Проект "Олимпиадные задачи по математике"

• 1 слайд

  Авторы: ученики 11 класса
  Локтионова Евгения,
  Киселев Никита,
  ученица 8 класса
  Метлякова Анжелика
  Руководители: Петрова Р.В., Кольцова М.Н.
  Олимпиадные задачи
  по математике
  МКОУ «СОШ п. Чернореченский» Искитимского района
  2018 г.
  

• 2 слайд

  Можно ли подготовиться к успешному решению олимпиадных задач по математике?
  Основополагающий вопрос:
  

• 3 слайд

  Изучение методов решения олимпиадных задач повысит интерес учащихся к принятию участия в них; способствует развитию компетентной личности, владеющей настойчивостью, инициативой, самостоятельностью.
  
  Гипотеза
  

• 4 слайд

  научиться решать олимпиадные задачи
  Цель:
  Задачи:
  изучить и понять типы олимпиадных задач;
  рассмотреть идеи и методы решения олимпиадных задач
  провести исследование среди учащихся нашей школы
  воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон
  
  

• 5 слайд

  решения олимпиадных задач заключается в предоставлении учащимся ещё одной возможности поступить по результатам олимпиад, повысить уровень математической грамотности, даёт шанс стать победителем!
  Актуальность
  

• 6 слайд

  - термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.
  Олимпиадные задачи в математике
  

• 7 слайд

  Олимпиады возникли в Древней Греции как состязания в ловкости, силе, красоте. Первая олимпиада состоялась 776 г. до н. э. Олимпиады проводились в Олимпии один раз в четыре года вплоть до 394 г. н. э., когда были запрещены в связи с распространением христианства. Вновь олимпиады возродились в 1896 г.
  
  

• 8 слайд

  Различного рода состязания проводились не только в спорте. Хорошо известна любовь к состязаниям в решении задач как на Руси, так и во многих других странах мира. Математические соревнования по решению задач также называются олимпиадами, хотя они проводятся в настоящее время с периодом не в четыре года, а, как правило, ежегодно.
  
  

• 9 слайд

  В России конкурсы по решению задач начали проводиться с 1886 г., в Венгрии и Румынии—с 1894 г., а в других странах значительно позже (в Беларуси – с 1950 г).
  Развивающий потенциал олимпиадных задач неисчерпаем.
  
  

• 10 слайд

  Логика
  Алгебра
  Геометрия
  Комбинаторика
  Теория чисел
  
  Разделы математики:
  

• 11 слайд

  Задачи по логике характерны отсутствием привязок к определённым математическим объектам.
  Для решения логических задач на олимпиадах, на самом деле, не
  нужны особые знания. Тем не менее полезно знакомство со следующими темами:
  
  Логика
  

• 12 слайд

  В кучке имеется n > 1 камней. Двое по очереди берут камни из
  этой кучки: минимум X и максимум Y камней. Проигрывает тот,
  кто не может сделать ход. При каком наименьшем n > Z у второго
  игрока есть выигрышная стратегия?
  
  Разбираем камни с кучки
  
  
  

• 13 слайд

  Ответом будет минимальное число большее Z, которое кратно x+y
  Стратегия заключалась в том, что
  Если число камней на куче кратно х+у, то первый взял сколько то, но второй берет так, чтобы на куче осталось число, кратное х+у
  Работает идея симметрии дополнения до х+у
  Например, если у нас в задаче
  Х=7, У=19, Z=124, то например первый взял 7, то второй должен взять так, чтобы оставшееся число делилось на сумму 7 и 19, т.е. 26, находим, что такое минимальное число это 130.
  Ответ :130
  

• 14 слайд

  В ряд выписано несколько букв А и Б. Среди любых подряд вы-
  писанных N букв А и Б встречаются поровну раз, а среди любых
  M букв подряд — не поровну. Какое наибольшее число букв может
  располагаться в этом ряду?
  
