Решение задач 1 части ЕГЭ по математике

1. Флакон шампуня стоит 140 рублей. Какое наибольшее количество флаконов можно купить на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35 %?

Решение.

Во время распродажи шампунь станет стоить 140 − 0,35 · 140 = 91 рубль.

Разделим 900 на 91:

Значит, можно будет купить 9 флаконов шампуня.

Ответ: 9.

2. 

На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимала Папуа – Новая Гвинея, одиннадцатое место — Индия. Какое место занимала Португалия?

Ответ: 9

3. 

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Площадь фигуры равна разности площади прямоугольника и трех треугольников. Поэтому

 см².

Ответ: 6.

4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,81. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 19.

Решение.

Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 12 пассажиров» и В = «в автобусе от 12 до 20 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,81 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,81 − 0,56 = 0,25.

Ответ: 0,25.

5. 

Найдите корень уравнения:  В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решение.

Решим уравнение:

где  — целое число. Значениям  соответствуют положительные корни.

Если , то  и 

Если , то  и 

Значениям  соответствуют меньшие значения корней.

Следовательно, наибольшим отрицательным корнем является число 

Ответ: −0,25.

6. 

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

Решение.

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата его боковой стороны и синуса угла между боковыми сторонами, следовательно,

,

где a — искомая боковая сторона треугольника. Поэтому a = 10.

Ответ: 10.

7. 

На рисунке изображён график функции y = f(x), определённой на интервале (−8; 5). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Решение.

Заданная функция имеет максимумы в точках −5, 0, 2 и минимумы в точках −7, −1, 1, 3. Поэтому сумма точек экстремума равна −5 + 0 + 2 − 7 − 1 + 1 + 3 = −7.

Ответ: −7.

8. 

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны оснований равны  боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, и A₁B₁ и точку С.

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник  правильный, следовательно, медиана  является биссектрисой и высотой. Из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора найдём 

Площадь искомого сечения — это площадь прямоугольника  найдём её:

Ответ: 15.

9. 

Найдите значение выражения 

Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 0,25.

10. 

При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, вычисляется по закону  где  м — длина покоящейся ракеты,  км/с — скорость света, а  — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала равна 57 м? Ответ выразите в км/с.

Решение.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 57 м. Задача сводится к решению уравнения  при заданном значении длины покоящейся ракеты  м и известной величине скорости света  км/с:

 км/с.

Ответ: 240000

11. 

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 5 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Первый обогнал второго на 5 км за шестую часть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика  км/ч, тогда скорость первого  км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 120 км/ч.

Ответ: 120.

12. 

Найдите точку максимума функции 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума 

Ответ: 4.

Краткое описание документа:

. Подготовка к экзаменам. Подробный разбор заданий ЕГЭ первой части.