Сам работа по математике ОУП 07

ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КУРСКИЙ ТЕХНИКУМ СВЯЗИ»

ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ

ВНЕАУДИТОРНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

по предмету

ОУП.07 Математика: алгебра, начала математического анализа,

геометрия.

для специальности

09.02.03 Программирование в компьютерных системах

г. Курск 2016 г.

Автор: Николенко Денис Владимирович, преподаватель математики 1 квалификационной категории ОБПОУ «Курский техникум связи»

Рецензенты:

1.Ботова Юлиана Николаевна, преподаватель математики высшей квалификационной категории ОБПОУ «Курский электромеханический техникум»

2.Нескородова Ирина Андреевна, преподаватель математики высшей квалификационной категории ОБПОУ «Курский техникум связи».

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Самостоятельная работа студентов является одним из видов учебных занятий.  Самостоятельная работа определяется как индивидуальная или коллективная учебная деятельность, осуществляемая без непосредственного руководства педагога, но по его заданиям и под его контролем.

Самостоятельная работа студентов  является одной из основных форм  внеаудиторной работы при реализации учебных планов и программ.   По предмету ОУП 07 Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия практикуются  следующие виды и формы самостоятельной работы студентов:

- отработка изучаемого материала по печатным и электронным источникам, конспектам лекций;

- изучение лекционного материала по конспекту с использованием рекомендованной литературы;

- проектная деятельность;

- завершение практических работ и оформление отчётов;

- подготовка информационных сообщений, докладов с компьютерной презентацией, рефератов;

- решение задач.

Самостоятельная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических умений студентов;

-углубления и расширения теоретических знаний;

- формирования умений использовать справочную и дополнительную литературу;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации;

- развития исследовательских умений.

Студент в процессе обучения должен не только освоить учебную программу, но и приобрести навыки самостоятельной работы. Студенту предоставляется возможность работать во время учебы более самостоятельно, чем учащимся в средней школе. Студент должен уметь планировать и выполнять свою работу.

Исходя из объемов максимальной и обязательной учебной нагрузки, на самостоятельную работу по предмету ОУП 07 « Математика» отводится 154 часа. Самостоятельная внеаудиторная работа выполняется студентами по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. Руководством для выполнения заданий служат учебные пособия, интернет-ресурсы.

Для организации самостоятельной работы необходимы следующие условия:
-готовность студентов к самостоятельному труду;
- наличие и доступность необходимого учебно-методического и справочного материала; 
- консультационная помощь.

Формы самостоятельной работы студентов определяются  при разработке рабочих программ учебных дисциплин содержанием учебной дисциплины, учитывая степень подготовленности студентов. 

Виды самостоятельных работ

В учебном процессе выделяют два вида  самостоятельной работы:

- аудиторная;

- внеаудиторная.

Аудиторная самостоятельная работа по дисциплине выполняется на учебных занятиях под непосредственным руководством преподавателя и по его заданию.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по   заданию преподавателя, но без его непосредственного участия.

Содержание внеаудиторной самостоятельной определяется в соответствии с рекомендуемыми видами заданий согласно примерной и рабочей программ учебной дисциплины.

Согласно Положения об организации внеаудиторной самостоятельной работы студентов на основании компетентностного подхода к реализации профессиональных образовательных программ, видами заданий для внеаудиторной самостоятельной работы являются:

-   для овладения знаниями: чтение текста (учебника, первоисточника,  дополнительной литературы), составление плана текста,  графическое изображение структуры текста, конспектирование текста, выписки из текста, работа со словарями и справочниками, ознакомление с нормативными документами, учебно-исследовательская работа, использование аудио-  и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета и др.

-       для закрепления и систематизации знаний: работа с конспектом лекции,  обработка текста, повторная работа над учебным материалом (учебника, первоисточника, дополнительной  литературы, аудио и видеозаписей, составление плана, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответ на контрольные вопросы, заполнение рабочей тетради, аналитическая обработка текста (аннотирование, рецензирование, реферирование, конспект-анализ и  др), завершение аудиторных практических работ и оформление отчётов по ним, подготовка мультимедиа сообщений/докладов к выступлению  на семинаре (конференции), материалов-презентаций, подготовка реферата, составление библиографии, тематических кроссвордов, тестирование и др.

-       для формирования умений:   решение задач и упражнений по образцу, решение вариативных задач, выполнение чертежей, схем, выполнение расчетов (графических работ), решение ситуационных (профессиональных) задач, подготовка к деловым играм, проектирование и моделирование  разных  видов и  компонентов  профессиональной  деятельности, опытно экспериментальная работа,  рефлексивный анализ профессиональных умений с использованием аудио- и видеотехники и др.

Самостоятельная работа может осуществляться индивидуально или группами студентов в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности, уровня умений студентов.

Контроль результатов внеаудиторной самостоятельной работы студентов может осуществляться в пределах времени, отведенного на обязательные учебные занятия по дисциплине и внеаудиторную самостоятельную работу студентов по дисциплине, может проходить в письменной, устной или смешанной форме.

ВИДЫ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

Решение задач Приближенное значение величины и погрешности приближений.

Комплексные числа. Свойства степени с действительным показателем. Основное логарифмическое

тождество. Переход к новому основанию. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму.

Проект Применение свойств функций в профессиональной деятельности. Комплексные числа и их применение.

Реферат Область определения и область значений обратной функции. Обратные тригонометрические функции. Великие ученые математики древности.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2012 г.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия».

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа.

2.

Начала математического анализа.

59

Проект

Решение задач дифференциального и интегрального исчисления с помощью Excel и Mathcad.

Использование методов приближенного интегрирования и дифференцирования в профессиональной деятельности.

Реферат История развития понятия производной. Основатели теории математического анализа. Великие математики 15-18 века. Великие математики 20 века.

Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение.

Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия».

3.

Геометрия

45

Самостоятельная работа:

Проект

Многогранники вокруг нас.

Решение задач

Площадь ортогональной проекции. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера. Наклонная. Усеченная пирамида. Призме и пирамиде. Усеченный конус. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию. Касательная плоскость к сфере. Плоскость и прямая.

Реферат

Векторный метод и решение стереометрических задач.

Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия».

Л. С. Атанасян. Геомктрия 10-11 классы. Учебник. М., 2015 г.

Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, учеб. для ссузов, М.: Дрофа.

ИТОГО

154

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о роли и месте математики в современном мире, общности её понятий

и представлений.

Знать:

- определение действительных и комплексных чисел;

- определение абсолютной и относительной погрешности;

- формулы разложения квадратного трехчлена на множители;

- геометрическую интерпретацию комплексного числа;

- правила действий над комплексными числами в алгебраической и

тригонометрической формах;

- формулы сокращенного умножения;

- бином Ньютона;

- способы решения систем линейных уравнений.

Уметь:

- выполнять арифметические действия над числами, сочетания устные

и письменные приемы;

- находить приближенные значения величин и погрешности

вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые

выражения;

- применять понятия, связанные с делимостью целых чисел при

решении математических задач;

- находить корни многочленов с одной переменной. раскладывать

многочлены на множители;

- выполнять действия с комплексными числами. Пользоваться

геометрической интерпретацией комплексных чисел;

- находить комплексные числа уравнений с действительными

коэффициентами;

- использовать при необходимости вычислительные устройства;

- пользоваться оценкой и прикладной при практических расчетах

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, конспектирование текста.

- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2015 г., стр.3-10.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 5–19.

- Приложение 1 (Теория сравнений, теория многочленов, комплексные числа)

2. Ответы на контрольные вопросы.

1. Какие числа образуют множество действительных чисел?

2. Какие числа называются рациональными?

3. Какие числа называются иррациональными?

4. Сформулируйте правило округления чисел.

5. Что называется модулем действительного числа?

6. Что называется абсолютной погрешностью числа?

7. Что называется относительной погрешностью числа?

8. Когда говорят, что число a делится на число b?

9. Что называется частным отделения числа a на b?

10. Что можно сказать о числах a и b, если они делят друг на друга?

