Радианная мера угла, методическая разработка

Филиал бюджетного профессионального образовательного учреждения Чувашской Республики

 «Чебоксарский медицинский колледж»

Министерства здравоохранения Чувашской Республики в городе Канаш

РАССМОТРЕНО и ОДОБРЕНО на заседании ЦМК ОГСЭ Протокол № ____ «____» _______________ 20 ___ г. Председатель ЦМК ____________Л.М Иванова

утверждено Зав. филиалом БПОУ «ЧМК» МЗ Чувашии в г. Канаш ____________ Т.Э Фадеева

Методическая разработка теоретического занятия

Радианная мера угла.

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

учебная дисциплина БД. 04 Математика

специальность 34.02.01Сестринское дело

 (базовая подготовка)

Канаш, 2021

Составитель: Семенова А.М., преподаватель высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Рецензент: Иванова Л.М., преподаватель, высшей квалификационной категории филиала БПОУ ЧР «Чебоксарский медицинский колледж» Министерства здравоохранения Чувашии в г. Канаш

Аннотация

               Данная разработка предназначена для изучения темы «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.» обучающимися 1 курсов СПО. Урок построен с применением методов проблемного обучения.  Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.

               Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Тригонометрия», которая подготавливает учащихся к восприятию нового материала.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 3

1. методический блок. 4

1.1. Учебно-методическая карта. 4

Формы деятельности. 4

1.2. Технологическая карта. 8

2. Информационный блок. 10

2.1. План лекции. 10

2.2 Текст лекции. 11

2.3. Глоссарий. 18

3. Контролирующий блок

ВВЕДЕНИЕ

        Методическая разработка занятия на тему «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.» из раздела «Тригонометрическая функция» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.

        Цель изучения данной темы узнать понятие радианной меры угла, синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа.

         Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Методическая разработка занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.» –2 часа. В процессе практического занятия студенты закрепляют полученные знания: определения функций, их свойства и графики, преобразования графиков, непрерывные и периодические функции, обратные функции и их графики.

          Методическая разработка предназначена для оказания методической помощи студентам при изучении занятий по теме «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.».  Методическая разработка основывается на учебнике для базового и профильного обучения: Алгебра и начала математического анализа Ш.А Алимов.

