Базовый уровень
«Проблемно-функциональные результаты»
|
Раздел
|
Выпускник научится
|
Выпускник получит возможность научиться
|
Цели
освоения предмета
|
Для
использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного
продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным
использованием математики
|
Для
развития мышления, использования в повседневной жизни
и
обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям,
не связанным с прикладным использованием математики
|
Требования к результатам
|
Элементы
теории множеств и математической логики
|
Оперировать на
базовом уровне понятиями: конечное множество, элемент множества,
подмножество, пересечение и объединение множеств, числовые множества на
координатной прямой, отрезок, интервал;
оперировать на
базовом уровне понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и
ложные утверждения, причина, следствие, частный случай общего утверждения,
контрпример;
находить
пересечение и объединение двух множеств, представленных графически на
числовой прямой;
строить на
числовой прямой подмножество числового множества, заданное простейшими
условиями;
распознавать
ложные утверждения, ошибки в рассуждениях, в том числе с использованием
контрпримеров.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
- использовать
числовые множества на координатной прямой для описания реальных процессов и
явлений;
- проводить
логические рассуждения в ситуациях повседневной жизни
|
- Оперировать
понятиями: конечное множество, элемент множества, подмножество, пересечение и
объединение множеств, числовые множества на
координатной прямой, отрезок, интервал, полуинтервал, промежуток с выколотой
точкой, графическое представление множеств на координатной плоскости;
- оперировать
понятиями: утверждение, отрицание утверждения, истинные и ложные утверждения,
причина, следствие, частный случай общего утверждения, контрпример;
- проверять
принадлежность элемента множеству;
- находить
пересечение и объединение множеств, в том числе представленных графически на
числовой прямой и на координатной плоскости;
- проводить
доказательные рассуждения для обоснования истинности утверждений.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
- использовать
числовые множества на координатной прямой и на координатной плоскости для
описания реальных процессов и явлений;
- проводить
доказательные рассуждения в ситуациях повседневной жизни, при решении задач
из других предметов
|
Числа и
выражения
|
Оперировать на
базовом уровне понятиями: целое число, делимость чисел, обыкновенная дробь,
десятичная дробь, рациональное число, приближённое значение числа, часть,
доля, отношение, процент, повышение и понижение на заданное число процентов,
масштаб;
оперировать на
базовом уровне понятиями: логарифм числа, тригонометрическая окружность,
градусная мера угла, величина угла, заданного точкой на тригонометрической
окружности, синус, косинус, тангенс и котангенс углов, имеющих произвольную
величину;
выполнять
арифметические действия с целыми и рациональными числами;
выполнять
несложные преобразования числовых выражений, содержащих степени чисел, либо
корни из чисел, либо логарифмы чисел;
сравнивать
рациональные числа между собой;
оценивать и
сравнивать с рациональными числами значения целых степеней чисел, корней
натуральной степени из чисел, логарифмов чисел в простых случаях;
изображать
точками на числовой прямой целые и рациональные числа;
изображать
точками на числовой прямой целые степени чисел, корни
натуральной степени из чисел, логарифмы чисел в простых случаях;
выполнять
несложные преобразования целых и дробно-рациональных буквенных выражений;
выражать в
простейших случаях из равенства одну переменную через другие;
вычислять в
простых случаях значения числовых и буквенных выражений, осуществляя
необходимые подстановки и преобразования;
изображать
схематически угол, величина которого выражена в градусах;
оценивать знаки
синуса, косинуса, тангенса, котангенса конкретных углов.
В повседневной
жизни и при изучении других учебных предметов:
выполнять
вычисления при решении задач практического характера;
выполнять
практические расчеты с использованием при необходимости справочных материалов
и вычислительных устройств;
соотносить
реальные величины, характеристики объектов окружающего мира с их конкретными
числовыми значениями;
использовать
методы округления, приближения и прикидки при решении практических задач
повседневной жизни
|
Свободно
оперировать понятиями: целое число, делимость чисел, обыкновенная дробь,
десятичная дробь, рациональное число, приближённое значение числа, часть,
доля, отношение, процент, повышение и понижение на заданное число процентов,
масштаб;
приводить
примеры чисел с заданными свойствами делимости;
оперировать
понятиями: логарифм числа, тригонометрическая окружность, радианная и
градусная мера угла, величина угла, заданного точкой на тригонометрической
окружности, синус, косинус, тангенс и котангенс углов, имеющих произвольную
величину, числа е и π;
выполнять
арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применяя при
необходимости вычислительные устройства;
находить
значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем,
логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;
пользоваться
оценкой и прикидкой при практических расчетах;
проводить по
известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих
степени, корни, логарифмы и тригонометрические функции;
находить
значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки
и преобразования;
- изображать
схематически угол, величина которого выражена в градусах или радианах;
- использовать
при решении задач табличные значения тригонометрических функций углов;
- выполнять перевод величины угла из радианной меры в градусную и
обратно.
