Решение задач на составление уравнений (6 класс)

Решение одной задачи

Наибольшие трудности учащиеся испытывают при решении задач с параметрами. Это связано с тем, что основной упор делается на  решение  определенного набора стандартных задач. Задачи с параметром относятся к другому типу. Для их решения обычно требуются гибкость мышления, логика в рассуждениях, умение хорошо и полно анализировать ситуацию. Опыт показывает, что учащиеся, умеющие решать задачи с параметрами, успешно справляются и с другими задачами. Именно поэтому важно максимально полно анализировать ситуацию каждой задачи, начиная с самых простых. Очень эффективно это получается при решении задач с помощью уравнений. 

Рассмотрим решение задания №761 (Математика, 6 класс: Зубарева И.И., Мордкович А.Г.).

В двух корзинах лежало 84 яблока. Когда из первой корзины переложили  во  вторую 15 яблок , то  во  второй корзине яблок оказалось в три раза больше, чем в первой. Сколько яблок было в каждой корзине до перекладывания?

Данная задача задается учащимся на дом. В начале урока при проверке домашнего задания рассматриваются все полученные способы решения задачи.

 Вопросы по ходу решения:

1.     Сколько было яблок в первой корзине?

2.     Сколько было яблок во второй корзине?

3.     Сколько  яблок переложили и из какой корзины в какую?

4.     Сколько стало яблок в первой корзине?

5.     Сколько стало яблок во второй корзине?

6.     Изменилось ли общее количество яблок после перекладывания?

7.     Какое количество яблок стало в  каждой корзине после перекладывания?

I.           Решение задачи несколькими способами. Анализ полученных решений. Выбор более рационального способа из предложенных.

Первый способ решения

При решении задачи первым способом важно обратить внимание на  то, что в условии  говорится:  «во второй корзине яблок стало больше», а на  3 умножается количество яблок первой корзины.

I этап.  Составление математической модели (Анализ условия задачи и составление уравнения).

Пусть первоначально  в первой корзине  было х яблок, тогда во второй корзине (84 – x) яблок.  После того как из первой корзины во вторую переложили 15 яблок,  в первой стало (x– 15) яблок, а во второй  (84 – x + 15 = 99 – x) яблок.  Так как после  перекладывания во второй корзине яблок стало в три раза больше, составим и решим уравнение:

3(x  – 15) = 99 – x

II этап.  Работа с математической моделью. (Решение составленного уравнения)

3(x  – 15) = 99 – x

3x + x = 99 + 45

4x = 144

x = 36

III этап.  Ответ на вопрос задачи.

36 яблок было в первой корзине.

84–36= 48 (яблок) – было во второй корзине.

Ответ: 36 яблок лежало в первой корзине,  48 яблок –  во второй.

Второй способ решения

I этап. Составление математической модели (Анализ условия задачи и составление уравнения).

Пусть после перекладывания в первой корзине стало х яблок. Так как  во второй в три раза больше, следовательно в ней (3х) яблок. Поскольку  всего было 84 яблока, составим и решим уравнение:

x+3x=84

II этап. Работа с математической моделью. (Решение составленного уравнения)

x+3x=84

4x=84

x =21

III этап. Ответ на вопрос задачи.

21 яблоко стало в первой корзине после того, как из нее забрали 15 яблок.

21+15= 36 (яблок) – было в первой корзине.

84–36= 48 (яблок) – было во второй корзине.

Ответ: 36 яблок лежало в первой корзине,  48 яблок –  во второй.

Третий способ решения

I этап.  Составление математической модели (Анализ условия задачи и составление уравнения).

Пусть после перекладывания в первой корзине стало (х–15) яблок. Так как  во второй в три раза больше, следовательно в ней (3(х–15)) яблок. Поскольку  всего было 84 яблока, составим и решим уравнение:

(х–15) +3(х–15) =84

II этап. Работа с математической моделью. (Решение составленного уравнения)

(х–15) +3(х–15) =84

х–15 +3х–45 =84

x+3x=84+60

4x=144

x =36

III этап. Ответ на вопрос задачи.

36 яблок было в первой корзине.

84–36= 48 (яблок) – было во второй корзине.

Ответ: 36 яблок лежало в первой корзине,  48 яблок –  во второй.

II.  Полный анализ ситуации, предложенной в задаче

1.     В условии задачи указывается на то, что из первой корзины переложили  яблоки во вторую. Изменим данное условие следующим образом:  В двух корзинах лежало 84 яблока. Когда из одной корзины переложили в другую 15 яблок,  то в одной  корзине яблок  оказалось в три раза больше, чем в другой. Сколько яблок было в каждой корзине до перекладывания? Чем отличаются данные уравнения, и что обозначали в каждом за x?

          3(x– 15) = 84 – x + 15                     x– 15 = 3(84 – x + 15)

2.     В данной задаче после добавления яблок во вторую корзину, в ней стало яблок больше, чем в первой. Может ли после добавления яблок во второй корзине быть меньше, чем в первой? (Да, такое возможно, если в первой корзине значительно больше по сравнению со второй)

3.     Сколько должно быть яблок первоначально в каждой корзине, чтобы после перекладывания 15 яблок в обеих корзинах стало поровну?  (57 яблок в первой и 27 яблок во второй)

4.     Сколько должно быть яблок в корзинах изначально, чтобы после перекладывания 15 яблок из первой корзины во вторую, в первой корзине оказалось яблок меньше, чем во второй и наоборот, во второй меньше, чем в первой?

(Для того чтобы после перекладывания в первой корзине оказалось яблок меньше :

- минимальное количество яблок в первой корзине должно быть 15, тогда во второй будет 69;

- максимальное количество 56, тогда во второй 28.

Для того чтобы после перекладывания в первой корзине оказалось яблок больше :

- минимальное количество яблок в первой корзине должно быть 58, тогда во второй будет 26;

- максимальное количество 84, тогда вторая корзина первоначально была пустая.)

Решение по действиям

1)   84 : 4 = 21 (я) в первой корзине, после перекладывания.

2)   21+15 = 36 (я) в первой корзине первоначально.

3)   84 – 36 = 48 (я) во второй корзине первоначально.

Ответ: 36 яблок лежало в первой корзине,  48 яблок –  во второй.

На усмотрение учителя порядок вопросов может быть изменен.