Проект "Практическое применение подобия треугольников" (9 класс)

           Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей № 41 г. Владивостока».

Индивидуальный проект

«Практическое применение подобия треугольников»

Автор работы:                                                                                                                                                                                         ученик 9 «В» класса

                                                                                                      Гринцевич Алексей

                                                                                         Научный руководитель:

Учитель математики «МБОУ Лицей №41»

        Азарова Т.А.

Владивосток

2022 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………...…..2

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ………………………………………………..…....…3

 1.1.  Историческая справка……………………………………………………..3

 1.2.  Понятие и признаки подобных треугольников …………………..……..4

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ………………………...……………………….6

2.1.  Метод 1 Измерение высоты объекта по луже или зеркалу………....…..6

2.2.  Метод 2 используя треугольник …………………………………...…….9

2.3.  Метод 3 используя пальцы рук ……...……………………………….....12

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………….14

3.1. СПИСОК  ИНФОРМАЦИОННЫХ  ИСТОЧНИКОВ …………...….15

Введение

    Часто в туристическом походе, путешествии и в других случаях часто возникает необходимость в определении расстояний до недоступных предметов, измерении их длин и высоты, в определении ширины реки или другого препятствия. Конечно, наиболее точно и быстро это можно сделать с помощью специальных приборов: дальномеров, биноклей. Но из-за отсутствия приборов часто расстояния определяют с помощью подручных средств и применения метода подобия.

Цель исследования:

Целью работы найти области применения подобия

треугольников в реальной жизни.

Гипотеза: Применение метода подобия треугольников позволит облегчить и ускорить вычисления при решении прикладных задач на определение размеров объекта и расстояния до недоступной точки.

Задачи исследования:

Изучение исторических сведений о теории возникновения подобия;

узнать, где применяется подобие треугольников;

Исследовать применение подобия треугольников

на примере измерительных работ;

Решение прикладных задач, связанных с подобием;

Актуальность: Я считаю, что применение метода подобия треугольников позволит облегчить и ускорить вычисления при решении прикладных задач на определение размеров объекта и расстояния до недоступной точки.

Методы исследования:  сбор, систематизация и обобщение информации, измерительные работы на местности. 

Объект исследования: подобные треугольники.

Методы исследования, которые я использовал, это были:

сбор, группировка и обобщение информации, измерительные работы на местности.

Оборудование: рулетка, шест, зеркало, бумажный треугольник, калькулятор.

2

Основная часть

Историческая справка:

В XVI веке в России нужды землемерия, строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение носит название «О земном верстании, как землю верстать». Оно является частью книги «Сошного письма», написанной, как полагают при Иване IV в 1556 году. Сохранившаяся копия относиться к 1629 году. При разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 году была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 годах и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сводятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний  (Из Книги Я.И. Перельмана “Занимательная геометрия”)

Способ Фалеса:

Согласно легенде, Фалес рассчитал высоту Великой Пирамиды

 путем измерения тени пирамиды точно в то время,

когда его собственная тень, стала равной его росту,

и что послужило основанием утверждать, что длина тени пирамиды

в данный момент равна её истинной высоте.

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Провёл некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал её высоту.

ВС – длина палки, DЕ – высота пирамиды. ∆ АВС подобен ⁓ ∆ С DЕ (по двум углам):  ВСА=  СED =90°;  АВС=  СDЕ, как соответственные при АВ || DС и секущей АС (солнечные лучи падают параллельно). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

DE:AD=FE:AB   DE=(CE * BC):AC                                                                       3

Таким образом, Фалес нашел высоту пирамиды.

Преимущества способа Фалеса в том, что не требуются вычисления.

Но есть недостаток, нельзя измерить высоту предмета при отсутствии солнца и, как следствие, тени

В повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры, но для данного проекта я использовал признаки подобия треугольников   

Признаки подобия треугольников:

 

Преобразование плоскости, при котором расстояния между точками умножаются на одно и то же число, называется подобием

Само это число называется коэффициентом подобия

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки,

позволяющие установить, что два треугольника

являются подобными без использования всех элементов.

4

Если два угла одного треугольника соответственно равны

 двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны

 двум сторонам другого треугольника и углы,

заключённые между этими сторонами, равны,

то такие треугольники подобны.

Если три стороны одного треугольника пропорциональны

 трем сторонам другого треугольника,

то такие треугольники подобны.

5

Практическое применение подобия треугольников

Метод 1 Измерение высоты объекта по луже или зеркалу

По луже. Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас 

Эксперимент  1

        

                   Рис.1                                                        Рис.2

В качестве проверки достоверности метода, я решил измерить опору моста, а в качестве зеркала, я использовал поднос с водой, где на второй фотографии видно верхушка опоры моста.

Используя  второй признак подобия, я рассчитал высоту опоры,

6

L2 : L1 = h2 : h1, где h1 – мой рост, h2 – высота опоры, L1 – расстояния от меня до лужи, а L2 – от лужи до опоры.

Мне необходимо узнать h2  (рис.1)  – то есть высоту опоры

479:45 = h2 : 171 

h2 = 479:45*171=1260,1 => 12,6 метров

Так же я решил сравнить полученный ответ с высотой в интернете и узнал, что высота опоры оказалась 12,5 метров. Я же получил 12,6,то есть метод имеет небольшую погрешность, как и другие методы.

Таким образом данный метод даёт очень хороший вычислительный результат.