11. Какие числа называются равноостаточными при делении на целое число m?

12. Каково необходимое и достаточное условие сравнимости чисел по данному модулю?

13. По какому модулю сравнимы все целые числа?

14. Как определить, сравнимы ли числа по данному модулю?

15. Приведите примеры целых чисел, сравнимых по модулю 8?

16. Какие числа называются комплексными?

17. Что называется модулем комплексного числа?

18. Какие комплексные числа называются сопряженными?

19. Тригонометрическая форма комплексного числа.

20. Показательная форма комплексного числа?

21. Сформулируйте правила действий над комплексными числами?

22. Что называется многочленом от одной переменной?

23. Что называется корнем многочлена?

24. Какие многочлены называются равными?

25. Как найти остаток от деления многочлена на многочлен?

26. Как найти корни многочлена?

3. Решение задач и упражнений.

   1. Выполнить действия:

   3. Выполнить действия. Полученный результат записать в виде десятичной дроби с точностью до сотых долей.

   5. Округлите число 27,0915 до сотых долей и найдите абсолютную и относительную погрешность приближения.

   6. По известной относительной погрешности приближенного числа найти его абсолютную погрешность и границы, в которых заключено само число: х = 100; ω = 0,5%

   7. При измерении длины одного отрезка с точностью до 0,004 м, было найдено значение 4,36 м , а при измерении длины другого отрезка с точностью до 0,05 см получено 10,5 см. Какое измерение по своему качеству лучше?

   8. Все ли числа из данной последовательности являются сравнимыми по модулю 6:

-27; -9; 0; 9; 69; 669; 430. Почему?

9. Как записать условие в виде равенства с параметром?

10. Выполнить действия

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

11. Представить в алгебраической форме комплексное число.

12. Представить в тригонометрической форме комплексное число.

-+ i

-1 – i

13. Найти частное двух чисел Z₁= cos + i·sin , Z₂ = cos + i·sin.

14. Найти произведение чисел Z₁= 2·(cos + i·sin), Z₂ = cos + i·sin.

15.

4. Работа с вычислительными средствами.

5. Подготовить доклад на тему «Из истории комплексных чисел».

КОРНИ, СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о показателе степени;

- о равносильности уравнений и неравенств;

- о десятичных и натуральных логарифмах;

- об основных методах решения показательных уравнений и неравенств;

- о способах решения логарифмических уравнений и неравенств.

Знать:

- определение степени с действительным показатели и её свойства;

- определение логарифма числа, свойства логарифмов, основного логарифмического тождества;

- формулу перехода к другому основанию логарифма;

- способы решения простейших показательных и логарифмических уравнений, показательных и логарифмических неравенств.

Уметь:

- выполнять действия со степенями;

- находить значение корня натуральной степени;

- находить степень с рациональным показателем;

- логарифмы;

- преобразовывать показательные и логарифмические выражения с помощью основных тождеств;

- вычислять значения показательных и логарифмических выражений;

- решать несложные уравнения, приводимые к видам:

- решать несложные неравенства, приводимые к видам:

> < <

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2015 г., стр. 17-35, 88-98.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2008 г., стр. 10-34.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 24–38.

2. Подготовка реферата по теме: «Логарифмы в жизни», «История логарифмов».

3. Работа с таблицами – привести примеры использования логарифмических таблиц при решении задач.

4. Решение задач.

1. Вычислить

а) б)

2. Упростить выражение.

а) б)

в) г)

3. Выполнить указанные действия.

а) б)

в) г)

4. Найти , если известно, что

а)

б)

5. Вычислить: а); б).

6. Упростить выражение.

а) б)

ОСНОВЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о радианном измерении углов;

- об обратных тригонометрических функциях;

- о решении тригонометрических неравенств;

знать:

- определение радиана и градуса;

- определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа;

- основные формулы тригонометрии, перечисленные в содержании материала;

- значения тригонометрических функций (табличных) аргументов;

- формулы соотношений между тригонометрическими функциями одного аргумента;

- формулы суммы и разности двух аргументов;

- формулы теорем сложения;

- формулы приведения, двойного и половинного аргумента;

- формулы преобразования суммы и разности одноимённых тригонометрических функций в произведение и обратно;

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств;

- способы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь:

- вычислять значения тригонометрических функций по заданному аргументу;

- находить по заданной тригонометрической функции остальные тригонометрические функции;

- преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;

- применять формулы приведения, формулы двойного и половинного аргумента, формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение при выполнении преобразований тригонометрических выражений и доказательстве тождеств;

- решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, а также несложные уравнения, водящиеся к простейшим с помощью тригонометрических формул.

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2015 г., стр.126-192.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2010 г., стр. 171-218.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 91–119.

-

2. Работа с таблицей Брадиса – вычисление значений углов.

Решить задачи.

1. 1. Высота Останкинской телевизионной башни – 540 м. Найдите угол в градусах, под которым видна башня с расстояния 2000 м. В ответе укажите целое число градусов.

   2. Строение высотой 30 м бросает тень длиной 45 м. Найдите угол наклона солнечных лучей. В ответе укажите целое число градусов.

   3. Человек, пройдя вверх по склону холма 1000м, поднялся на 90 м над плоскостью основания холма. Найдите (в среднем) угол наклона холма в градусах. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

   4. Маятник длиной 50 см отклонили от положения равновесия на расстояние, равное 12 см. Найдите угол, который образует новое положение маятника с положением равновесия. В ответе укажите целое число градусов.

2. Изготовить «тригонометр».

3. Ответить на контрольные вопросы.

   1. Какой угол называется углом в один радиан?

   2. Сформулируйте формулы перехода от градусного измерения углов к радианному и наоборот?

   3. Чему равна градусная мера дуги в один радиан?

   4. Дайте определение единичной окружности?

   5. Дайте определение тригонометрическим функциям через единичную окружность?

   6. Какой координате точки соответствует значение синуса угла?

   7. Какой координате точки соответствует значение синуса угла?

   8. Какой координате точки соответствует значение косинуса угла?

   9. Как определяются знаки тригонометрических функций по четвертям?

   10. Какие тригонометрические функции являются четными и какие - нечетными? Почему?

   11. Какие тригонометрические выражения называются тождественно равными?

   12. Выразите тригонометрические функции через синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно.

   13. Какие числа являются периодами функции синуса и косинуса?

   14. Какие числа являются периодами функции тангенса и котангенса?

   15. При каких вычислениях необходимо знание формул приведения?

   16. Сформулируйте правило записи формул приведения.

   17. Как выполняется понижение степени тригонометрических функций?

   18. При каких вычислениях необходимо знание формул сложения?

   19. При каких вычислениях необходимо знание формул двойного и половинного аргумента?

   20. Какие уравнения называются тригонометрическими?

   21. Перечислите простейшие тригонометрические уравнения.

   22. Перечислите основные способы решения тригонометрических уравнений.

   23. Как выполняются преобразования с помощью вспомогательного аргумента?

ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ. СТЕПЕННЫЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

Иметь представление:

- о различных способах задания функции;

- о сдвиге и деформации графика функции;

- о бесконечно малой и бесконечно большой величине и их связи.

Знать:

- определение функции, сложной и обратной функции;

- свойства функции (монотонность, ограниченности, чёткость, нечёткость, периодичность, непрерывность);

- определение предела функции в точке и свойства пределов;

- свойства степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

Уметь:

- находить область определения функции;

- находить значение функции, заданной аналитически или графически, по значению аргумента и наоборот;

- вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

- определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;

- строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

- использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

- определять непрерывность функции в точке;

- производить простейшие преобразования графиков функций;

- решать уравнения, системы уравнений, неравенства, используя

свойства и графики функций.

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

- Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2015 г., стр.39-114, 197-224.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2012 г., стр. 219-270.

- Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.45-80.

- Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 38-44, 107-112, 120-140.

-

2. Решение упражнений по образцу.

Образец выполнения задания

Построить графики функции и провести исследование по следующей схеме:

1. 1. Найти область определения функции.

