Проектная работа по теме: "Приближённые методы решения нелинейных уравнений"

Муниципальное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа пос.им.Морозова»

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА 

Приближённые методы решения нелинейных уравнений 

(метод половинного деления, метод итераций)

Работу выполнил: ученик 11М класса Шишков Дмитрий Руководитель:

учитель математики Гриц Е.Н.

пос. им. Морозова

2019

Содержание

Введение................................................................................................................................................... 3

Глава 1. Теоретическая часть................................................................................................................. 4

§1. Решение нелинейных уравнений................................................................................................. 4

§2. Метод половинного деления (дихотомия)................................................................................... 6

§3. Метод простых итераций.............................................................................................................. 7

Глава 2. Практическая часть................................................................................................................. 10

§ 1. Метод половинного деления..................................................................................................... 10

§ 2. Метод простых итераций........................................................................................................... 11

Заключение............................................................................................................................................ 16

Список литературы............................................................................................................................... 17

Введение

В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

В данной работе рассмотрены два приближённых метода решения нелинейных уравнений: метод половинного деления и метод итераций.

В первой части изложены теоретические основы изучаемого материала.

Вторая часть работы носит практический характер. В ней приводится решение типовых задач к каждому из рассматриваемых методов.

Целью данной исследовательской работы является изучение методов решения нелинейных уравнений, которые невозможно решить точно, а также умение использовать изученный материал на практике.

Задачи работы: изучить теоретический материал по данной теме; подобрать типовые задачи к каждому из рассматриваемых методов, создать памятку с алгоритмом применения данных методов.

Глава 1. Теоретическая часть

§1. Решение нелинейных уравнений

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

                                                                                     f x0                                                                     (1)

Здесь f x – нелинейная функция:

-     алгебраическая функция вида anxn an^[1]xn1  ...a1xa0 ;

-     трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;

-     комбинирование этих функций: x²  sin x.

Решением нелинейного уравнения (1) является такая точка x^* , которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. На практике не всегда удается подобрать такое решение. В этом случае, решение уравнения (1) находят с применением приближенных (численных) методов. Тогда решением нелинейного

*

уравнения (1) будет являться такая точка x , при подстановке которой в уравнение (1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. f (x^*) , где  - малая величина.

Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то, сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый           способ            отделения       корней            – графический. Исходя из уравнения (1), можно построить график функции y  f x. Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближенным значением корня. Если     f x имеет сложный вид, то представим ее в виде разности двух функций f x ₁x₂x. Так как        f x  0,      то        выполняется равенство Рис.1    ₁x ₂x. Построим два графика y₁ ₁x,

y₂ ₂x. Значение  - приближенное значение

корня (Рис.1), являющееся абсциссой точки пересечения двух графиков.

y _ x         Пример 1. Пусть дано нелинейное _x уравнение   вида             x  e     0.      Решим            его графическим методом. Для этого представим уравнение в виде ₁x₂x  0, где

Пример 2. Пусть задано нелинейное уравнение вида e^x  x  0 или xe^x . Построив два графика

y x ¹                                                              _x                   функций yx и y  e^x , видим, что

исходное уравнение не имеет корней

(Рис.3).

Пример         3.         Для      нелинейного _Рис.3   уравнения вида x  sin x  0 с помощью аналогичных     преобразований         и построений         получим,        что      исходное уравнение имеет несколько (три) корней

(Рис.4).

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.

Теорема 1. Если функция f x непрерывна на отрезке a,b и меняет на концах отрезка знак (т.е. f af b 0), то на a,b содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция f x непрерывна на отрезке a,b, выполняется условие вида f af b 0 и производная f x сохраняет знак на a,b, то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция f x является многочленом n степени и на концах отрезка a,b меняет знак, то на a,b имеется нечетное количество корней (если производная f x сохраняет знак на a,b, то корень единственный). Если на концах отрезка a,b функция не меняет знак, то уравнение (1) либо не имеет корней на a,b, либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции f x. Для этого необходимо вычислить критические точки ₁,₂,...,_n , т.е. точки, в которых первая производная f _i  равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности (_i ,_i1) . На каждом из них определяется знак производной f x_i , где x_i (_i ,_i1) . Затем выделяем те интервалы монотонности, на которых функция f x меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Используют два типа методов: прямые и итерационные. В прямых методах корень уравнения может быть найден за конечное, заранее известное число операций. Прямыми методами удается решить некоторые простейшие алгебраические и тригонометрические уравнения.