  АБсчитались
  

• 15 слайд

  Дано: N=100, M=102
  Мы видим, что среди любых 100 подряд, выписанных чисел, если делать сдвиги, то будет поровну букв А и Б. Среди N+2 букв уже не поровну букв, потому что будет 50 букв Б, но 52 буквы А. Почему нельзя реализовать большее количество букв?
  Посмотрим на первые 2 буквы и на последующие 100 буквы, мы с Вами знаем, что среди первых 100 число букв поровну, а среди 102 их не поровну, это что означает? Что первые 2 буквы одинаковые, это либо АА, либо ББ.
  
  
  Давайте поймем, что больше 150 быть не может. Допустим противное, что их чуть-чуть больше 150.
  

• 16 слайд

  Возьмем это блок 102-100 подвинем на 1 вправо
  Аналогично получим, что не 1,2 одинаковы, а 2 и 3-я одинаковы
  Давайте посмотрим, что происходит, где 150 букв. Мы можем двигать до момента, когда , но если у нас
  
  букв больше, чем 150, то у нас есть еще хотя бы она буква, то
  
  
  , т.е. букв 51, значит, среди 100 первых хотя бы 49 букв Б или меньше, противоречие. Значит, букв 150.
  

• 17 слайд

  В ряд стоит N лукошек с малиной: в первом одна ягода, во втором
  две, в третьем три и так далее. Время от времени является мистер
  Фокс и съедает одно и то же число ягод из нескольких лукошек
  (разумеется, в каждом ягод должно быть не меньше числа, которое
  выбрал мистер Фокс). За какое наименьшее число визитов мистер
  Фокс съест всю малину?
  
  Голодный, но принципиальный
  

• 18 слайд

  Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».
  Пример 1. Докажите, что простых чисел бесконечно много.
  Решение. Предположим противное, пусть p1, p2, . . . ,pn - все простые числа. Рассмотрим число N = p1p2 ...pn+1. Оно не делится ни на одно из чисел p1, p2, . . . , pn, иными словами, ни на одно простое число. Получаем противоречие с тем, что любое число имеет хотя бы один простой делитель.
  
  Доказательство от противного
  

• 19 слайд

  Пример 2
  Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.
  Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не меньше одного, третий - не меньше двух, четвёртый не меньше трёх, пятый - не меньше четырёх. Всего – не меньше десяти. Противоречие.
  
  

• 20 слайд

  Пример 3
  Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает тупой угол одной из граней.
  Решение. Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.
  
  

• 21 слайд

  Пример 4
  Докажите, что число log2 3 иррационально.
  Решение. Предположим противное. Пусть log2 3 = p/q, где p, q - натуральные числа. Тогда 2p/q= 3 или 2p = 3q. Последнее равенство невозможно, ибо чётное число не равно нечётному. Противоречие.
  
  

• 22 слайд

  Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета. Чётность в играх - это возможность сохранить чётность некоторой величины при своем ходе.
  
  Четность
  

• 23 слайд

  Пример 1
  Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
  Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
  
  

• 24 слайд

  Пример 2
  Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?
  Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.
  
  

• 25 слайд

  Пример 3
  У марсиан бывает произвольное число рук.
  Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных
  рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых
  нечётное число рук, чётно.
  Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным - нечётными. Поскольку руки образуют
  пары, то общее число рук чётно. Общее число рук у чётных
  марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже чётно. Следовательно, число нечётных марсиан
  чётно.
  

• 26 слайд

  Прочитайте все задачи и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Помните последние задачи обычно более сложные.
  Если для вас задача решалась слишком легко, то, скорее всего вы не поняли условие или где-то ошиблись.
  Если задача не решается – попробуйте упростить ее условие (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д) или порешать ее «с конца», «от противного», поставить вместо чисел переменные и т.д.
  Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить, хотя бы на время.
  Почувствовав усталость – отдохните (посмотрите в окно, закройте глаза, отвлекитесь).
  Решив задачу, сразу оформите ее решение. Это поможет проверить рассуждения и освободить мысли для других задач.
  Перед сдачей работы, проверьте еще раз написанное – поймут ли ваши решения задач члены жури?
  
  Памятка участнику олимпиады