   2. Найти множество значений функции.

   3. Свойства функции: непрерывность, четность (нечетность), возрастание (убывание), интервалы знакопостоянства.

   4. Нули функции.

   5. Точки пересечения с осями координат.

   6. Периодичность функции.

1. 1. Область определения множество R всех действительных чисел: .

   2. Множество значений функции: .

   3. Функция непрерывна в области определения.

1. 4. Функция

1. 5. Функция возрастает на промежутке , убывает - .

   6. Функция положительна на всей области определения.

   7. Нули функции: y = 0 при х = 0.

   8. Точка пересечения с осями координат – (0;0).

   9. Функция непериодическая.

Выполнить задания:

Построить графики функции и провести исследование по следующей схеме:

1. 1. Найти область определения функции.

   2. Найти множество значений функции.

   3. Свойства функции: непрерывность, четность (нечетность), возрастание (убывание), интервалы знакопостоянства.

   4. Нули функции.

   5. Точки пересечения с осями координат.

   6. Периодичность функции.

3. Повторная работа над материалом учебника. Построение и преобразование графиков в различных прикладных информационных программах (проектно-исследовательская деятельность).

Ответить на вопросы:

1. 1. Сформулируйте определение функции.

   2. Что называется областью определения функции?

   3. Что называется областью значения функции?

   4. Какими способами может быть задана функция?

   5. Какие функции называются четными и как они исследуются на четность?

   6. Какие функции называются нечетными и как они исследуются на нечетность?

   7. Приведите примеры четных и нечетных функций.

   8. Какие функции называются возрастающими и убывающими?

   9. Какие функции называются обратными?

   10. Перечислите основные элементарные функции?

   11. Как связаны между собой графики логарифмической и показательной функций?

   12. Как связаны между собой графики функций синуса и арксинуса?

   13. Как связаны между собой графики функций косинуса и арккосинуса?

   14. Как связаны между собой графики функций тангенса и арктангенса?

Выполнить задания:

Построить графики функций.

4. Решение вариантных задач и упражнений.

Выполнить задания:

1. 1. Построить графики функций в среде Mathcad и провести исследование схеме.

1. 2. Найдите функцию, обратную данной , укажите область определения и область значений обратной функции, Постройте графики данной и обратной функции в одной системе координат.

а) ,

б) , ,

в)

1. 3. Найдите область определения каждой из функций:

а) _{б) в)}

_г) д)

1. 4. Построить графики функций:

а) _{б) в) г)}

_{д) е) ж) з)}

_4. Какие из указанных ниже функций являются четными: какие нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными:

а) ; б) ; в) .

5. Запишите все решения уравнения , принадлежащие промежутку .

6. Запишите все решения неравенства , принадлежащие промежутку _.

5. Ответы на контрольные вопросы.

Вопросы п.3

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о табличном и графическом представлении данных;

- о правилах комбинаторики;

- о формуле бинома Ньютона;

- о методе перебора и конструировании вариантов при решении комбинаторных задач.

Знать:

- формулы числа перестановок, сочетаний, размещений;

- формулу бинома Ньютона и свойства биноминальных коэффициентов.

Уметь:

- решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул треугольника Паскаля;

- вычислять коэффициента бинома Ньютона по формуле и с использованием треугольника Паскаля.

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

2. • Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2010 г., стр. 97-133.

   • Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 64–76.

   Решение комбинаторных задач.

1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.

6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

11. Найти номер члена разложения бинома , не содержащего х.

12. Найти пятый член разложения бинома .

13. Найти сумму биномиальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена на 9 больше биномиального коэффициента второго члена.

14. Найти седьмой член разложения бинома , если биномиальный коэффициент третьего члена равен 36.

15. Сколько членов разложения бинома являются целыми числами?

16. Вычислить сумму .

17. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно х, получаемого в разложении бинома .

18. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов разложения равна 512. Найти слагаемое, не содержащее х.

19. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения больше двух соседних с ним слагаемых?

20. При каком значении х четвертое слагаемое разложения в двадцать раз больше m, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5 : 1?

21. В какую наибольшую степень следует возвести бином чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?

3. Подготовка презентаций.

   1. Предмет комбинаторики. История развития комбинаторики.

   2. Предмет комбинаторики. Основные понятия комбинаторики.

   3. Предмет комбинаторики. Бином Ньютона и треугольник Паскаля.

КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о компланарных векторах, базисе, разложении вектора по заданному

базису на плоскости и в пространстве;

- о системах координат – полярной, декартовой, о радиус-векторе точки, о координатах радиуса вектора, о векторе на плоскости и в пространстве;

- о задачах линейного программирования.

Знать:

- определение вектора, действия над векторами;

- свойства действий над векторами;

- понятие прямоугольной декартовой системы координат на плоскости и в пространстве;

- правила действий над векторами с заданными координатами;

- формулы для вычисления длины вектора, угла между векторами, расстояния между двумя точками;

- формулы уравнения прямой, сферы и плоскости.

Уметь:

- выполнять действия над векторами;

- разлагать векторы на составляющие на плоскости и в пространстве;

- вычислять угол между векторами, длину векторами;

- применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов.

Виды самостоятельной работы студентов.

1. 1. 1. Повторная работа над материалом учебника и дополнительной литературы.

• Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2012 г., стр. 77-111.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2010 г., стр. 133-170.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 77–90.

2. Домашняя самостоятельная работа: «Использование координат и векторов при решении прикладных задач».

Вариант 1

1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

1) ненулевые векторы и называются сонаправленными, если …..

2) = , если….

3) векторы и противоположно направлены, если ….

4) Если АВСD – параллелограмм, то

2. Установите истинность утверждений:

1) разностью векторов и называется такой вектор , что + =;

2) средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме;

3) ненулевые векторы называются равными, если они равны по длине.

3. АВСD – квадрат. АВ = 5. равно

1) 10; 2) ; 3)

4.

5.МК – средняя линия трапеции АВСD

6. Вектор равен.

7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы и вектор.

8. На стороне ВС ромба АВСD лежит точка К так, что ВК=КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и .

9. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

10. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы: ;

11. Какие из данных точек Y( 7; 3; 0), D (2; 0; 0), A(0; 0; -7), L(-1; 0; -32), O( 0; -0,1; 0), S(10; 1; 0); M(0; 2,5; -1),

N(4; 2; 1), K(-9;0;0) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

12. а) Запишите координаты векторов: = -0,4 + - ; = 9 - 5; = -8

б) Запишите разложения векторов и по координатным векторам , , и найдите их скалярное произведение: ;

13. Даны векторы ;. Найдите координаты вектора = (2-)+ (2)

14. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и . Найдите длины этих векторов.

Вариант 2

1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

1) ненулевые векторы и называются коллинеарными, если ….

2) = - , если….

3) векторы и сонаправлены, если ….

4) Если АВСD – ромб, то

2. Установите истинность утверждений:

1) произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , что ;

2) средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее противоположных сторон;

3) от любой точки А можно отложить вектор, равный вектору , и притом только один.

3. АВСD – квадрат. АВ = 4. равно

1) 8; 2) ; 3)

4. EF – средняя линия трапеции АВСD

5. Вектор равен

6.

7. В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы и вектор.

8. На стороне DС квадрата АВСD лежит точка Р так, что СР=РD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и .

9. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60^о, боковая сторона равна 8 см, а меньшее высота основание 7см. Найдите среднюю линию трапеции.

10. Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте векторы: ;

11. Какие из данных точек A( 0; 3; 0), B (2; 0; 8), C(0; 5; -7), D(-1; 5; -3), E( 5; -3,5; 0), F(10; 0; 0); G(0; 8; -1),

N(4; 2; 1), K(0;0;6) принадлежат а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

12. а) Запишите координаты векторов: = 4 - 7; = 12 + 5- 2,8; = -0,8

б) Запишите разложения векторов и по координатным векторам , , и найдите их скалярное произведение: ;

13. Даны векторы ;. Найдите координаты вектора = (-+ 2)+ ( + 3)

14. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и . Найдите длины этих векторов.

