Проект по теме: "Правильные многогранники вокруг нас"

Проект по теме

«Правильные многогранники вокруг нас»

Оглавление

I.Введение…………………………………………………………………………….3

II.Основная часть

2.1. История и понятие многогранников…………………………………………5

2.2.Виды правильных многогранников и их характеристики…………………….9

2.3. Связь геометрии и природы…………………………………………………..13

2.4.Многогранники в живописи………………………………………………….15

2.5. Многогранники в архитектуре………………………………………………..17

III.Практическая часть……………………………………………………............19

IV.Заключение…………………………………………………………….............23

V.Литература………………………………………………………………………..24

 

I.Введение

«Правильных многогранников вызывающе мало,

- но этот весьма скромный по  численности  отряд

 сумел пробраться в самые глубины различных наук».

Л. Кэролл

Есть в шкoльной геoмeтрии такиe тeмы,  кoтoрые  ждeшь  с  нeтeрпением, прeдвкушaя встрeчу с невероятно красивым материалом.  К  таким  темам  можно отнести "Правильные   многогранники".   Здесь   не   только    открывается удивительный мир геометрических тел,  обладающих  неповторимыми  свойствами, но и интересные научные факты. Но к сожалению в школьной программе мы не углубляемся в изучение правильных многогранников,  поэтому сведений об этих геометрических телах для меня недостаточно. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Они имеют красивые формы, обладают богатой историей, которая связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед.

С древнейших времен представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

Мы можем наблюдать, что многогранники встречаются и окружают нас повсюду.

Теория многогранников является современным разделом математики.

Безусловно, недостаточно узнавать и видеть многогранники в окружающем мире. Интересно уточнить их классификацию, разновидность, связь с миром людей. Этим и обусловлен выбор темы «Правильные многогранники  вокруг  нас».

Актуальность данного проекта состоит в том, что правильные многогранники – «вечные» тела. Интерес к ним тонкой нитью проходит через спираль всех времен.

Цель проекта: Изучить правильные многогранники.

Задачи проекта:

- ознакомиться с историей изучения многогранников;

- рассмотреть классификации многогранников;

- научиться моделировать многогранники;

- показать значение многогранников в повседневной жизни.

Гипотеза:  Если мы узнаем историю изучения многогранников, их классификацию, то сможем моделировать их на практике, находить в окружающем мире.

Объект исследования: раздел математики – геометрия.

Предмет исследования: многогранники.

Практическая значимость: изготовление объёмных фигур, развитие логического мышления  и применение  его на  практике  в решении задач  на нахождение  объёмов  и  построение  сечений  в  многогранниках.

II.Основная часть.

2. 1. История и понятие многогранников

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

              Рис.1

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

                          Рис.2

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти нарезных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции, создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.

Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов. Пифагорейцев поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Они считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Первоосновам бытия – огню, воде земле, воздуху, придавалась форма соответственно тетраэдра, икосаэдра, куба, октаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ – идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Платон также считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; гексаэдр – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух.

                      Рис.3

В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и плазменным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань.гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVI11 веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Многогранник	Вершины Грани		Рёбра
Тетраэдр	4	4	6
Куб	8	6	12
Октаэдр	6	8	12
Додекаэдр	20	12	30
Икосаэдр	12	20	30

В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.

2.2.Виды правильных многогранников и их характеристики.

Гексаэдр (более привычное название - куб).

 

 

            Рис.4

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Гексо» означает шесть, «хедра» - означает грань (Гексаэдр – шестигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Гранью многогранника является квадрат. Каждый из четырех углов равен 90 градусов.

Тетраэдр.

 

 

             Рис.5

 «Тетра» означает четыре, «хедра» - означает грань (тетраэдр – четырехгранник).  Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Тетраэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;

Число сторон у грани – 3;

Общее число граней – 4;

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Общее число вершин – 4;

Общее число рёбер – 6.

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Октаэдр.

 

 

         Рис.6

 

 «Окто» означает восемь, «хедра» - означает грань (октаэдр – восьмигранник).  Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Октаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;

Число сторон у грани – 3;

Общее число граней – 8;

Число рёбер примыкающих к вершине – 4;

Общее число вершин – 6;

Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Додекаэдр.

 

          Рис.7

 

 «Додека» означает двенадцать, «хедра» - означает грань (додекаэдр – двенадцатигранник).  Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Додекаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный пятиугольник;

Число сторон у грани – 5;

Общее число граней – 12;

Число рёбер примыкающих к вершине – 3;

Общее число вершин – 20;

Общее число рёбер – 30;

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Икосаэдр.