1. МЕТОДИЧЕСКИЙ БЛОК

1.1. Учебно-методическая карта

Тема занятия	Логарифмы.
Учебная дисциплина	БД.04 Математика
Специальность	34.02.01 Сестринское дело (базовая подготовка)
Курс	I
Группа	9М-11-20, 9М-12-20, 9М-13-20,9М-14-20, 9М-15-20.
Место проведения	Кабинет № 5
Продолжительность занятия	90 мин.
Характеристика занятия	Вид	Вид занятия: Лекция текущая, обзорная.
	Тип	Типы учебных занятий урок изучения нового материала; комбинированный урок
	Форма	Изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных пособий. Формы деятельности Фронтальная.
Технологии обучения	Традиционная технология обучения Технология развивающего обучения
Методы обучения	Метод   Репродуктивный: упражнения, действия по алгоритму. Интерактивные методы – практическая отработка осваиваемых знаний, умений, навыков на уровне компетенций
Средства обучения	1.По характеру воздействия на обучаемых:   ИКТ - презентации;   2.По степени сложности:   простые: учебники, печатные пособия.
Методическая цель	Методическая цель - отрабатывать методику контроля результатов выполнения письменных упражнений. - реализовывать индивидуальный дифференцированный подход в процессе выполнения обучающимися заданий для самостоятельной работы;
Цели и задачи занятия	Воспитательная			Формулировать интеллектуальных, нравственных, эмоционально-волевых качеств у обучающихся.		Воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний; Воспитывать ответственность за свои действия и поступки; Вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.
	Образовательная			Сформирование представлений у студентов о радианной мере угла.Обобщение и систематизирование приобретенных знаний по теме «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа».		Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла, способствовать формированию умений учащихся выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот; познакомить с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом Установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным.  Включить новые знания в систему ранее усвоенных; закрепить изученный на этом уроке материал «Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа».
	Развивающая			Развитие речи, мышления, сенсорной восприятие внешнего мира через органы чувств сферы;		Формировать навыки познавательного мышления. Продолжить развитие умения выделять главное. Продолжить развитие умения устанавливать причинно-следственные связи. Развивать навыки и умения, в выполнении заданий по теме, умение работать в группе и самостоятельно. Развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ. развивать познавательный интерес.
Планируемый результат	Уметь	Устанавливать связи преемственности в изучении нового материала с изученным. Пользоваться радианным измерением углов на уровне выполнения упражнений по образцу, в измененной и новой ситуации.
	Знать	Формулу между радианной и градусной мерами угла, от радианной меры угла к градусной мере и наоборот;
Формирование компетенций у обучающихся	Общие (ОК)				Л1. Сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики; Л5. Готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; Л8. Отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем; М2. Умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты; М5. Владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
	Профессиональные (ПК)				П1. Сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке; П3. Владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; П4. Владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
Межпредметные связи	Входящие		Алгебра, тригонометрия.				Математический анализ.
	Выходящие		Радианная мера угла				Градусная мера угла.
Внутрипредметные	Синус, косинус, тангенс и котангенс.
Оснащение занятия	Методическое			Методическая разработка занятия.
	Материально-техническое			Ручка, карандаш, тетрадь, линейка.
	Информационное			Компьютер, интерактивная доска.
Список литературы	Основная			1.Алимов, Ш. А. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни)10—11 классы / Ш.А. Алимов — М., 2018. – с.455. 2.Колягин, Ю.М. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / М. В Ткачева., Н. Е Федерова. — М., 2018. - 384 с.
	Дополнительная			1 Александров А.Д., Геометрия / А.Л.Вернер, В.И. Рыжик (базовый и профильный уровни). 10—11 кл.  – 2017. – 344 с.  2. Богомолов, И.Д. Математика: учебник / И.Д. Богомолов.  – М., 2018. -  384 с.
	Интернет-ресурсы			1. Калашникова В.А. Методическое пособие: «Конспекты лекций по математике» [Электронный ресурс] /В.А. Калашникова. 2. Яковлев Г.Н. Алгебра и начала анализа (Математика для техникумов) [Электронный учебник] /Г.Н Яковлев. - Режим доступа: http://lib.mexmat.ru/books/78472. 3.http://fcior.edu.ru/ - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов 4.http://school-collection.edu.ru/ - Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