В итерационных методах корень x^* определяется как предел некоторой x0 , x1,..., x(k)

последовательности и решение не может быть достигнуто за конечное, заранее известное число операций.

Основные методы решения нелинейных уравнений и систем являются итерационными, и к их числу принадлежит метод дихотомии (половинного деления), метод простой итерации, метод Ньютона (метод касательных), метод секущих, метод парабол (метод Мюллера), метод Зейделя. 

Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости процесса. Говорят, что метод имеет n-й порядок сходимости, если

x(k1) _x* _Cx(k) _x(*) ⁿ

, где С – постоянная не зависящая от n. При n=1 имеет место

сходимость первого порядка, или линейная сходимость, а при n=2 – второго порядка, или квадратичная. Говорят, что метод является одношаговым, если для построения итерационной последовательности нужно вычислить функцию в одной точке, двушаговым – в двух и т.п.

Сравнение различных методов следует проводить по числу операций при реализации одной итерации и по скорости сходимости. [3, с. 37-40]

Рассмотрим два приближённых метода решения нелинейных уравнений: метод половинного деления и метод итераций.

§2. Метод половинного деления (дихотомия)

Одним из методов уточнения корня на отрезке является метод половинного деления.

Пусть известно, что на отрезке [a,b] находится искомое значение корня уравнения (1), т. е. x[a,b]. В качестве начального приближения возьмем середину a  b

       отрезка x₀   . 

2

Теперь исследуем значение функции f (x) на концах образовавшихся отрезков [a, x₀] и [x₀,b] (рис 5).

метода деления отрезка пополам

Выберем из них тот, на концах которого функция принимает значения разного знака, так как он и содержит искомый корень. Вторую половину отрезка можно не рассматривать. Затем делим новый отрезок пополам и приходим вновь к двум отрезкам, на концах одного их которых функция меняет знак, т. е. содержит корень. Таким образом, после каждой итерации исходный отрезок сокращается вдвое, т. е. после n итераций он сократится в 2ⁿ раз. Процесс итераций будет продолжатся до тех пор, пока значение модуля функции не окажется меньше заданной точности , т. е. f (x_n)  , либо длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой

: x_n1  x_n   2. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x_n  x_n1).

Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он всегда сходится к корню.

Кроме метода дихотомии для уточнения корня на a,b применяются итерационные методы (методы последовательных приближений). [2, c. 30-33] Рассмотрим метод простых итераций.

§3. Метод простых итераций

Приведем исходное уравнение (1) к виду
x (x),  где (x) определяется, например, следующим способом: (x)  x (x) f (x), где (x) - произвольная функция, не имеющая на [a,b] корней или константа. Метод простой итерации задается следующим алгоритмом:	(2)
xn1 (xn ), где n = 0, 1, 2,… - номер итерации.	(3)

Нам необходимо найти приближенное значение корня x^* уравнения (2) с относительной погрешностью 0 так, чтобы при n  n₀() выполнялось следующие условие: 

x_n x^* x₀ x^*  при n  n₀() ,

или

                                                                            x_n1  x     ,                                                                   (4)

т. е. результаты последовательных итераций близки.

Достаточным условием сходимости итераций  является следующие:

                                                                           (x_n)  1.                                                                        (5)

Это условие является гарантией сходимости последовательности {x_i } к решению уравнения. Оно не является необходимым, т. е. существуют функции, для которых это условие не выполняется, и тем не менее этот метод приводит к решению. Рассмотрим  геометрическую интерпретацию метода, т. е. найдем точку пересечения двух линий y(x) и y x (рис 6).

метода последовательных

приближений (0<^’(x)<1)

Производная изображенной функции удовлетворяет условию (5). Задавая начальное приближенное x₀, найдем x₁ (x₀) . Геометрически это означает, что необходимо провести горизонтальную прямую через точку ((x₀), x₀) до пересечения с прямой y  x и вертикальную через эту точку. Эта вертикальная прямая пересекая ось x дает нам значение x₁. Далее процесс повторяется, т. е. находится следующее приближение x₂ (x₁) и т. д. Из рисунка видно, что последовательность {x_i }

* сходится к корню x . Изображенный на рисунке 6 случай соответствует (x)  0, когда все приближения {x_i } находятся с одной стороны от корня. Если же (x)  0, продолжая удовлетворять условию (5), то {x_i } будут последовательно располагаться с разных сторон от корня x^* (рис 7) если же условие (5) не выполнено, т. е. (x)  1, то процесс расходится (рис 8). Получим условие (5) из условия сходимости последовательности итераций (4).