2. Ответы на контрольные вопросы.

1. Дайте определение вектора.

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие векторы называются равными?

4. Как производится сложение и вычитание векторов?

5. Дайте определение угла между векторами.

6. Какой вектор называется единичным?

7. Как находится проекция вектора на ось?

8. Как записываются координаты радиус-вектора?

9. Перечислите правила действий над векторами, заданными своими координатами.

10. Сформулируйте условие коллинеарности двух векторов.

11. Как вычисляется длина вектора?

12. Дайте определение скалярного произведения двух векторов.

13. Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

14. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

15. Как найти угол между векторами (формула)?

16. Как вычисляется расстояние между двумя точками?

17. Как найти координаты середины отрезка?

18. Как найти точку, делящую отрезок в данном отношении?

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения, о

скорости изменения функции;

- о производных высших порядков;

- о дифференциале функции, о применении дифференциала к приближённым вычислениям;

- о наибольшем и наименьшем значении функции на отрезке, о применении экстремумов к решению прикладных задач;

- о пределе последовательности.

Знать:

- определение производной, её геометрический и физический смысл;

- алгоритм нахождения производной в общем виде;

- правила и формулы дифференцирования функций, перечисленных в содержании учебного материала;

- формулу для нахождения производной сложной функции;

- уравнение касательной, углового коэффициента касательной;

- определение дифференциала функции;

- определение второй производной, её физический смысл;

- правила нахождения интервалов монотонности, экстремумов функции, промежутков выпуклости и вогнутости графиков функций;

- общую схему построения графиков функций с помощью производной;

- правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функций на промежутке;

- определение первообразной функции, неопределённого интеграла, свойства неопределённого интеграла;

- таблицу основных формул интегрирования;

- определение определённого интеграла, его свойства, геометрический смысл определённого интеграла;

- формулу Ньютона-Лейбница.

Уметь:

- находить сумму бесконечно-убывающей геометрической прогрессии;

- вычислять производные и первообразные элементарных функций, применяя правила вычисления производных и первообразных, используя справочные материалы;

- использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

- решать задачи с применением уравнения касательной к графику функции;

- применять производную для проведения приближенных вычислений;

- решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения, на нахождения скорости и ускорения;

- вычислять определённый интеграл с помощью основных свойств и по формуле Ньютона-Лейбница;

- решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла;

- вычислять в простейших случаях площади и объёмы с использованием определенного интеграла.

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

• Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2015 г., стр. 225-305.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 81-184.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 157–216.

2. Составление таблиц.

- Сделать карточку с таблицей производных основных элементарных функций, основными правилами дифференцирования.

- Составить таблицу, включающую в себя основные этапы исследования функции с помощью производной и действия, которые необходимо выполнить на этих этапах.

- Составить таблицу интегралов основных элементарных функций.

3. Решение задач и упражнений по образцу.

Образец выполнения задания.

Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график

.

Выполнить задания:

Исследовать функцию по предложенной схеме и построить ее график с помощь. Maiple,Mathcad (проектно-исследовательская деятельность).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Образец выполнения здания.

2. 1. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0.

Решение. Выполним построение фигуры. Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2). Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0,5x + 2, т.е. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т.е. f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

Ответ. S = 13, 5 кв. ед.

2. 2. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры ограниченной осью Ox и полуволной синусоиды y = sin x (0 ≤ x ≤ π).

Решение. Выполним построение. По формуле , получим

Ответ: V = (куб. ед.)

Выполнить задания:

В задачах 1 – 4 найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) x – y + 2 = 0, y = 0, x = -1, x = 2.

2) x – y + 3 = 0, x + y – 1 = 0, y = 0.

3) y = x², y = 0, x = 0, x = 3.

4) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π/2.

В задачах 5 – 8 найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями:

5) y² – 4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0.

6) y² – x + 1 = 0, x – 2 = 0, y = 0.

7) y = - x² + 2x, y = 0.

8) y² = 2x, x – 2 = 0.

4. Ответы на контрольные вопросы.

2. 1. 1. Что называется мгновенной скоростью изменения функции?

      2. Дайте определение производной функции.

      3. Сформулируйте общее правило нахождения производной функции.

      4. Объясните геометрический смысл производной.

      5. Сформулируйте основные правила дифференцирования.

      6. Чему равна производная постоянной?

      7. Какую функцию называют сложной? Приведите примеры.

      8. Как вычисляется производная сложной функции?

      9. Как найти угловой коэффициент касательной к графику данной функции?

      10. Какие физические задачи решаются с применением производной?

      11. Что называется производной второго порядка?

      12. В чем заключается физический смысл второй производной?

      13. Объясните, как применяется производная для исследования функции на возрастание и убывание?

      14. Дайте определение максимума и минимума функции.

      15. Укажите необходимое и достаточное условие максимума и минимума.

      16. Изложите правило исследования функции на максимум и минимум.

      17. Как определяется с помощью производной выпуклость функции вверх и вниз?

      18. Какое действие называется интегрированием?

      19. Что называется первообразной функции?

      20. Дайте определение неопределенного интеграла.

      21. Как проверить результат интегрирования?

      22. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

      23. Напишите формулу Ньютона-Лейбница и объясните ее смысл.

      24. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

      25. Объясните геометрический смысл определенного интеграла.

5. Подготовка презентаций по использованию производной и интеграла.

• «Физический смысл производной. Решение физических задач с применением производной»

• «Исследование функций с помощью производной»

• «Применение производной при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений»

• «Использование интеграла для вычисления площадей фигур»

• «Использование интеграла для нахождения объемов тел вращения»

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о логической структуре геометрии, аксиомах, теоремах и системе

аксиом планиметрии;

- о скрещивающихся, параллельных и пересекающихся прямых;

- о параллельной проекции точки, прямой, фигуры;

- об угле наклона прямой к плоскости;

- о двугранном угле, линейном угле двугранного угла и его величине;

- об ортогональном и параллельном проектированиях;

- о расстоянии токи до плоскости, от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми и между фигурами;

- о многогранном угле и свойствах его плоских углов.

Знать:

- основные понятия стереометрии;

- аксиомы стереометрии и следствия из них;

- взаимное расположение прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве;

- основные теоремы о параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей;

- понятие угла между прямыми, угла между прямой и плоскостью, двугранного угла, угла между плоскостями;

- основные теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости, перпендикулярности двух плоскостей;

- формулу расстояния от точки до плоскости.

Уметь:

- устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы параллельности;

- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах, признак перпендикулярности плоскостей для вычисления углов и расстояний в пространстве;

- вычислять углы между плоскостями;

- находить расстояние между скрещивающимися прямыми, от прямой

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

• Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2015 г., стр.3-56.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Изд. «Академия», 2010 г., стр. 35-96.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 50–63.

2. Подготовка презентаций на тему:

• «Взаимное расположение прямых в пространстве»

• «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

• «Взаимное расположение плоскостей в пространстве»

• «Параллельное проектирование»

• «Ортогональное проектирование»

3. Решение задач и упражнений по образцу.

Образец выполнения заданий.

Задача 1. Найти угол между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба.

Решение.

Найдем, например, угол между диагоналями A₁C₁ и AD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Проведем диагональ AC грани ABCD. A₁C₁||AC, поскольку AA₁C₁C – прямоугольник (AA₁||CC₁, AA₁ = CC₁, AA₁⊥ABC). Тогда углы между прямыми A₁C₁ и AD₁, и A₁C и AD₁ будут равны.

Рассмотрим треугольник AD₁C . Все его стороны равны, как диагонали равных квадратов, поэтому все его углы равны 60⁰ , т. е. угол между прямыми A₁C и AD₁ равен 60⁰ . Следовательно, искомый угол между прямыми A₁C₁ и AD₁ также равен 60⁰.

Задача 2. В правильном тетраэдре найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Решение.

