Презентация по теме "Комбинаторика"

• 1 слайд

  Комбинаторика
  

• 2 слайд

  Комбинаторика – это…
  раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.
  

• 3 слайд

  Комбинаторика
  Правило произведения;
  Перестановки;
  Размещения;
  Биномы Ньютона;
  Сочетания и их свойства
  
  

• 4 слайд

  Правило произведения:
  Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то всего существует n m различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.
  

• 5 слайд

  Правило произведения
  Задача:
  Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?
  Решение:
  В качестве первой цифры может быть выбрана любая из цифр 1, 2, 3 (n=3). Второй цифрой может быть выбрана любая из четырёх данных цифр 0, 1, 2, 3 (m=4). Согласно правилу произведения число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных цифр, равно n m=3 4= 12.
  Ответ: 12.
  

• 6 слайд

  Перестановки
  Определение:
  Перестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.
  

• 7 слайд

  Перестановки без повторений
  Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
  

• 8 слайд

  Задача:
  В морозильной камере лежат пять порций мороженого от различных фирм. Сколькими способами можно выбрать порядок их съедения?
  
  Решение:
  Пусть первому мороженому соответствует цифра 1, второму – цифра 2 и так далее. Мы получим множество U={1,2,3,4,5}, которое будет представлять содержимое морозилки. Порядок съедения может быть таким: (2,1,3,5,4) или таким: (5,4,3,1,2). Каждый подобный набор есть (5,5)-выборка. Она будет упорядоченной и без повторений. Иными словами, каждая такая выборка есть перестановка из 5 элементов исходного множества. Согласно формуле общее количество этих перестановок таково:P5=5!=120. Следовательно, существует 120 порядков выбора очередности съедения.
  Ответ: 120.
  

• 9 слайд

  Перестановки с повторениями
  Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые, задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.
  

• 10 слайд

  Задача:
  Слова составляются на основе алфавита U={a,b,d}. Сколько различных слов из семи символов может быть составлено, если в этих словах буква "a" должна повторяться 2 раза; буква "b" – 1 раз, а буква "d" – 4 раза?
  
  Решение:
  Вот примеры искомых слов: "aabdddd", "daddabd" и так далее. Буквы каждого слова образуют (3,7)-выборку с повторениями: (a,a,b,d,d,d,d), (d,a,d,d,a,b,d) и т.д. Каждая такая выборка состоит из двух элементов "a", одного элемента "b" и четырёх элементов "d". Иными словами, k1=2, k2=1, k3=4. Общее количество повторений всех символов, естественно, равно объёму выборки, т.е. k=k1+k2+k3=7. Подставляя эти данные в формулу, будем иметь:
  P7(2,1,4)=7!2!⋅1!⋅4!=105. Следовательно, общее количество искомых слов равно 105.
  
  Ответ: 105
  
  

• 11 слайд

  Размещения
  Задача:
  Сколько различных двузначных чисел можно записать из цифр 1,2,3,4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?
  На первом месте может стоять любая из этих цифр, а на втором – любая из трех оставшихся.
  По правилу произведения 4*3=12, следовательно ответ 12 двузначных чисел.
  
  

• 12 слайд

  Размещения
  Проверим ответ с помощью перебора:
  12, 13, 14,
  21, 23, 24,
  31, 32, 34,
  41, 42, 43.
  
  Ответ: 12.
  

• 13 слайд

  Размещения
  Определение:
  Размещениями из m по n элементов (n меньше или равно m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.
  Так при решении задачи было установлено, что А из 2 по 4 было равно 12, где А – число размещений.
  

• 14 слайд

  Бином Ньютона
  Определение:
  Двучлен вида a+b называют биномом.
  
  

• 15 слайд

  Рассмотрим целые неотрицательные степени бинома a+b (при условии a+b≠0):
  (a+b)0=1,
  (a+b)1=1∙a+1∙b
  (a+b)2=1∙a2+2ab+1∙b2
  (a+b)3=1∙a3+3a2b+3ab2+1∙b3
  (a+b)4=1∙a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1∙b3
  и т. д.
  Бином Ньютона
  

• 16 слайд

  Формула бинома Ньютона
  Числа называют биномиальными коэффициентами, которые могут быть найдены по фор­муле:
  
  

• 17 слайд

  Треугольник Паскаля
  

• 18 слайд

  Правило построения треугольника Паскаля:
  
  В вершине треугольника пишем 1. Единица соответствует выражению (a+b)0, поскольку любое число, возведённое в нулевую степень, даёт единицу.
  

• 19 слайд

  2. Достраивая треугольник, ниже пишем ещё по единице. Это коэффициенты разложения того же двучлена, возведённого в первую степень: (a+b)1=a+b.
  

• 20 слайд

  3.Стороны треугольника образуют единицы, а между ними — сумма двух единичек, находящихся сверху, то есть 2. Это и есть коэффициенты трёхчлена «квадрат суммы»:
  a2+2ab+b2.
  

• 21 слайд

  4. Следующий ряд, как и предыдущий, начинается и заканчивается единицами, а между ними — суммы цифр, находящихся сверху: 1, 3, 3, 1. Мы получили коэффициенты разложения «куба суммы».
  

• 22 слайд

  5. Ряд коэффициентов двучлена четвёртой степени составят 1, 4, 6, 4, 1 и так далее.
  
  

• 23 слайд

  Для примера с помощью треугольника Паскаля разложим в многочлен сумму двучленов в шестой степени:
  
  (a + b)6=a6+6a5b + 15a4b2+20a3b3 + 15a2b4+6ab5+b6.
  
  

• 24 слайд

  При записи разложения степени бинома полезно контролировать следующие моменты:
  
  Число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя n степени бинома, т. е. равно n + 1;
  Показатели степени первого слагаемого бинома (a) последовательно убывают на единицу от n до 0, а показатели второго (b) последовательно возрастают на единицу от 0 до n;
  Биномиальные коэффициенты, равноудалённые от начала и конца разложения по формуле, равны между собой.
  

• 25 слайд

  Сочетания и их свойства
  Определение:
  Сочетаниями из m элементов по n элементов в каждом (n≤m) называются соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из данных m разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.
  Обозначают:
  Читают: «C из N по M»
  

• 26 слайд

  Сочетания и их свойства
  По правилу произведения число таких соединений равно
  Образуем все соединения, содержащие m элементов, выбранных из данных n разных элементов, без учета порядка их расположения. Число таких соединений равно
  
  Из каждого полученного соединения перестановками его элементов можно образовать
  соединений, отличающихся одно от другого только порядком расположения его элементов. Получим все размещения из n элементов по m, число которых равно
  

• 27 слайд

  Сочетания и их свойства
  Формулы:
  , где m≤n и
  
  , где m≤n
  

• 28 слайд

  Сочетания и их свойства
  Свойства:
  
  
  
  +1 +1
  + +1