В повседневной
жизни и при изучении других учебных предметов:
выполнять
действия с числовыми данными при решении задач практического характера и
задач из различных областей знаний, используя при необходимости справочные
материалы и вычислительные устройства;
оценивать,
сравнивать и использовать при решении практических задач числовые значения
реальных величин, конкретные числовые характеристики объектов окружающего
мира
|
Уравнения
и неравенства
|
Решать линейные
уравнения и неравенства, квадратные уравнения;
решать
логарифмические уравнения вида loga (bx + c) = d и
простейшие неравенства вида logax<d;
решать
показательные уравнения, вида abx+c= d (где d можно
представить в виде степени с основанием a) и простейшие неравенства вида ax<d (где
d можно
представить в виде степени с основанием a);.
приводить
несколько примеров корней простейшего тригонометрического уравнения вида: sin
x = a, cos x = a, tgx = a, ctgx = a, где a – табличное значение соответствующей тригонометрической
функции.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
- составлять
и решать уравнения и системы уравнений при решении несложных практических
задач
|
- Решать
рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства,
простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения, неравенства и их
системы;
использовать
методы решения уравнений: приведение к виду «произведение равно нулю» или
«частное равно нулю», замена переменных;
использовать
метод интервалов для решения неравенств;
- использовать
графический метод для приближенного решения уравнений и неравенств;
- изображать
на тригонометрической окружности множество решений простейших
тригонометрических уравнений и неравенств;
- выполнять
отбор корней уравнений или решений неравенств в соответствии с
дополнительными условиями и ограничениями.
В повседневной
жизни и при изучении других учебных предметов:
- составлять
и решать уравнения, системы уравнений и неравенства при решении задач других
учебных предметов;
- использовать
уравнения и неравенства для построения и исследования простейших
математических моделей реальных ситуаций или прикладных задач;
- уметь
интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы
результат, оценивать его правдоподобие в контексте заданной реальной ситуации
или прикладной задачи
|
Функции
|
Оперировать на
базовом уровне понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение
функции, область определения и множество значений функции, график
зависимости, график функции, нули функции, промежутки знакопостоянства,
возрастание на числовом промежутке, убывание на числовом промежутке,
наибольшее и наименьшее значение функции на числовом промежутке,
периодическая функция, период;
оперировать на
базовом уровне понятиями: прямая и обратная пропорциональность линейная,
квадратичная, логарифмическая и показательная функции, тригонометрические
функции;
распознавать
графики элементарных функций: прямой и обратной пропорциональности, линейной,
квадратичной, логарифмической и показательной функций, тригонометрических
функций;
соотносить
графики элементарных функций: прямой и обратной пропорциональности, линейной,
квадратичной, логарифмической и показательной функций, тригонометрических
функций с формулами, которыми они заданы;
находить по
графику приближённо значения функции в заданных точках;
определять по
графику свойства функции (нули, промежутки знакопостоянства, промежутки
монотонности, наибольшие и наименьшие значения и т.п.);
строить эскиз
графика функции, удовлетворяющей приведенному набору условий (промежутки
возрастания / убывания, значение функции в заданной точке, точки экстремумов и
т.д.).
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
определять по
графикам свойства реальных процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие
значения, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства и
т.п.);
интерпретировать
свойства в контексте конкретной практической ситуации
|
Оперировать
понятиями: зависимость величин, функция, аргумент и значение функции, область
определения и множество значений функции, график зависимости, график функции,
нули функции, промежутки знакопостоянства, возрастание на числовом
промежутке, убывание на числовом промежутке, наибольшее и наименьшее значение
функции на числовом промежутке, периодическая функция, период, четная и
нечетная функции;
оперировать
понятиями: прямая и обратная пропорциональность, линейная, квадратичная,
логарифмическая и показательная функции, тригонометрические функции;
- определять
значение функции по значению аргумента при различных способах задания
функции;
- строить
графики изученных функций;
описывать по
графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить
по графику функции наибольшие и наименьшие значения;
строить эскиз
графика функции, удовлетворяющей приведенному набору условий (промежутки
возрастания/убывания, значение функции в заданной точке, точки экстремумов, асимптоты,
нули функции и т.д.);
решать
уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их
графиков.