Найдем, например, угол между ребром AS и плоскостью ABC.

Поскольку AO − проекция AS на плоскость основания и cos∠(AO,AS) = , то ∠(AO, AS) = arccos. Следовательно, ∠(AS, ABC) = arccos.

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S – вершина), сторона основания которой равна a, а боковое ребро l, найти расстояние между прямой AB и плоскостью SCD.

Решение. Прямая AB параллельна плоскости SCD (AB||CD). Проведем плоскость через вершину S и середины К и М ребер AB и CD. Эта плоскость перпендикулярна плоскости SCD. Перпендикуляр KN к прямой SM является перпендикуляром и к плоскости SCD. Его длина равна искомому расстоянию. Высоты боковых граней пирамиды равны: , высота . Выражая площадь равнобедренного треугольника SKN двумя способами , из последнего равенства получаем

Задача 4. В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1) Проведем АН перпендикулярно DC, тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC).

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD),
тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН² = ЕА² + АН²;

ЕА² = 16 – 12 = 4;

ЕА = 2.

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

S_EAH = (EA · AH)/2 или S_EAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК² = 3.

Выполнить задания.

2. 1. 1. 1. Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А₁, С₁, А₂, С₂ соответственно. Найти ВС₁, если А₁В : А₁А₁ = 1 : 3, ВС₂ = 12.

         2. В треугольнике АВС угол В – прямой, ВС = 2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВDC, АD = √2, угол между плоскостями АВC и ВСD равен 45°. Найти угол (в градусах) между прямой АС и плоскостью (ВDC).

         3. В правильном тетраэдре найти угол между боковым ребром и не пересекающей его медианой основания.

4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Найдите расстояние от середины ребра B₁C₁ до прямой MT, где точки M и T– середины ребер CD и A₁B₁ соответственно.

5. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра AB = , SC = 10. Точка N – середина ребра BC. Найдите тангенс угла, образованного плоскостью основания и прямой AT, где T– середина отрезка SN.

6. В кубе A..D1найдите углы между плоскостями BC₁D и BA₁D.

7. Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. докажите, что треугольник BCE- прямоугольный. Найдите его площадь.

8. ABCD- квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH- перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HE и BD перпендикулярны.

2. Ответы на контрольные вопросы.

2. 1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

   2. Что такое аксиома?

   3. Сформулируйте основные аксиомы стереометрии.

   4. Назовите возможные варианты взаимного расположения прямых в пространстве.

   5. Перечислите возможные варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

   6. Приведите возможные варианты взаимного расположения двух плоскостей в пространстве.

   7. Назовите признак параллельности прямой и плоскости.

   8. Как найти угол между скрещивающимися прямыми?

   9. Какие плоскости называются параллельными?

   10. Сформулируйте признак параллельности плоскостей.

   11. Дайте определение прямой перпендикулярной у плоскости.

   12. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

   13. Какая прямая называется наклонной к плоскости?

   14. Что называется проекцией наклонной на плоскость?

   15. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

   16. Как определить угол между прямой и плоскостью?

   17. Что называется двугранным углом?

   18. Назовите элементы двугранного угла.

   19. Как найти градусную меру двугранного угла?

   20. Какие плоскости называются перпендикулярными?

   21. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнениях;

- об изображении на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными.

Знать:

- алгоритм решения иррациональных уравнений и неравенств;

- способы решения рациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств;

- формулы решения простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

Уметь:

- решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

- доказывать несложные неравенства;

- решать текстовые задачи с помощью составления уравнений и неравенств, интерпретируя результат с учётом ограничений условия задачи;

- изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

- находить приближённые решения уравнений и их систем, используя графический метод.

Виды самостоятельной работы студентов.

1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

• Алимов Ш.А. и др. «Алгебра и начала анализа», учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. Изд. -М: Просвещение, 2015 г., стр.52-69, 75-87,103-114,165-196.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.239-285.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 228–246.

2. Решение задач.

Выполнить задания.

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .

3. Решите уравнение .

4. Решите уравнение .

5. Решите уравнение .

6. Решите уравнение .

7. Решите уравнение .

8. Решите уравнение .

9. Решите уравнение .

10. Решите уравнение .

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

13. Найдите наибольший корень уравнения .

14. Решите уравнение .

15. Решите уравнение .

16. Найдите положительный корень уравнения .

17. Найдите наибольший корень уравнения .

18. Решите уравнение

19. Решите уравнение

20. Найдите число корней уравнения на промежутке .

21. Решите уравнение 3^х-5 = 8. В ответе укажите ближайшее целое число.

22. Найдите наименьший корень уравнения

23. Решите уравнение . В ответе укажите число корней этого уравнения на отрезке .

24. Решите уравнение .

25. Решите уравнение .

26. Решите уравнение .

27. Найдите количество корней уравнения на отрезке .

28. Найдите количество корней уравнения

29. Пусть - решение системы. Найдите значение выражения .

30. Пусть - решение системы. Найдите значение выражения .

31. Пусть - решение системы. Найдите .

32. Пусть - решение системы. Найдите .

33. Пусть - решение системы. Найдите значение выражения .

34. Пусть - решение системы. Найдите наибольшую сумму .

35. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

36. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

37. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

38. Найдите сумму всех целых решений неравенства .

39. Найдите количество всех целых решений неравенства .

40. Найдите количество всех целых решений неравенства .

3. Ответы на контрольные вопросы.

   1. 1. 1. Дайте определение уравнения с одной переменной.

         2. Какие уравнения называются равносильными?

         3. Что называется корнем уравнения?

         4. Какие уравнения называются рациональными?

         5. Назовите виды рациональных уравнений.

         6. Что называется системой двух уравнений?

         7. Что называется совокупностью двух уравнений?

         8. В чем различие между совокупностью и системой двух уравнений?

         9. Что называется неравенством?

         10. Что называют решением неравенства?

         11. Перечислите основные свойства неравенств.

         12. Какие уравнения называются иррациональными?

         13. В каком случае появляются посторонние корни иррационального уравнения?

         14. Каким способом может быть устранено наличие посторонних корней иррационального уравнения?

         15. Какие уравнения называются показательными?

         16. Назовите основные методы решения показательных уравнений.

         17. Как решается простейшее показательное неравенство?

         18. Какое свойство показательной функции используется при решении неравенств?

         19. Какие уравнения называются логарифмическими?

         20. Назовите основные методы решения логарифмических уравнений.

         21. Как решается простейшее логарифмическое неравенство?

         22. Какое свойство логарифмической функции используется при решении неравенств?

         23. Какие тригонометрические уравнения называются простейшими?

         24. Перечислите основные методы решения тригонометрических уравнений.

         25. Как решить тригонометрическое неравенство с помощью единичной окружности (графика функции)?

4. Работы со справочниками по нахождению способов решений уравнений

МНОГОГРАННИКИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о геометрическом теле и его поверхности;

- о многогранной поверхности;

- о выпуклых и вогнутых многогранниках;

- о правильных многогранниках;

- о площади поверхности тела

Знать:

- понятие многогранника, правильного многогранника, правильной пирамиды и их поверхностей;

- определение призмы, параллелепипеда, пирамиды, а также свойства перечисленных геометрических тел;

- формулы площади поверхности: призмы, пирамиды и из разновидностей;

- свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними.

Уметь:

- изображать на чертежах призму, параллелепипед, пирамиду (всех видов);

- строить простейшие сечения многогранников плоскостью;

- вычислять и изображать основные элементы призмы, параллелепипеда, пирамиды;

- вычислять боковую и полную поверхность призмы, параллелепипеда, пирамиды и их простейших комбинаций;

- соотносить плоские геометрические фигуры и трёхмерные объекты с их описаниями, чертежами, изображениями, различать и анализировать взаимное расположение фигур;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;

- проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса.

Виды самостоятельной работы студентов.

2. 1. 1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

• Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2012 г., стр. 57-76.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр.15-22.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 141–148, 152-156.

2. 1. 2. Изготовление моделей геометрических тел.