1.2. Технологическая карта

Деятельность преподавателя	Деятельность обучающихся	Методическое обоснование		Формируемые ОК и ПК
1. Организационный этап -5 мин.
Проверяет готовность обучающихся к занятию. дает положительный эмоциональный настрой, организует, проверяет готовность уч-ся к уроку	Готовятся к началу занятия.	Включение обучающихся в деятельность на личностно значимом уровне.		ОК 1, ОК 4. П1.
2. Этап всесторонней проверки домашнего задания - 10мин.
Выявляет правильность и осознанность выполнения всеми обучающимися домашнего задания; устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях.	По очереди комментируют свои решения. Приводят примеры. Пишут под диктовку.	Повторение изученного материала, необходимого для открытия нового знания, и выявление затруднений в индивидуальной деятельности каждого обучающегося.		ОК1, ПК 1, ПК4
3. Постановка цели и задач занятия. Мотивация учебной деятельности обучающихся - 5 мин.
Озвучивает тему урока и цель, уточняет понимание обучающегося  поставленных целей урока. Эмоциональный настрой и готовность преподавателя  на урок.	Эмоционально настраиваются и готовятся   обучающихся на урок.  Ставят цели, формулируют тему урока.	Обсуждение затруднений; проговаривание цели урока в виде вопроса, на который предстоит ответить. Методы, приемы, средства обучения: побуждающий от проблемы диалог, подводящий к теме диалог.		ОК 1, ОК 4. П1.
4. Актуализация знаний  - 30 мин.
Уточняет понимание обучающимися поставленных целей занятия. Выдвигает проблему. Создает условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел, имели представление о пределе числовой последовательности	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух.		Создание проблемной ситуации. Уч-ся- фиксируют индивидуальные затруднения . Создание условия, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел.	ОК 1, ОК 4. П1.
5. Первичное усвоение новых знаний -  10  мин.
Создаёт эмоциональный настрой на усвоение новых знаний.	Внимательно слушают, записывают под диктовку в тетрадь.	Создание условий, чтобы обучающийся смогли систематизировать знания о множестве действительных чисел.		ОК1, ПК 1, ПК4
6. Первичная проверка понимания - 10 мин.
Проводит параллель с ранее изученным материалом. Проводит беседу по уточнению и конкретизации первичных знаний;	Отвечают на заданные вопросы преподавателем.	Осознание степени овладения полученными знаниями - каждый для себя должен сделать вывод о том, что он уже умеет.		ОК1, ПК 1, ПК4
7.  Первичное закрепление -  5 мин.
Контролирует выполнение работы. Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль. Побуждает к высказыванию своего мнения. Показывает на доске решение, опираясь на алгоритм.	записывают решение, остальные решают на местах, потом проверяют друг друга;	Тренировка и активизация употребления новых знаний, включение нового в систему Режим работы: устная, письменная, фронтальная, индивидуальная.		ОК1, ПК 1, ПК4
8. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция (подведение итогов занятия 5 мин
Отмечает       степень             вовлеченности             обучающихся в работу на занятии. Задает вопросы по обобщению материала.	Под диктовку, все выполняют задание, а один проговаривает вслух;	Оценивание работу обучающихся, делая акцент на тех, кто умело взаимодействовал при выполнении заданий		ОК 1, ОК 4. П1.
9. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению 5 мин
Обсуждение способов решения домашнего задания. Записывает номера заданий на доске.	Обобщают полученные знания, делают вывод о выполнении задач урока.	Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению		ОК 1, ОК 4. П1.
10. Рефлексия (подведение итогов занятия), 5 мин
Акцентирует внимание на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на занятии.	1.      Проводят самоанализ: “Чему научились и что нового узнали?”	Осознание своей учебной деятельности; самооценка результатов деятельности своей.		ОК1, ПК 1, ПК4

2. Информационный блок

2.1. План лекции

№ п/п	Изучаемые вопросы	Уровень усвоения
1.	Объяснение темы Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.	1
	1.1 Основные определения.	2
	1.2 Основные формулы радианной меры угла..	2
2.	Закрепление нового материала.
	2.1 Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.	3
	2.2 Решение примеров устно № 407. 408.
3.	Решение упражнений (нечетные пункты) на закрепление темы (№429-432).	3
4.	Домашнее задание № 429-432 (четные пункты).	3

2.2 Текст лекции 

             1. Теоретический материал. Объяснение темы Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.            

Посмотрите на картинки. Как вы думаете, о чем пойдет речь на нашем уроке?

На практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята ¹/₃₆₀ часть полного оборота.

Как называют эту единицу измерения углов?

А меру измерения углов?

Как вы думаете, существуют ли еще меры углов, кроме градусной?

Действительно, общепринятая градусная система измерения углов не всегда удобна.

в технике за единицу измерения принимают полный оборот;

в мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный
¹/₃₂ части полного оборота;

в артиллерии за единицу измерения углов принята ¹/₆₀ часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (¹/₁₀₀ часть большого деления угломера называют малым делением угломера).

На прошлом уроке мы рассмотрели углы, получаемые поворотом подвижного вектора и движение точки (конца вектора) по окружности.

Как можно рассматривать движение точки по окружности?

              Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Теоретический материал

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг - часть плоскости, ограниченной окружностью - то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна  части окружности или 

Длина полуокружности равна  А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

;

 α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой  рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

1.Пусть  Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол 

2.Пусть  точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол - α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол  получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол  (рис.6)

(рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

       Найти градусную меру угла, равного  рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то  рад, тогда  (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Решение:

Вычисляем по формуле (2):  рад

 рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ:  рад,  рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим: 

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

Решение:

По формуле (4) вычисляем 

Ответ: 45  м²

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны. 

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ: 

 

 

 

 

 

2.3. Глоссарий

Термин	Значение
Окружность	– это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.
Радиус окружности	– отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.
Круг	– часть плоскости, ограниченная окружностью.
Дуга окружности	– кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.
Круговой сектор	– часть круга, ограниченная двумя радиусами.
Угол в 1 радиан	– центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

3. Контролирующий блок

Вариант 1

1. Найдите радианную меру угла, если:

а) 57°;

б) 124°;

в) 630°.

2. Найдите градусную меру угла, если:

а) ;

б) ;

в) .

3. В заданиях № 1 и № 2 укажите четверти, в которых расположены данные углы.

 4. Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 4см, если радиус окружности равен 1,5 см.

Вариант 2

1. Найдите радианную меру угла, если:

а) 44°;

б) 156°;

в) 625°.

2. Найдите градусную меру угла, если:

а) ;

б) ;

в) .

3. В заданиях № 1 и № 2 укажите четверти, в которых расположены данные углы.

4. Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 5см, если радиус окружности равен 1,5 см.

Вариант 3

1. Найдите радианную меру угла, если:

а) 48°;

б) 146°;

в) 636°.

2. Найдите градусную меру угла, если:

а) ;

б) ;

в) .

3. В заданиях № 1 и № 2 укажите четверти, в которых расположены данные углы.

4. Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 6см, если радиус окружности равен 2 см.

Вариант 4

 1. Найдите радианную меру угла, если:

а) 54°;

б) 148°;

в) 660°.

2. Найдите градусную меру угла, если:

а) ;

б) ;

в) .

3. В заданиях № 1 и № 2 укажите четверти, в которых расположены данные углы.

4. Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 5см, если радиус окружности равен 1 см.

Вариант 5

 1. Найдите радианную меру угла, если:

а) 62°;

б) 198°;

в) 680°.

2. Найдите градусную меру угла, если:

а) ;

б) ;

в) .

3. В заданиях № 1 и № 2 укажите четверти, в которых расположены данные углы.

4. Найдите радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 9см, если радиус окружности равен 1,5см.

Ответы

Вариант 1

Задание1.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 2.

а) 108°;

б) 112,5°;

в) -126°.

Задание 3.

1.а -1ч.          2.а – 2ч.

1.б. – 2ч.       2.б. – 2ч.   

1.в. – (0;-1)   2.в. – 3ч.

Задание 4.

Ответы

Вариант 2

Задание1.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 2.

а) 50°;

б) 80°;

в) -105°.

Задание 3.

1.а -1ч.          2.а – 1ч.

1.б. – 2ч.       2.б. – 1ч.   

1.в. – 3ч.       2.в. – 3ч.

Задание 4.

Ответы

Вариант 3

Задание1.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 2.

а) 252°;

б) 40°;

в) -288°.

Задание 3.

1.а -1ч.          2.а – 3ч.

1.б. – 2ч.       2.б. – 1ч.   

1.в. – 4ч.       2.в. – 1ч.

Задание 4.

Ответы

Вариант 4

Задание1.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 2.

а) 300°;

б) 128 4/7°;

в) -108°.

Задание 3.

1.а -1ч.          2.а – 4ч.

1.б. – 2ч.       2.б. – 2ч.   

1.в. – 4ч.       2.в. – 3ч.

Задание 4.

Ответы

Вариант 5

Задание1.

а) ;

б) ;

в) .

Задание 2.

а) 225°;

б) 67,5°;

в) -157,5°.

Задание 3.

1.а -1ч.          2.а – 3ч.

1.б. – 3ч.       2.б. – 1ч.   

1.в. – 4ч.       2.в. – 3ч.

Задание 4.