«Икоси» означает двадцать, «хедра» - означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).   Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.

 

        Рис.8

Икосаэдр имеет следующие характеристики:

Тип грани – правильный треугольник;

Число сторон у грани – 3;

Общее число граней – 20;

Число рёбер примыкающих к вершине – 5;

Общее число вершин – 12;

Общее число рёбер – 30;

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

 2.3. Связь геометрии и природы.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии(Circjgjniaicosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и часто служат добычей коралловых рыбок. Но это простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, которые выходят из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Пчёлы – удивительные создания.

             Рис.9

Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остается просветов. Как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Эвклид мог бы поучиться, познавая геометрию сот».

              Рис.10

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как это считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Впрочем, многогранники – отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в искусстве.

2.4. Многогранники в живописи.

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр

Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии МаурицаКорнилисаЭшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. МаурицЭшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором.

Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

           Рис.11

Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры.

На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

             Рис.12

Форму додекаэдра, по мнению древних, имела ВСЕЛЕННАЯ, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. Поэтому архитектурные сооружения яркий тому пример.

2.5. Многогранники в архитектуре.

С точки зрения формы архитектура всегда была преимущественно кубической. Изредка встречались и другие Платоновы тела, то есть призмы, конусы, пирамиды, сферы, но все же куб имел подавляющее преимущество. По сути дела куб лежал в основе любой архитектурной формы нескольких последних тысячелетий.

Примером применения в архитектуре других Платоновых тел может служить Великая пирамида в Гизе. Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам пирамиды для их цариц. Она имеет форму правильного тетраэдра и является древнейшим из Семи чудес древности.

Также примером архитектурных сооружений с использованием многогранников является Фаросский маяк.

             Рис.13

Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Он состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.

Ещё один маяк, конструкция которого состоит из Платоновых тел - это Александрийский маяк. Он был построен в III веке до н.э., чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет.

Использование многогранников в архитектурных сооружениях можно наблюдать и в нашем городе. В первую очередь это конечно церкви, но наряду с историческими памятниками существуют и современные здания с яркими многогранниками.

IV.Практическая часть.

             Моделирование – построение моделей, процесс познания действительных объектов, метод изучения технических сооружений, мыслительный и практический вид деятельности, непосредственно создание моделей. Моделирование появилось тогда, когда человечество осознало свое место в окружающем мире и стало стремиться к пониманию и изменению его. Одной из разновидностей моделей являются геометрические модели. Они передают внешние признаки объекта: размеры, форму, цвет. Геометрические модели представляют собой некоторые объекты, геометрически подобные своему прототипу (оригиналу). Они служат для учебных и демонстрационных целей, используются при проектировании сооружений, конструировании различных изделий. Развитие творческих способностей заключается именно в том, чтобы раскрыть суть моделирования, его принципы и закономерности. На первых порах обучения дети работают по готовым эскизам и чертежам с использованием преимущественно репродуктивных, воспроизводящих методов. Частично применяются методы, способствующие умственному развитию учащихся, т.е. проблемные, исследовательские и др. Конструирование – один из способов моделирования. Оно представляет разработку совместимых типовых элементарных объектов (деталей) и создание более сложных объектов из этих деталей.

Практическая часть нашей работы заключалась в том, чтобы построить модели правильных многогранников. Для этого мы использовали такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер.

IV.Заключение

Проделанная  работа помогла узнать и убедиться в том, что многогранники на протяжении всей истории человечества не перестали восхищать пытливые умы симметрией, мудростью и совершенством своих форм.

Мы рассмотрели правильные многогранники и убедились, что не человек, а природа придумала эти удивительные формы. Мы всего лишь позаимствовали, то что создано до человечества. Создания природы красивы и симметричны. В ходе работы, мы выяснили, что многогранники играют немало важную роль в окружающей среде. Дальнейшее изучение многогранников позволит человечеству улучшить качество жизни, решить многие проблемы. Этой работой мы хотим заинтересовать всех, и дать возможность открыть тайны неизвестного.

Таким образом, многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду: спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников.

V.Литература.

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

2. Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.

3. Ворошилов А.В. Математика и искусство. – М. просвещение, 1992. – 352

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. – М.: Изд-во МГУ, 1994. – 495 с

5. Интернет Ресурсы: http://www.nips.riss-telecom.ru/polv/

6. Мир многогранников: http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm

7. История математики:http://mschool.kubsu.ru/

8. Библиотека электронных учебных пособий:http://www.ega-math.narod.ru/

9. Статьи по математике:http://dondublon.chat.ru/math.htm

10. Популярная математика:http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/index.htm