В повседневной
жизни и при изучении других учебных предметов:
- определять
по графикам и использовать для решения прикладных задач свойства реальных
процессов и зависимостей (наибольшие и наименьшие значения, промежутки
возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, асимптоты,
период и т.п.);
- интерпретировать
свойства в контексте конкретной практической ситуации;
- определять
по графикам простейшие характеристики периодических процессов в биологии,
экономике, музыке, радиосвязи и др. (амплитуда, период и т.п.)
|
Элементы
математического анализа
|
Оперировать на
базовом уровне понятиями: производная функции в точке, касательная к графику
функции, производная функции;
определять
значение производной функции в точке по изображению касательной к графику,
проведенной в этой точке;
решать несложные
задачи на применение связи между промежутками монотонности и точками
экстремума функции, с одной стороны, и промежутками знакопостоянства и нулями
производной этой функции – с другой.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
пользуясь
графиками, сравнивать скорости возрастания (роста, повышения, увеличения и
т.п.) или скорости убывания (падения, снижения, уменьшения и т.п.) величин в
реальных процессах;
соотносить
графики реальных процессов и зависимостей с их описаниями, включающими
характеристики скорости изменения (быстрый рост, плавное понижение и т.п.);
использовать
графики реальных процессов для решения несложных прикладных задач, в том
числе определяя по графику скорость хода процесса
|
Оперировать
понятиями: производная функции в точке, касательная к графику функции,
производная функции;
вычислять
производную одночлена, многочлена, квадратного корня, производную суммы
функций;
- вычислять
производные элементарных функций и их комбинаций, используя справочные
материалы;
- исследовать
в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и
наименьшие значения функций, строить графики многочленов и простейших
рациональных функций с использованием аппарата математического анализа.
В повседневной
жизни и при изучении других учебных предметов:
решать
прикладные задачи из биологии, физики, химии, экономики и других предметов,
связанные с исследованием характеристик реальных процессов, нахождением
наибольших и наименьших значений, скорости и ускорения и т.п.;
интерпретировать
полученные результаты
|
Статистика
и теория вероятностей, логика и комбинаторика
|
Оперировать
на базовом уровне основными описательными характеристиками числового набора:
среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения;
оперировать на
базовом уровне понятиями: частота и вероятность события, случайный выбор,
опыты с равновозможными элементарными событиями;
- вычислять
вероятности событий на основе подсчета числа исходов.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
оценивать и
сравнивать в простых случаях вероятности событий в реальной жизни;
читать,
сопоставлять, сравнивать, интерпретировать в простых случаях реальные данные,
представленные в виде таблиц, диаграмм, графиков
|
-
Иметь
представление о дискретных и непрерывных случайных величинах и
распределениях, о независимости случайных величин;
-
иметь
представление о математическом ожидании и дисперсии случайных величин;
-
иметь
представление о нормальном распределении и примерах нормально распределенных
случайных величин;
понимать суть
закона больших чисел и выборочного метода измерения вероятностей;
иметь
представление об условной вероятности и о полной вероятности, применять их в
решении задач;
иметь
представление о важных частных видах распределений и применять их в решении
задач;
- иметь
представление о корреляции случайных величин, о линейной регрессии.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
- вычислять
или оценивать вероятности событий в реальной жизни;
- выбирать
подходящие методы представления и обработки данных;
- уметь
решать несложные задачи на применение закона больших чисел в социологии,
страховании, здравоохранении, обеспечении безопасности населения в
чрезвычайных ситуациях
|
Текстовые
задачи
|
Решать несложные
текстовые задачи разных типов;
- анализировать условие задачи, при необходимости строить для ее
решения математическую модель;
- понимать и использовать для решения задачи информацию,
представленную в виде текстовой и символьной записи, схем, таблиц, диаграмм,
графиков, рисунков;
- действовать по алгоритму, содержащемуся в условии задачи;
- использовать логические рассуждения при решении задачи;
- работать
с избыточными условиями, выбирая из всей информации, данные, необходимые для
решения задачи;
- осуществлять
несложный перебор возможных решений, выбирая из них оптимальное по критериям,
сформулированным в условии;
- анализировать и интерпретировать полученные решения в контексте
условия задачи, выбирать решения, не противоречащие контексту;
решать задачи на
расчет стоимости покупок, услуг, поездок и т.п.;
решать несложные
задачи, связанные с долевым участием во владении фирмой, предприятием,
недвижимостью;
решать
задачи на простые проценты (системы скидок, комиссии) и на вычисление сложных
процентов в различных схемах вкладов, кредитов и ипотек;
решать
практические задачи, требующие использования отрицательных чисел: на
определение температуры, на определение положения на временнóй оси (до нашей
эры и после), на движение денежных средств (приход/расход), на определение
глубины/высоты и т.п.;
