Применение производной к исследованию функций

Карта - информатор

Тема: Применение производной к исследованию функций.

1.      Применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функции:

Если  на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.

Если  на промежутке, то функция убывает на этом промежутке.

2.      Экстремумы функции:

а) Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными.

      б) Пусть функция f(x)  дифференцируема на интервале (а, в),  и

Тогда:

1)      если при переходе через стационарную точку функции  ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е.  справа от точки  и  слева от точки , то - точка максимума функции .

2)      если при переходе через стационарную точку функции  ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс»,  то - точка минимума функции .

       в)  Точки минимума и точки максимума  называются точками экстремума.

       г)   Точки, в которых  функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема,

              называют критическими точками этой функции.

3. Применение производной к построению графиков функций.

      План исследования функции:

1)      найти область определения функции;

2)      найти производную;

3)      найти стационарные точки ( решить уравнение );

4)      найти промежутки возрастания и убывания;

5)      найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

  Результаты исследования записать в виде таблицы. Используя таблицу построить график. Для более точного построения найти еще несколько точек графика.

3.      Наибольшее и наименьшее значения функции:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке  нужно:

      1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа  и .

2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу ;

3)  из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры: 1. Найти интервалы возрастания  и убывания функции

Решение:    решая неравенство  находим интервал возрастания, т.е.  .     Решая неравенство  находим интервал убывания, т.е.  .   Ответ: возрастает на промежутке ; убывает на промежутке ..

 2. Найти стационарные точки функции

  Решение: Найти производную: Найти стационарные точки, т.е.решить уравнение    ; методом интервалов

можно установить, что  при    при   и при

При переходе через точку   производная меняет знак  с «минуса» на «плюс»,  точка - точка минимума, при переходе через точку  производная не меняет знак, точка не является точкой экстремума.

4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Решение: 1.

2.   3. Стационарные точки: ,    4.Интервалу  принадлежит одна точка х = 1.

5. Из чисел 0; 2; -2 наибольшее 2, наименьшее -2.