Рабочая тетрадь по теме "Построение сечений многогранников"

Урок 1

«Сечения тетраэдра»

Дан тетраэдр ABCD. Постройте сечения и дайте подробное объяснение своих действий. Сверху каждого задания указана его сложность, 1^*- легкий уровень, 2^**- средний уровень, 3^***- сложный уровень. 

	Задание 1* Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ
1.                 Проводим прямую ___, которая лежит в плоскости АВС и пересекает прямую ___. 2.                 Отмечаем точку пересечения прямой ___ и ___, пусть она называется N. Эта точка также принадлежит плоскости ADC, потому что лежит на прямой АС, принадлежащей этой плоскости. 3.                 Теперь проводим прямую ___, она пересекает прямую AD в точке E.  4.                 Проводим оставшиеся прямые ___, ___. 5.                 Четырёхугольник _____ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 1

	Задание 2** Точка М лежит в плоскости DBC. Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ
1.                 Построим сперва прямую ___, которая пересечёт ВС в точке Н, и сразу через эту точку проведём прямую ___. 2.                 Теперь построим прямую ___, которая пересекается с прямой АН в точке О. 3.                 Проводим прямую ___, которая пересекает ВС в точке Е, которая будет одной из вершин сечения. 4.                 Далее строим прямую ___, пересекающую BD в точке F, ещё одну вершину сечения. 5.                 Осталось достроить прямые ___, KL и ___. 6.                 Итак, четырёхугольник _____ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 1

«Сечения тетраэдра»

	Задание 3*** Точка М лежит в плоскости DBC. Точка К лежит в плоскости ABD. Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ
1.                 Проведём сперва прямые DM и DK, они пересекут прямые ___ и ___ соответственно в точках E и F. 2.                 Проведём прямую через эти две точки, она лежит в плоскости ____. 3.                 Теперь проведём прямую ____, пересекающую EF в точке P 4.                 Соединяем точку Р с точкой L, полученная прямая пересекает прямую ___ в точке Т. 5.                 Теперь можем строить искомое сечение: проводим TL, TK, которая пересечёт ___ в точке Н, затем проводим НМ, которая пересекает ___ в точке О, и наконец проводим ____. 6.                 Четырёхугольник _____ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Дан тетраэдр ABCD. Постройте сечения и дайте подробное объяснение своих действий. 

	Задание 1* Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

«Сечения тетраэдра»

	Задание 2* Постройте сечение точки L, K, M.	через
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 3* Постройте сечение точки L, K, M.	через
РЕШЕНИ	Е

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

	Задание 4* Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

	Задание 5* Постройте сечение через точки L, K, D.
РЕШЕНИЕ

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 6** Точка L лежит в плоскости ABC. Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 7** Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

Задания для самостоятельного решения по теме «Сечения тетраэдра»

	Задание 8*** Точка М лежит в плоскости DBC. Точка К лежит в плоскости ABD. Точка L лежит в плоскости ABC. Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Тетраэдр_1.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 2

«Сечения. Куб.»

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Постройте сечения и дайте подробное объяснение своих действий. 

	Задание 1* К - середина BD. Постройте сечение через точки B, K, C1.
РЕШЕНИЕ
1.   Строим КВ. 2.   Теперь строим две прямые ____ и _____. 3.   Итак, треугольник ______ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 2

«Сечения. Куб.»  

	Задание 2** Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ
1.                 Построим прямую ___, лежащую в плоскости ____, она пересекает прямую CD в точке О. 2.                 Теперь построим прямую ____, которая лежит в плоскости CDD1 и пересекает прямую C1D1 в точке Н, а прямую ____ в точке Х. 3.                 Строим прямую ____, она пересекается в прямой КМ в точке Y. 4.                 Теперь строим прямую ____, лежащую в плоскости ADD1 и пересекающую прямые АА1 и А1D1 в точках Т и Р соответственно. 5.                 Итак, многоугольник __________ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 2

«Сечения. Куб.»

	Задание 3*** Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ
1.                 Построим прямую ___, пересекающую прямую АА1 2.                 Теперь проведём высоту LH и от точки Н построим проекцию прямой LH, то есть ___, которая пересечёт ___ в точке Х. 3.                 Далее строим прямую ___, причём она лежит в плоскости АВС, поэтому пересечёт прямую АВ в точке Y, которая будет являться одной из вершин сечения. 4.                 Поскольку прямая ХМ лежит в плоскости ____, она также пересекает и прямую ___ в точке О. 5.                 Строим прямую ___, пересекающую СС1 в точке F, являющейся ещё одной вершиной сечения. 6.                 Поскольку прямая OL лежит в плоскости ______, то она пересекает также прямую ___ в точке Е 7.                 Теперь строим прямую ЕК, которая лежит в плоскости _____, она пересекает прямую _____ в точке S, которая является последней вершиной искомого сечения. 8.                 Итак, многоугольник _________ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

. Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

	Задание 1* Постройте сечение через точки A1, K, L.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

. Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

	Задание 2* Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

. Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

	Задание 3* Постройте сечение через точки B, K, A.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 4** Постройте сечение через точки C1, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Задания для самостоятельного решения по теме «Куб. Сечения»

	Задание 5** Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 6** Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 7*** Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 8*** Точка К лежит в плоскости ABCD. Точка L лежит в плоскости ABC. Точка М лежит в плоскости A1B1C1. Постройте сечение через точки L, K, M.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Куб_2.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 3

«Сечения параллелепипеда»

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение и дайте подробное объяснение своих действий. 

