Решение задач по линейной алгебре

Задача 1.1.

Заданы матрицы , ,

Найти:

а) (3А + 2В) · С

б) вычислить определитель матрицы А

Решение.

а) Вычислим: ,

Найдем сумму:

Вычислим произведение: =

=

=

б) вычислим определитель матрицы А

Ответ.

а)

б)

Задача 1.2.

Для матрицы  найти:

а)

б)

в) решить систему  матричным методом, где

Решение.

а) Найдем определитель матрицы А:

Вычислим алгебраические дополнения матрицы А:

Тогда:

б) Найдем :

в) Решим систему  матричным методом, где

Ответ.

а)

б)

в)

Задача 1.3. Решить систему уравнений методом Гаусса

Решение.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью цепочки элементарных преобразований приведем ее к «треугольному» виду.

Первую и вторую строку меняем местами:

Первую строку, умножив на (2), прибавим ко второй строке:

Первую строку, умножив на (2), прибавим к третьей строке:

Вторую и третью строку меняем местами:

Вторую строку, умножив на (-6), прибавим к третьей:

Получили матрицу «треугольного» вида (ниже главной диагонали стоят только нули). Найдем ранги основной и расширенной матриц. rang B = rang A = 3.

Система имеет единственное решение.

Из последней расширенной матрицы перейдем к системе:

Из третьего уравнения найдем z:

Из второго уравнения найдем у:

Из первого уравнения найдем х:

Ответ.

Задача 1.5. Даны вершины пирамиды , , , . Найти:

а) угол между векторами  и

б) площадь грани

в) проекцию вектора  на вектор

г) объем пирамиды

д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины

Решение.

а) Найдем координаты векторов и их модули:

,

,

Угол между векторами найдем по формуле:

Следовательно, угол равен

б) площадь грани  найдем через векторное произведение векторов:

в) ,

Проекция вектора  на вектор :

г) объем пирамиды найдем через смешанное произведение векторов:

д) длину высоты пирамиды, опущенной из вершины  вычислим как отношение объема пирамиды, умноженное на 3, на площадь ее основания:

Ответ.

а)

б)

в)

г)

д)

Задача 1.6. Даны вершины пирамиды , , , .

Найти:

а) угол между гранями  и

б) каноническое и параметрические уравнения прямой

в) уравнение плоскости параллельной плоскости , проходящей через точку

г) каноническое уравнение высоты пирамиды

Решение.

а) Угол между гранями (плоскостями) равен углу между нормалями к этим плоскостям.

Найдем нормали плоскостей по формулам:

Следовательно, угол равен

б)

Каноническое уравнение прямой :

Параметрическое уравнение прямой :

в) Нормаль плоскости  вычислен ранее:

Запишем уравнение плоскости параллельной плоскости , проходящей через точку :

г)  будет направляющим вектором высоты. Тогда каноническое уравнение высоты пирамиды

Ответ.

а)

б) Каноническое уравнение прямой :

Параметрическое уравнение прямой :

в)

г)

Задача 1.7. Даны три точки на плоскости: , , .

Найти:

а) уравнение стороны

б) уравнение высоты, опущенной из вершины

в) уравнение медианы, опущенной из вершины

г) уравнение прямой, параллельной прямой , проходящей через точку

д) угол при вершине . Сделать чертеж

Решение.

а) Найдем вектор , направляющий вектор прямой .

Уравнение стороны :

б) Найдем вектор , нормальный вектор прямой высоты. Уравнение высоты, опущенной из вершины :

в) Найдем координаты точки К – середины отрезка :

Уравнение медианы, опущенной из вершины , имеет вид:

г) Вектор , направляющий вектор прямой искомой прямой. Уравнение прямой, параллельной прямой , проходящей через точку :

д) Угол при вершине  вычислим как угол между векторами  и

Сделаем чертеж

Ответ.

а)

б)

в)

г)

д)

Задача 1.8.

Привести уравнение кривой второго порядка  к каноническому виду, выяснить, что это за кривая. Найти координаты смещенного центра. Построить кривую на плоскости.

Решение.

Выделим «полный квадрат» по обеим переменным, для этого прибавим и отнимем внутри каждой скобки половину коэффициента при x или y соответственно:

 – эллипс; координаты смещенного центра , ,  – полуоси эллипса.

Ответ.