Презентация "Введение понятия комплексные числа"

• 1 слайд

  Cпособы введения понятия
  "Комплексные числа"
  Выполнила:
  Голованова Е.П.
  2013 г.
  

• 2 слайд

  Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Ю.М. Колягин;
  Математика. Алгебра. Начала математического анализа. 10 класс. М.И. Шабунин
  Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. А.Г. Мордкович
  Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. М.Я. Пратусевич
  Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. С.М. Никольский
  1
  2
  3
  4
  5
  Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Н.Я. Виленкин
  

• 3 слайд

  1
  Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.
  Для разрешимости уравнения вида х + а = b положительных чисел недостаточно
  Х + 5 = 2
  Для разрешимости уравнения вида ах = b целых чисел недостаточно
  2х = 3
  отрицательный корень
  корень дробное число
  

• 4 слайд

  Целые и дробные числа образуют множество рациональных чисел. На нем разрешимы уравнения первой степени вида ах + b = 0 (а≠0). Для разрешимости уравнений степени выше первой рациональных чисел недостаточно.
  х 2 = 2, х3 = 5
  иррациональный корень
  Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Но и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение.
  х 2 + 1 = 0
  i – комплексное число (корень уравнения)
  Определение:
  Комплексными числами называют выражения вида а + bi, где а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что i2 = - 1. (Ю.М. Колягин)
  Комплексными числами называют упорядоченные пары (a, b) действительных чисел а и b, для которых следующим образом определены понятие равенства и опреации сложения и умножения. (М. И. Шабунин)
  

• 5 слайд

  2
  Автор предлагает рассмотреть «плюсы» и «минусы» основных числовых систем. Каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки. У более сложной системы больше различных возможностей по ее использованию и применению, но при этом и само построение такой системы, и знание многочисленных деталей, очевидно требует больших усилий и большего времени.
  

• 6 слайд

  Расширение числовых систем.
  

• 7 слайд

  Определение:
  Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа.
  В записи z = a + bi число а называют действительной частью комплексного числа z, а числоb – мнимой частью комплексного числа z. (А.Г. Мордкович)
  

• 8 слайд

  3
  Автор учебника при введении понятия «комплексные числа» опирается на исторические факты.
  Учащимся предлагается рассмотреть решение уравнения х3 – 13х – 12 = 0, где вместо х подставляют z + a/z, а а положи равно 13/3. В результате получаем уравнение z6 + 12z3 + (13/3)3 = 0 с отрицательным дискриминантом D/4 = - 1225/27. Как же найти корни? «Самое простое», - говорит автор- «обозначить корень из – 1 некоторой буквой, например i…». В итоге получаем z3 = 6 ±(35/3√3)i.
  Определение:
  Множеством комплексных чисел называется множество упорядоченных пар вещественных чисел (а; b) с введенными на нем двумя операциями сложения ( знак операции обозначается +) и умножения (знак операции обозначается · или ×), определенными следующим образом:
  
  

• 9 слайд

  4
  Автор достаточно скупо обговаривает причину введения новых чисел. Появление комплексных чисел обосновывается потребностью, например, найти число квадрат которого равен (-1) или решить уравнение с отрицательным дискриминантом.
  
  Введение нового материала можно построить на базе материала предложенного Ю.М. Колягиным и М.И. Шабуниным.
  

• 10 слайд

  5
  «До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – измерение любой величины… Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.»
  ax2 + bx + c = 0
  D > 0
  D = 0
  D < 0
  2 корня
  1 корень
  ?
  

• 11 слайд

  «Ряд вопросов возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расшить множество действительных чисел, присоединив к нему новое число i, такое, что i2 = - 1.»
  Определение:
  Комплексным числом z называют пару (а;b) действительных чисел а и b, взятых в определенном порядке. Две пары (а;b) и (с;d) задают одно и то же комплексное число в том и только том случае, когда они совпадают, т.е. когда а = с и b = d.
  

Краткое описание документа:

Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов математики. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

В презентации рассмотрены методы введения понятия "Комплексные числа", предлагаемые авторами учебников алгебры и начала математического анализа 10 - 11 классов для профильной школы.