По технологической карте, изготовления  моделей  Платоновых тел с помощью разверток, выполните модели многогранников, используя цветной картон, клей, карандаш, линейку, циркуль и ножницы.      

Технологическая карта изготовления моделей многогранников

с помощью разверток

При склеивании развертки сделайте необходимые припуски для склеивания.

Грани: 4 треугольника

Вершин: 4

Ребер:  6

Гексаэдр (куб)

Грани: 6 квадратов

Вершин: 8

Ребер: 12

Октаэдр

Грани: 8 треугольников

Вершин: 6

Ребер: 12

Додекаэдр

Грани: 12 пятиугольников

Вершин: 20

Ребер: 30

Икосаэдр

Грани: 20   треугольников

Вершин: 12

Ребер: 30

2. 1. 3. Решение задач и упражнений.

Решите следующие задачи.

1. Основания прямой призмы – ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности - 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

2. Основание прямого параллелепипеда – ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений P и Q.

3. Основания прямой призмы – ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

4. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

6. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетом см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

7. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

8. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с острым углом 30°. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. 1. 4. Выполнение практической работы по теме: «Сечения многогранников»

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃ , которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

Выполнить задания.

2. 1. 1. 1. 1. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки А₁, М ∈ D₁C₁ и N ∈ DD₁.

            2. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки: M ∈ A₁B₁, N ∈ B₁C₁ и K ∈ CC₁.

            3. Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки M ∈ SB, N ∈ SC, K ∈ AD.

            4. Постройте сечение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью, проходящей через точки M ∈ A₁B₁; N ∈ BB₁ и K ∈ AC.

3. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через точки M ∈ SA; N ∈ SC; K ∈ BC.

5.Подготовка к тестовому контролю.

Ответьте на вопросы.

1. Как называется фигура, состоящая из двух равных многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях, и n параллелограммов?

2. Как называются стороны граней многогранника?

3. Как называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани?

4. У какой призмы боковые ребра перпендикулярны к основаниям?

5. Что выражается этой формулой ?

6. Как называется высота боковой грани правильной пирамиды?

7. Что выражается этой формулой ?

8. Какой многоугольник лежит в основании правильной призмы?

9. Что вычисляется по этой формуле ?

10. Какая фигура является боковой гранью призмы?

11. Как называется фигура, состоящая из многоугольников и n треугольников?

12. Как называются концы ребер?

13. Какой многогранник лежит в основании правильной пирамиды?

14. Что у прямой призмы может являться высотой?

15. Что вычисляется по этой формуле ?

16. Как называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

17. По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

18. Какая фигура является боковой гранью усеченной пирамиды, усеченной правильной пирамиды?

19. Какая фигура является боковой гранью пирамиды, правильной пирамиды?

20. Приведите примеры предметов из окружающего мира, которые имеют вид призм и пирамид.

Тест по теме Призма. Пирамида.

№ 1. Площадь диагонального сечения куба равна см². Найдите площадь поверхности куба.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 2. Длины диагоналей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, равны см, см и см. Найдите диагональ параллелепипеда.

а) см; б) см; в) см; г) см.

№ 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 см и 3 см, а синус угла между ними равен . Найдите угол, который образует большая диагональ параллелепипеда с основанием, если боковое ребро параллелепипеда равно см.

а) ; б) ; в) ; г) .

№ 4. Площади двух диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 48 см² и 30 см², а боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь основания параллелепипеда, если оно является ромбом.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 5. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а большая диагональ призмы образует с основанием угол, равный 60⁰. Найдите площадь полной поверхности призмы.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 6. АВСА₁В₁C₁ – наклонная треугольная призма. Двугранный угол при ребре АА₁ равен 90⁰. Расстояния от ребра АА₁ до ребер ВВ₁ и СС₁ равны соответственно 4 см и 3 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна см и боковое ребро образует с основанием угол 60⁰.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 7. АВСА₁В₁C₁ – правильная треугольная призма. Через ребро А₁В₁ и точку М – середину АС - проведено сечение, площадь которого равна см². Найдите высоту призмы, если сторона её основания равна 2 см.

а) см; б) см; в) см; г) см.

№ 8. АВСDА₁В₁C₁D₁ – прямоугольный параллелепипед. Причем АВ = см, ВС = см, ВВ₁ = см. Через точки А, В₁ и С проведена плоскость. Найдите тангенс угла между плоскостями АВ₁С и АВС.

а) ; б) ; в) ; г) .

№ 9. Все ребра правильной треугольной пирамиды равны между собой. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания.

а) ; б) ; в) ; г) .

№ 10. Найдите высоту треугольной пирамиды, если все ее боковые ребра по см, а стороны основания равны 10 см, 10 см и 12 см.

а) см; б) см; в) см; г) см.

№ 11. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональное сечение пирамиды – прямоугольный треугольник, площадь которого равна 32 см².

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 12. Основание пирамиды – ромб, каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 60⁰. Найдите площадь основания пирамиды, если высота пирамиды 9 см, а один из углов ромба 45⁰.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 13. Основание пирамиды МАВСDEF – правильный шестиугольник АВСDEF со стороной 8 см. Ребро АМ перпендикулярно основанию и равно 8 см. Найдите двугранный угол между гранью МЕD и плоскостью основания.

а) ; б) ; в) ; г) .

№ 14. Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 см и 6 см. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 45⁰.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 15. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны 6 см и 12 см. Угол между плоскостями боковой грани и основания равен 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности данной усеченной пирамиды.

а) см²; б) см²; в) см²; г) см².

№ 16. КАВСD – правильная четырехугольная пирамида. Точки М и N – середины ребер КВ и КС. Найдите периметр сечения пирамиды плоскостью, параллельной грани АКD и проходящей через точки М и N, если сторона основания пирамиды 16 см, а высота пирамиды 4 см.

а) см; б) см; в) см; г) см.

ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о телах вращения и их поверхности.

Знать:

- понятие: тело вращения, поверхности вращения;

- определения цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара, сферы;

- элементы тел вращения;

- понятия осевых сечений и сечений параллельных основанию;

- понятие касательной к плоскости сфере.

Уметь:

- изображать на чертеже круглые тела;

- строить простейшие сечения круглых тел плоскостью;

- вычислять и изображать основные элементы цилиндра, конуса, шара;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства тел вращения.

Виды самостоятельной работы студентов.

2. 1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

• Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2012 г., стр. 119-139.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 22-26.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 149-151.

2. 2. Изготовление моделей геометрических тел.

Изготовить макеты цилиндра и конуса, усеченного конуса.

2. 1. 1. Развертка цилиндра состоит из двух оснований в форме кругов (верхнего и  нижнего) и боковой поверхности в форме правильного прямоугольника. Высота боковой поверхности равна высоте цилиндра, а ширина - длине окружности основания. Можно рассчитать все параметры цилиндра.

Придать прямоугольнику криволинейную поверхность возможно двумя путями:

- Прокатать через вал (карандаш, ручку)

- Вертикально надрезать поверхность на 1\3 толщины развертки с наружной стороны через 3-5 мм

Второй способ позволяет получить поверхность лучшего качества.

Основания в развертке необходимо снабдить нить монтажными элементами. Для этого на кругах основания требуется построить отвороты в виде треугольников, надрезать их с наружной стороны и загнуть.

Получив все элементы развертки цилиндра, можно приступать к его склеиванию.

2. 1. 2. Конус также является простым телом вращения. В основании конуса лежит круг. Боковая поверхность конуса на развертке представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей. Для построения развертки конуса графическим способом разделим плоскость основания на 12 (16, 24 и т.д.) частей и отложим измерителем 12 таких частей на длине окружности, проведенной радиусом, равным длине образующей. Точность построения боковой развертки конуса увеличивается с увеличением количества частей, на которые разбит круг. После этого следует надрезать боковую поверхность конуса через 3-5 мм снаружи, вдоль образующей. Для изготовления макета конуса, как и для цилиндра, необходимо у оснований сделать монтажные отвороты. С их помощью можно будет склеить основания с боковой поверхностью. Качество макета будет зависеть от точности построения развертку.