использовать
понятие масштаба для нахождения расстояний и длин на картах, планах
местности, планах помещений, выкройках, при работе на компьютере и т.п.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
- решать
несложные практические задачи, возникающие в ситуациях повседневной жизни
|
- Решать
задачи разных типов, в том числе задачи повышенной трудности;
- выбирать
оптимальный метод решения задачи, рассматривая различные методы;
- строить
модель решения задачи, проводить доказательные рассуждения;
- решать
задачи, требующие перебора вариантов, проверки условий, выбора оптимального
результата;
- анализировать и интерпретировать результаты в контексте условия
задачи, выбирать решения, не противоречащие контексту;
- переводить
при решении задачи информацию из одной формы в другую, используя при
необходимости схемы, таблицы, графики, диаграммы;
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
- решать
практические задачи и задачи из других предметов
|
Геометрия
|
Оперировать на базовом
уровне понятиями: точка, прямая, плоскость в пространстве, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей;
распознавать
основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный параллелепипед,
куб);
изображать
изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертежных инструментов;
делать
(выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху,
сбоку, снизу;
извлекать
информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на
чертежах и рисунках;
применять
теорему Пифагора при вычислении элементов стереометрических фигур;
находить объемы
и площади поверхностей простейших многогранников с применением формул;
распознавать
основные виды тел вращения (конус, цилиндр, сфера и шар);
находить объемы
и площади поверхностей простейших многогранников и тел вращения с применением
формул.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
соотносить
абстрактные геометрические понятия и факты с реальными жизненными объектами и
ситуациями;
использовать
свойства пространственных геометрических фигур для решения типовых задач
практического содержания;
соотносить
площади поверхностей тел одинаковой формы различного размера;
соотносить
объемы сосудов одинаковой формы различного размера;
оценивать форму
правильного многогранника после спилов, срезов и т.п. (определять количество
вершин, ребер и граней полученных многогранников)
|
Оперировать
понятиями: точка, прямая, плоскость в пространстве, параллельность и
перпендикулярность прямых и плоскостей;
применять для
решения задач геометрические факты, если условия применения заданы в явной
форме;
решать задачи на
нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам;
делать
(выносные) плоские чертежи из рисунков объемных фигур, в том числе рисовать
вид сверху, сбоку, строить сечения многогранников;
извлекать,
интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах,
представленную на чертежах;
применять
геометрические факты для решения задач, в том числе предполагающих несколько
шагов решения;
описывать
взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве;
формулировать
свойства и признаки фигур;
доказывать
геометрические утверждения;
владеть
стандартной классификацией пространственных фигур (пирамиды, призмы,
параллелепипеды);
находить объемы
и площади поверхностей геометрических тел с применением формул;
вычислять
расстояния и углы в пространстве.
В повседневной
жизни и при изучении других предметов:
использовать
свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и
задач из других областей знаний
|
Векторы
и координаты в пространстве
|
- Оперировать
на базовом уровне понятием декартовы координаты в пространстве;
- находить
координаты вершин куба и прямоугольного параллелепипеда
|
- Оперировать
понятиями декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль вектора,
равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами, скалярное
произведение векторов, коллинеарные векторы;
- находить
расстояние между двумя точками, сумму векторов и произведение вектора на
число, угол между векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по
двум неколлинеарным векторам;
- задавать
плоскость уравнением в декартовой системе координат;
- решать
простейшие задачи введением векторного базиса
|
История
математики
|
- Описывать
отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как
науки;
- знать
примеры математических открытий и их авторов в связи с отечественной и
всемирной историей;
- понимать
роль математики в развитии России
|
- Представлять
вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;
- понимать
роль математики в развитии России
|
Методы
математики
|
- Применять
известные методы при решении стандартных математических задач;
- замечать
и характеризовать математические закономерности в окружающей
действительности;
- приводить
примеры математических закономерностей в природе, в том числе характеризующих
красоту и совершенство окружающего мира и произведений искусства
|
- Использовать
основные методы доказательства, проводить доказательство и выполнять
опровержение;
- применять
основные методы решения математических задач;
- на
основе математических закономерностей в природе характеризовать красоту и
совершенство окружающего мира и произведений искусства;
- применять
простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при
решении математических задач
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.