метода последовательных

приближений (0>^’(x)>-1)

метода последовательных

приближений (^’(x)>1)

x* – искомое значение корня, тогда из (2) x* (x*), а согласно Пусть алгоритму простой итерации (3) x_n (x_n1).

Вычитая два последних уравнения друг из друга, имеем x_n x^* (x_n1)(x^*) .

Умножим правую часть полученного уравнения на xn1 x*_* 1, xn1 x

тогда

* (xn 1)(x*) *(x

                                                                  xn x                     *       n1 x*),

xn1 x

или согласно теореме о среднем

x_n  x^* ()(x_n1  x^*), где [^x_n1, x^*] .

Если ввести некое число m  max(x) , x[a,b], то 

x_n x^* mx_n1 x.

Аналогичным образом можно получить:

x x^*  mx_n2 x^* , или x x^* m² x_n2 x^* , или

………………………… x_n x^*  mⁿ x₀ x.

Если величина максимальной на [a,b] производной m  1, то независимо от выбора начального приближения x₀ с ростом n правая часть становится малой и

{x_n}сходится к x^* . Если же m > 1, то ^x_n x^* неограниченно возрастает с ростом n.

Методы итераций, как и большинство других итерационных методов, имеют существенное достоинство – они не накапливают ошибок вычисления, так как в этом случае ошибки вычислений приводят лишь к ошибке данной итерации и, как следствие, влияют на число итераций, но не на точность конечного результата.

Глава 2. Практическая часть

§ 1. Метод половинного деления

Пример 1: Решить уравнение [3, c. 45] f (x)  e^2x  3x  4  0 с точностью e 10^3 методом половинного деления.

Решение: Для отделения корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

e^2x  43x

Рис. 9

Построив графики функций f₁(x)  e^2x и f₂(x)  4  3x (рис 9) определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0.4 x^*  0.6 .

В качестве исходного отрезка выберем [0.6, 0.4].

Результаты дальнейших вычислений содержатся в следующей таблице:

k	ak	bk	f (a k )	f (b k )	ak  bk   2	ak  bk f (   ) 2
0	0.4000	0.6000	-0.5745	1.1201	0.5000	0.2183
1	0.4000	0.5000	-0.5745	0.2183	0.4500	-0.1904
2	0.4500	0.5000	-0.1904	0.2183	0.4750	0.0107
3	0.4500	0.4750	-0.1904	0.0107	0.4625	-0.0906
4	0.4625	0.4750	-0.0906	0.0107	0.4688	-0.0402
5	0.4688	0.4750	-0.0402	0.0107	0.4719	-0.0148
6	0.4719	0.4750	-0.0148	0.0107	0.4734	-0.0020
7	0.4734	0.4750	-0.0020	0.0107	[0.4742]

Длина исследуемого отрезка стала меньше удвоенной допустимой :

b^k  a^k  2. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять

ak  bk

      середину последнего отрезка  .

2

Ответ: X^*0,474  0,001

                                                                                                                                 1                                     ^3 методом

Пример 2: Решить уравнение f (x)  1 x         с точностью e 10 x

половинного деления. [3, c. 45] Решение: Для отделения корней применим графический способ.

x

Рис. 10

1

Построив график функции                                 f (x)  1 x    (рис 10) определяем, что у x

решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0,4 x^*  0,8 .

В качестве исходного отрезка выберем [0,4; 0,8].