2. 3. Часто используют усеченные формы конуса. Если плоскости основания параллельны секущей плоскости, то в сечении получается круг.

2. 4. Решение задач и упражнений по образцу.

Задача 1. Высота конуса равна 57, а диаметр основания — 152. Найдите образующую конуса.

Решение.

Рассмотрим осевое сечение конуса. По теореме Пифагора:

Ответ: 95

Задача 2. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

Решение

Ответ: 12 см.

Задача 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72π, а диаметр основания — 9. Найдите высоту цилиндра.

Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле: 

Значит,

 

Ответ: 8

Задача 4. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Решение.

Из условия найдем, что радиус такого шара.

.

Ответ: 10

Выполнить задания.

1. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.

2. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания — 1. Найдите высоту цилиндра.

4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2п, а высота — 1. Найдите диаметр основания.

5. Радиусы двух шаров равны 32 и 60. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

6. Вычислите площадь сферы, если площадь большого круга 144П см².

7. Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°.

8. Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около шара, если площадь поверхности шара равна
   330 см².

9. Найдите площадь полной поверхности тела вращения, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника с катетами 6/√π и 8/√π вокруг меньшего катета.

10. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в раза больше первого?

2. 5. Выполнение практической работы по теме «Тела вращения».

Практическая часть:

В детском саду дети готовятся к новогоднему представлению. Все костюмы готовы за исключением головных уборов для следующих персонажей: петрушка, кот в сапогах, солдат-пехотинец и знайка. Шефами этого садика являются студенты из расположенного рядом техникума. Студенты вызываются помочь своим подшефным в решении этой проблемы. Перед ними встает вопрос: какое количество материала будет затрачено для каждого из головных уборов, если в наличии имеется шелк шириной 1,5 м (для петрушки и знайки), сатин шириной 2 м (для солдата) и бархат шириной 0,9 м (для кота в сапогах).

Обучающиеся разбиваются на группы для того чтобы произвести соответствующие расчеты (размеры для головных уборов представлены в практической части). Перед участниками каждой группы стоят следующие задачи:

• изучить информацию;

• выбрать необходимое тело вращения для изготовления головного убора;

• выяснить какие данные для формулы вычисления площади поверхности данного тела вращения можно извлечь из представленных размеров;

• найти площадь поверхности тела вращения;

• высчитать необходимое количество материала.

1. Костюм «Петрушка»: окружность головы 60 см, высота колпака 70 см.

2. Шляпа «Знайки»: окружность головы 58 см, сторона квадрата 50см, высота шляпы 55 см.

3. Костюм «Кот в сапогах»: окружность головы 52 см, длина окружности полей 100 см, высота верхней части 42см.

4. Каска солдата-пехотинца: окружность головы 64см.

2. Подготовка исследования на тему: «Тела вращения вокруг нас»

2. Ответы на контрольные вопросы.

1.Определение цилиндра. Чертеж (сделать чертеж с буквенными обозначениями)

2.По чертежу показать и назвать основные элементы цилиндра

3.Как получить цилиндр вращением? Сделать чертеж

4.Назвать и показать сечения цилиндра плоскостями.

5.Чему равна площадь полной поверхности цилиндра? Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?

6.Определение конуса. Чертеж (сделать чертеж с буквенными обозначениями). По чертежу показать и назвать основные элементы конуса

7. Как получить конус вращением? Сделать чертеж

8.Назвать и показать сечение конуса разными плоскостями

9.Как можно получить усеченный конус? Что называется основанием усеченного конуса? Что называется высотой усеченного конуса?

10.Чему равна площадь полной поверхности конуса? Чему равна площадь боковой поверхности конуса?

11.Определение шара, сферы. Чертеж (сделать чертеж с буквенными обозначениями) По чертежу показать и назвать основные элементы шара

12.Когда в сечении сферы плоскостью получается окружность?

13.Когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку? А когда не имеют общих точек?

14.Чему равна площадь сферы радиуса R ?

15.Уравнение сферы в прямоугольной системе координат

ИЗМЕРЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ

Требования к знаниям и умениям

Студент дожжен:

иметь представление:

- об объёме фигур вращения;

- о вписанных и описанных многогранниках;

- о вписанных и описанных круглых телах;

- о подобных телах.

Знать:

- формулы для вычисления объёма параллелепипеда, куба, прямой и наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара;

- формулы для вычисления объёма тел вращения;

- формулы площади поверхности цилиндра, конуса, усечённого конуса и их вывод;

- формулу площади сферы.

Уметь:

- находить объём прямой и наклонной призмы, пирамиды, круглых тел при решении несложных задач;

- вычислять боковую и полную поверхность цилиндра, конуса, шара;

- решать несложные задачи с практическим содержанием;

- находить отношения площадей поверхностей и объёмов подобных тел.

Виды самостоятельной работы студентов.

2. 1. Работа над учебным материалом: чтение текста, составление плана и конспектирование текста.

• Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2012 г., стр. 140-168.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 185-208.

• 2012, стр. 228–246.

2. 2. Решение задач и упражнений по образцу.

Задача 1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите объём конуса.

Решение.

cosАВО= ВО=R=АВ*cos30⁰=

треугольник АВО –прямоугольный, напротив угла в 30⁰ лежит катет, равный половине гипотенузы, отсюда следует, что Н= 2 см

4. см³

Ответ: V=8 см³

Задача 2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45⁰ .

В₁ С₁

А₁ Д₁

В С

А Д

Решение.

1. V=abc=S*H

2. рассмотрим треугольник В₁ВД;

а) треугольник В₁ВД – прямоугольный, так как ВВ₁АВСД,

б) В₁ДВ=45⁰, отсюда следует ДВ₁В=45⁰, треугольник В₁ВД - равнобедренный ВВ₁=ВД=4 см

3. треугольник АВД – прямоугольный , так как в основании АВСД – квадрат и АВ=АД

пусть АВ = АД = а, по теореме Пифагора

а²+а²=4²

2а²=16

а²=8

а₁= и а₂= - ( посторонний корень)

4. см³

Ответ: объём параллелепипеда равен 32 см³

Задача 3. Найдите объём конуса, полученного вращением равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой см вокруг своего катета.

В

А О С

Решение.

1)

2) Δ АОВ - прямоугольный , равнобедренный АО=ВО, по т. Пифагора найдем

R=ОА

Пусть АО = а, тогда

а² + а² =

2а²=18

а² =9

а₁=3 - радиус и высота

а₂ = - 3 п. к.

3)

Ответ:

Задача 4. Объём шара см³. Вычислите площадь поверхности шара.

Решение.

1)

2)

3)

4)

Ответ:

Задача 5. Образующая и радиусы большего и меньшего основания усечённого конуса равны соответственно 13 см, 11 см, 6 см. Вычислите объём этого конуса.

Решение.

1. , где S- площадь верхнего основания, S₁ - площадь нижнего основания,

2. x=R₁ – R=11-6=5 (см)

3. найдём h по теореме Пифагора (см)

4. (см³)

ответ: V= 892 см³

Задача 6. Найдите объём правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона основания – 4см.

Решение.

3. треугольник АВС – прямоугольный, АС= смАО=ОС=

4. Н, высоту найдём из прямоугольного треугольника АОS, см

5. V= см³

Ответ: объём усечённого конуса равен см³

Задача 7. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.

Решение.

2. дм³

Ответ: V=2800 дм³

Задача 8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра

Решение.

1. V=S_осн*Н=

2. Треугольник АСД – прямоугольный, по теореме Пифагора

3. АД=2R R=6 см

4. см^і

Ответ: объём цилиндра равен см³

Задача 9. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.

Решение.

1. V_пар-да=авс

V_куба=а³ V_пар-да=V_куб (по условию)

2. V_пар-да=15*36*50=27000 см³

3. а=

Ответ: а куба= 30 см.