	Задание 1* Постройте сечение проходящее через точки B1, P и R.
РЕШЕНИЕ
1.                Построим прямую ____, лежащую в плоскости АВВ1 и пересекающую прямую АВ в точке М. 2.                Построим прямую ____, лежащую в плоскости ВСС1 и пересекающую прямую ___ в точке О. 3.                Теперь соединим точки __ и __, они лежат в одной плоскости АВС. 4.                Прямая ____ пересекает AD и DC в точках Т и К соответственно. 5.                Итак, многоугольник _________ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Параллелепипед_3.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

Урок 3

«Сечения параллелепипеда»

	Задание 2** Построить сечение (PQR) параллелепипеда. Все точки лежат на ребрах двух смежных граней.
РЕШЕНИЕ
1.                Строим прямую ___, она лежит в плоскости АВВ1 и пересекает прямые ВВ1 и АВ в точках Н и Е соответственно. 2.                Теперь проводим прямую ___, которая лежит в плоскости ВСС1 и пересекает прямые СС1 и ___ в точках М и О соответственно. 3.                Проводим прямую ___, которая лежит в плоскости АВС и пересекает прямые ___ и CD в точках K и L соответственно. 4.                Итак, многоугольник _________ - искомое сечение.

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.        Откройте файл программы GeoGebra Параллелепипед_3.

2.        Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.        Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно.

Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 1* Построить        сечение параллелепипеда (MLK). Точки K и L        лежат         на      ребрах        нижнего основания AB и CB соответственно, а точка М принадлежит боковому ребру DD1.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Параллелепипед_3.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 2** Постройте        сечение, через точки Q, P и R.	проходящее
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Параллелепипед_3.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 3** Постройте сечение через точки Q, P и R.	проходящее
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Параллелепипед_3.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

	Задание 4** Постройте сечение, проходящее через точки Q, P и R.
РЕШЕНИЕ

Проверка построения сечения. Перейдите к работе с интерактивной моделью. 

1.   Откройте файл программы GeoGebra Параллелепипед_3.

2.   Внимательно ознакомьтесь с документом «Памятка» и выполните сечения с её помощью (два способа).

3.   Сравните сечения, построенные в программе и самостоятельно. Исправьте ошибки, если они имеются.

Памятка по использованию GeoGebra

GeoGebra — это динамическая математическая программа, которая объединяет геометрию, алгебру и исчисления. Она разработана для изучения и преподавания математики в школах.

Уважаемые ученики! Для того, чтобы проверить решения заданий из рабочей тетради, Вам необходимо построить сечения аналогично тому, как Вы строили их в тетради, но с помощью инструментов программы, а затем построить сечения с помощью объекта «плоскость» и сделать вывод, совпадают полученные сечения или нет. Для этого Вам понадобятся лишь самые базовые функции и объекты программы GeoGebra. 

1)                 Для того, чтобы поставить точку на указанной стороне геометрической фигуры, необходимо выбрать объект «точка» в разделе «точка» (см. рис.1) и поставить ее в нужное место.

 

Рис. 1 Объект "Точка"

2)                 Для того, чтобы построить прямую через 2 точки, необходимо выбрать объект «прямая» в разделе «прямая» (см. рис. 2), выделить эти точки, и прямая пройдет через них автоматически 

 

Рис. 2 Объект "Прямая"

3)                 В одной из задач Вам потребуется поставить точку K на середину прямой BD, чтобы точка K была ровно серединой стороны BD, необходимо для начала построить отрезки BD и AC (в разделе «прямая»), после этого выбрать объект «пересечение» (в разделе «точка») и кликнуть на оба отрезка, точка K сама определит свое точное местоположение.

 

Рис. 3 Объект "Отрезок"

 

Рис. 4 Объект "Пересечение"

4)                 Для того, чтобы полученное Вами сечение окрасилось в другой цвет, необходимо выбрать объект «многоугольник» (см. рис. 5) и выделить все точки, полученные в ходе построения сечения.

 

Рис. 5 Объект "Многоугольник"

5)                 Для того, чтобы проверить свое решение, Вам понадобится построить 3 точки на геометрической фигуре и в разделе «плоскость» выбрать объект «плоскость через 3 точки» или «плоскость» (см. рис. 6), после этого вам нужно выделить заданные точки и плоскость автоматически пройдет через них. Многоугольник, получившийся в результате построения плоскости и будет сечением данной фигуры по заданным точкам.

 

Рис. 6 Объекты "Плоскость" и "Плоскость через 3 точки"

6)                 С помощью объекта «вращать чертеж» (см. рис. 7) Вы можете покрутить заданную фигуру и рассмотреть сечение с разных сторон.

 

Рис.7 Объект "Вращать чертеж"