Эксперимент  2

Рис.3

Так же я решил измерить второй объект, в качестве зеркала, я использовал поднос с водой, как и в прошлый раз.

Используя  второй признак подобия, я рассчитал высоту дерева,

7

L2 : L1 = h2 : h1, где h1 – мой рост, h2 – высота дерева, L1 – расстояния от меня до лужи, а L2 – от лужи до дерева.

Мне необходимо узнать h2  (рис.3)  – то есть высоту дерева.

444:192= h2 : 171 

h2 = 444:192*171=395,4=> 3,95 метра

В следующем методе я измерю это же дерево повторно и сравню результаты.

8

  Метод 2 используя треугольник

По треугольнику. Этот способ один, из самых простой. Для этого нам понадобится небольшой треугольник, сделанный из подручных средств.

 Для измерения нужно взять треугольник и встать на таком расстоянии, чтобы прислонив к один угол , прилежащий к гипотенузе к глазу, его второй угол доходил до вершины определяемого объекта. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько раз расстояние больше, чем высота треугольника + расстояние  от глаза до земли.

Эксперимент 1

Рис.4

В качестве измерения объекта я выбрал  дерево во дворе моего дома. Для измерения я использовал бумажный треугольник , сделанный из подручных средств.

L2 : L1 = h2 : h1, где h1 –высота треугольника, h2 – высота дерева,    L1 –длина треугольника, а L2 –расстояние от треугольника до дерева.

Используя  второй признак подобия, я рассчитал высоту дерева,                     9

Мне необходимо узнать h2  (рис.4)  – то есть высоту дерева

144:13 = (h2 -158) : 21

h2 = 137:13 *21+171=392,3=> 3,9 метра

С помощью монтажной лестницы и рулетки, я экспериментально измерил дерево, его высота получилась 3,96. Я же получил 3,92, метод о зеркалу же получилось 3,95 метра,  то есть метод имеет небольшую погрешность, как и другие методы.

Эксперимент 2

Рис.5

В качестве объекта для измерения я выбрал электрический столб.

Используя  второй признак подобия, я рассчитал высоту столба,                   10

L2 : L1 = h2 : h1, где h1 –высота треугольника, h2 – высота столба,    L1 –длина треугольника, а L2 –расстояние от треугольника  до столба.

Мне необходимо узнать h2  (рис.5 )  – то есть высоту столба.

1846:21 = h2 :13 

h2 =1846:21 *13 +171=1312,7=> 13,1 метров

Как итог я считаю что этот метод оказался довольно точным и очень удобным в использовании им тоже можно пользоваться.

 11

 Метод 3 используя пальцы рук

Он очень похож, на способ по треугольнику, но отличается тем, что используем руку в за место треугольника.

Эксперимент 1

Рис.6

В качестве первого эксперимента я решил измерить расстояние от измеренного мной ранее столба до пальца.

L2 : L1 = h2 : h1, где h1 –высота пальца, h2 – высота столба,    L1 –длина от глаза до пальца, а L2 –расстояние от пальца до столба

Используя  второй признак подобия, я рассчитал  длину до столба,

L2:58 =6:1310                                                                                                         12

L2 =1310:6 *58 +                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              58=14291,1=> 142,1 метра

Таким образом я узнал расстояние до объекта, по высоте решённого ранее объекта.

Метод 4 Измерение высоты дерева по шесту

Применение теории на практике: Определение высоты предмета По шесту. Для измерения нужно взять шест, равный по длине вашему росту. Шест этот надо установить на таком расстоянии от дерева, чтобы лежа можно было видеть верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Тогда высота дерева будет равна линии, проведенной от вашей головы до основания дерева.

Данный эксперимент не удался

13

Заключение

Подобие треугольников в жизни незаменимо. Создание моделей в изображенных задачах помогло нам понять данные ситуации в пробной работе. Мы увидели большое количество нового об свойствах подобия треугольников также использовал их на местности. Познания, приобретенные во процессе экспериментальной деятельность, останутся в памяти надолго.
Гипотеза подтвердилась неполностью, так как способы, какие я применял, дают погрешности и не всегда ускоряют вычисления. Вероятно, необходима тренировка при решении практических задач на определение размеров объекта и расстояния вплоть до недосегаемого места.

Гипотеза подтвердилась частично, так как методы, которые мы использовали, дают погрешности и не всегда ускоряют вычисления. Возможно, нужна тренировка при решении прикладных задач на определение размеров объекта и расстояния до недоступной точки.

А в качестве продукта данной работы предлагаю памятку для практического нахождения высоты или расстояния с помощью подобия треугольников.

14

Список информационных источников:

Книга Я.И. Перельмана “Занимательная геометрия”

Легенда о Фалесе:

Из книги Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия» (poisk-ru.ru)

Великий многоразумный Фалес (Просвещение) / Стихи.ру (stihi.ru)

учебник по алгебре за 8 класс Мерзляк Полонский Якир           

Википедия https://ru.wikipedia.org/

Книга И.Я. Депмана  “ За страницами учебника математики. 5-6 классы”

За страницами учебника математики. 5-6 классы - Депман И.Я., Виленкин Н.Я. (11klasov.net)

 

Книга Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику - Москва: Наука, 1989 - с.240

Примени математику (Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б.) (mathemlib.ru)

Книга Депман И.Я. Мир чисел. Рассказы о математике. - Л.: Детская литература, 1975 г.

Книга "Мир чисел" - Депман Иван - Читать - Скачать pdf - Купить, Отзывы - ЛитМир (litmir.me)

                15