Результаты дальнейших вычислений содержатся в следующей таблице:

k	ak	bk	f (a k )	f (b k )	ak  bk   2	ak  bk f (   ) 2
0	0.4	0.8	-1,31678	0,091641	0.6	-0,40176
1	0.6	0.8	-0,40176	0,091641	0.7	-0,12473
2	0.7	0.8	-0,12473	0,091641	0.75	-0,01046
3	0.75	0.8	-0,01046	0,091641	0.775	0,041969
4	0.75	0.775	-0,01046	0,041969	0.7625	0,016116
5	0.75	07625	-0,01046	0,016116	0.75625	0,002922
6	0.75	0.75625	-0,01046	0,002922	0,753125	-0,00374
7	0.75625	0,753125	0,002922	-0,00374	0,754688	-0,0004
8	0.75625	0,754688	0,002922	-0,0004

Длина исследуемого отрезка стала меньше удвоенной допустимой :

b^k  a^k  2. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять

ak  bk

      середину последнего отрезка  .

2

Ответ: X^*0,755  0,001

§ 2. Метод простых итераций

                                                                                                                                 1                                     ^3 методом

Пример 1: Решить уравнение f (x)  1 x  с точностью e10 x

простых итераций. [3, c. 45] Решение:

1) Отделим графически корни:

1

                                         f(x)       x  1 

x

Из графика видно, что данное уравнение имеет 1 корень и он лежит на отрезке:  [0;1].

2) Уточним этот корень методом итераций.

Нарисуем график функции на рассматриваемом отрезке.

Подберём функцию, которая будет удовлетворять на данном отрезке  условиям:

                                1              a  (x)  b               a  0         b  1

1

                                                                                                   x                                                                

Из графика видно, что модуль первой производной данной функции меньше единицы, первое условие выполнилось. Теперь проверим второе условие.

                                     (0)  1          (1)  0.7071068

Из графика функции и значений в краевых точках отрезка видно, что выполнимо и второе условие. Значит это искомая функция. x0  0 x1  (x0) x2  (x1) x2  0.7071068

x3  (x2) x3  0.7653669 x4  (x3) x4  0.7526317 x5  (x4)

x5  0.7553612

x6  (x5) x6  0.7547737	В последних трёх приближений точность в трёх знаках, так как требует условие задачи, значит процесс можно прекратить.
x7  (x6)	Проверка :
x7  0.7549	 4

f(0.755)  2.6081869 10

x8  (x7)

x8  0.7548729

20

                                                                                                                                              x 0.755                        

Пример 2: Решить уравнение f (x)  e^2x  3x  4  0 с точностью e 10^3 методом простых итераций. [3, c.

45]

Решение:

1) Отделим графически корни:

2x

                                          f(x)  e       3x  4

Из графика видно, что данное уравнение имеет 1 корень и он лежит на отрезке:  [0.4;0.6].

2) Уточним этот корень методом итераций.

Нарисуем график функции на рассматриваемом отрезке.

Подберём функцию, которая будет удовлетворять на данном отрезке  условиям:

                                                                                                       a  0.4      b  0.6

                                                1              a  (x)  b

(x) 

                                                                                                         x                                                          

Из графика видно, что модуль первой производной данной функции меньше единицы, первое условие выполнилось. Теперь проверим второе условие.

Из графика функции и значений в краевых точках отрезка видно, что выполнимо и второе условие. Значит это искомая функция. x0  0.4 x1  (x0)

x2  (x1) x2  0.4491796 x3  (x2) x3  0.487744 x4  (x3) x4  0.4654454 x5  (x4) x5  0.4784598 x6  (x5) x6  0.4709053 x7  (x6) x7  0.4753044 x8  (x7) x8  0.4727474 x9  (x8) x9  0.4742352 x10  (x9)

x10  0.4733701 x11  (x10) x11  0.4738733 x12  (x11) x12  0.4735806

В  трёх приближений точность в трёх знаках, так как требует условие задачи, значит процесс можно прекратить.         Ответ :        a  0.474  0.001

Заключение

В результате данной работы были изучены два из известных приближённых методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления (дихотомия) и метод простой итерации. Наиболее простым приближённым методом является метод половинного деления, но он довольно медленный. Метод простых итераций имеет немаловажное достоинство – он не накапливает ошибок вычисления.

Список литературы

1. Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высш. шк., 2000

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: «Дрофа», 2007.

3. Ращиков В.И., Рошаль А.С. Численные методы решения физических задач. –

СПб.: Лань, 2005.

---

[1] 1x              ₁x x ; ₂x  e^x .

Графики функций y x ; y  e^x представлены на Рис.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный

                                    Рис.2                             корень  .