функция достигает экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует, т. е. точка х0 критическая.
  Пусть на промежутке I с концами а и b определена функция f(x). Требуется найти ее локальные экстремумы на промежутке I.
  

• 9 слайд

  Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке I вместе со своей производной f'(x). Рассмотрим случай, когда внутри промежутка I нет критических точек. Тогда производная f'(x) на интервале (а; Ь) должна иметь один и тот же знак, так как если бы в двух разных точках х1 и х2 интервала (а; Ь) производная f'(x) имела бы разные знаки, то вследствие ее непрерывности между точками х1 и х2 нашлась бы точка с, в которой f'(c) = 0, что невозможно, так как на интервале (а; Ь) нет критических точек.
  
  Но если производная на всем интервале сохраняет один и тот же знак, то функция f (x) возрастает на промежутке I, если
  f'(x) > 0, или убывает на промежутке I , если f'(x) < 0, т.е. функция f(x) строго монотонна на промежутке I.
  

• 10 слайд

  Пусть теперь на промежутке I с концами а и b функция f(х) непрерывна вместе со своей производной f '(x) и на интервале (а; b) имеется единственная ее критическая точка . В этом случае промежуток I делится на два промежутка — один с концами а и , другой с концами и b .
  
  
  
  Внутри этих промежутков критических точек нет. Поскольку точка — критическая, то в ней производная равна нулю.
  Это возможно только в четырех случаях
  

• 11 слайд

  Случай 1
  На рисунке изображен график функции f (x), имеющий единственную критическую точку х0 на промежутке с концами а и b и в этой точке достигается минимум на промежутке с концами а и b. При этом f '(x) < 0 слева от точки х0, т. е. на интервале (а; х0), и f '(x) > 0 справа от точки х0, т. е. на интервале (х0; b).
  

• 12 слайд

  Случай 2
  На рисунке изображен график функции f (x), которая в точке х0 достигает максимума на всём промежутке с концами а и b, при
  этом f '(x) > 0 слева от точки х0 и f '(x) <0 справа от неё.
  

• 13 слайд

  Случаи 3 и 4.
  На рисунках изображены графики функций, у которых в точке х0 нет ни максимума, ни минимума
  

• 14 слайд

  Утверждение 1
  Пусть на промежутке I с концами а и b функция f(x) непрерывна вместе со своей производной f '(x) и - единственная точка на интервале (а; b), в которой
  f '(x)=0. Тогда если на интервале (а; b) найдутся точки х1 и х2 , такие, что < < и:
  а)   f '( ) > 0, f '( ) < 0, то в точке функция f(x) достигает своего максимума на промежутке I ;
  б)   f '( ) < 0, f '( ) > 0, то в точке функция f(x)
  достигает своего минимума на промежутке I.
  
  Этот экстремум единственный.
  
  

• 15 слайд

• 16 слайд

  Утверждение 2
  Пусть на промежутке I с концами а и b функция f(x) непрерывна со своей своими первой и второй производными и - единственная точка на интервале (а; b), в которой f '(x)=0. Тогда:
  а) если f ''( ) > 0, то точка есть точка минимума функции f (х) на промежутке I;
  б) если f ''( ) < 0, то точка есть точка максимума функции f (х) на промежутке I.
  
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Если же в критической точке производная не существует, то справедливо утверждение 3
  Пусть на промежутке I с концами а и b функция f (х) непрерывна, а ее производная f '(x) существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала (а;b), кроме точки , в которой производная не существует. Тогда если на интервале (а; b) найдутся точки и , такие, что <  <  и:
  а) если f '( ) > 0, f '( ) < 0 то в точке функция f(х) достигает своего максимума на промежутке I;
  б) если f ' ( ) < 0, f '( ) > 0 то в точке функция f(х) достигает своего минимума на промежутке I.
  
  Этот экстремум единственный.