Выполнить задания.

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найти боковое ребро параллелепипеда.

2. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB=AC=13см, BC=10см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

3. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник ABC, в котором . Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найти тангенс двугранного угла при ребре AC.

4. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5см. Найти площадь боковой поверхности призмы.

5. Высота цилиндра равна 12см, а радиус основания – 10см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси так, что в сечении получился квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

6. Высота конуса равна 12см. Найти площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60⁰, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол в 30⁰ .

7. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10см. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16см.

8. Сфера касается граней двугранного угла в 120⁰. Найти радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

2. 3. Практическая работа на решение прикладных задач.

Выполнить задания.

2. 1. 1. При взрыве заряда взрывчатого вещества воронка действия имеет вид конуса, где - линия наименьшего сопротивления, а r-радиус воронки. Определить объем взорванной породы в пределах конуса разрыхления, если ==1,5м.

2. 1. 2. Сколько железнодорожных платформ грузоподъемностью 25 т каждая нужно для перевозки кучи угля, имеющего форму конуса с высотой Н=7,5 м, если плотность угля =1300 кг/см³, а уголь естественного откоса =50⁰?

2. 1. 3. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м³ на площади размером 2,5х 1,75 м, служащей для него. Найдите высоту резервуара.

      4. Кирпич размером 25х12х6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.

      5. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя (сторона) ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна )?

2. 1. Подготовка презентаций на тему:

• «Комбинации многогранников и тел вращения»

• «Многогранники и тела вращения вокруг нас»

2. 5. Ответы на контрольные вопросы.

Ответьте на вопросы по теме: «Объёмы геометрических тел»

1. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса, на плоскость основания называется:

А) образующей Б) высотой В) диагональю Г) диаметром

2. Гранью куба является: А) ромб Б) прямоугольник В) квадрат Г) параллелограмм

3.Сечение конуса, параллельной плоскости основания будет

А) круг Б) прямоугольный треугольник В) равнобедренный треугольник

4. Прямая призма, в основании которой лежит параллелограмм называется:

А) куб Б) квадрат В) параллелепипедом Г) ромбом

5. Тело, состоящее из двух кругов, совмещенных параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов называется

А)цилиндром Б) конусом В) шаром Г) сферой

6. Объём усеченной призмы равен :

А) Б) В) V=abc Г)

7. Объём наклонной призмы равен:

А) V=abc Б) нет верного ответа В)V=SH Г) V=a³

8. Объём шара выражается формулой:

А) Б) В) Г)

9. Объём конуса можно вычислить по формуле:

А) Б) В) Г)

10. Объём цилиндра вычисляется с помощью формулы:

А) V=abc Б) В) Г)

11. Прямая призма, в основании которой правильный многоугольник называется :

А) многогранником Б) параллелепипедом В) правильной Г) додекаэдром

12. Тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от данной точки, называется:

А) сфера Б) шар В) окружность Г) эллипс

13. Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания, называется:

А) касательной Б) диаметром В) высотой Г) образующей

14. Границей шара является : А) сфера Б) круг В) радиус Г) овал

15. Тело, состоящее из круга и точки, не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками круга, называется:

А) цилиндром Б) усечённым конусом В) конусом Г) шаром

16. Объём усечённого конуса выражается формулой:

А) Б) В) Г) V=abc

17. Объём параллелепипеда можно найти по формуле:

А) V=ab Б) V=ac В) V=bc Г) V=abc

18. Объём прямой призмы равен:

А) Б) В) Г)

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Требования к знаниям и умениям

Студент должен:

иметь представление:

- о событиях и их видах;

- о вероятности события;

- об анализе информации статистического характера;

- о реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм и графиков;

- о задачах математической статистики.

Знать:

- определение вероятности события;

- теоремы сложения и умножения вероятностей;

- законы распределения случайной величины;

- формулу Бернулли;

- элементы математической статистики;

- понятие о законе больших чисел.

Уметь:

- находить вероятность события, сложение и умножение вероятностей;

- находить числовые характеристики дискретной случайной величины;

- представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

- решать практические задачи с применением вероятностных методов.

Виды самостоятельной работы студентов.

2. 1. 1. Работа над учебным материалом.

• Башмаков М.И. «Математика», учебник для 11 кл.: среднее (полное) общее образование (базовый уровень). М.: Издательский центр «Академия», 2010, стр. 209-238.

• Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, стр. 217-227.

2. 1. 2. Решение задач и упражнений по образцу

Задача 1. На входной двери имеется замок c 10 цифрами на кнопках. Для того, чтобы открыть замок, необходимо нажать три кнопки так, чтобы цифры на них составили определенное число. Найти вероятность того, что замок откроют с первой попытки.

Решение. Найдем вероятность этого события по классическому определению вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов.
- число различных кодовых комбинаций (первая цифра любая от 0 до 9, вторая цифра любая от 0 до 9 и третья цифра любая от 0 до 9).
- только одна комбинация (число) верная.
Тогда вероятность открыть замок равна: .

Задача 2. В урне 10 пронумерованных бочонков с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого бочонка не превосходит 2?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого бочонка не превосходит 2). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу бочонков с номерами не более 2 (то есть 1 и 2), поэтому m=2. Общее число исходов n=10. Следовательно, .

Задача 3. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика.

Решение

Событие A - будут дежурить 2 мальчика.
В классе всего 21 чел. , выбрать двоих можно

способами.
Мальчиков 7, двоих из них можно выбрать

способами.
Тогда вероятность того, что будут дежурить 2 мальчика равна

Задача 4. После измерения массы тела 100 женщин тридцати лет получили следующие данные:

интервал

Середина интервала

m

60-65

62,5

14

65-70

67,5

33

70-75

72,5

29

75-80

77,5

14

80-85

82,5

7

85-90

87,5

3

Графическим изображением интервального вариационного ряда является гистограмма частот. Для ее построения на оси х откладывают интервалы шириной h, на каждом интервале строят прямоугольник высотой m.

Вычисление среднего значения массы тела женщин 30 лет. Х=(62,5•14+67,5•33+72,5•29+77,5•14+82,5•7+87,5•3)/ 100=71,3.

Задача 5. На рисунке приведен полигон частот некоторого ряда данных. Составьте таблицу частот и найдите объем, размах, среднее арифметическое, моду и медиану.

.

Решение. На полигоне частот отмечены точки с координатами: (1;22), (2;26), (3;16), (4;25), (5;20). Все возможные варианты располагаются по оси ОХ, а их частоты по оси ОУ, поэтому таблица частот будет выглядеть так:

1

2

3

4

5

Частота

22

26

16

25

20

Объем выборки равен количеству вариант выборки, т. е. 22+26+16+25+20=109. Размах выборки равен разности наибольшей и наименьшей варианты, т. е. 26 – 16=10. Среднее арифметическое находится как частное суммы всех вариант выборки и объема выборки, т. е.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение случайной величины. Поэтому мода равна 2.

Медиана – это серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины. Так как объем выборки не четное число, то медиана равна значению центрального члена упорядоченного ряда.

, т. е. значению 55 члена ряда. Значит медиана равна 3.

Задача 6. Для учеников 8-го класса составили распорядок дня и получили такую таблицу:

Занятие

сон

учебное время

отдых

домашнее задание

дорога в школу

Время в часах

8

6,5

4

2

0,5

Постройте круговую и столбчатую диаграмму по данным таблицы.

Решение.

Находим центральные углы, соответствующие данным таблицы. Полный оборот радиуса вокруг центра круга равен 360º - это соответствует 24 часам. Тогда 8 часам будет соответствовать угол 360º·8/24=120º. Таким же способом находим другие углы:

360º·6,5/24=97,5º

360º·2/24=30º

360º·4/24=60º

360º·0,5/24=7,5º.

Затем строим эти углы в круге и получили круговую диаграмму, отражающую расход времени учеников 8 класса.

Изобразим столбчатую диаграмму для этой задачи

Количество часов потраченных на какое-либо занятие – это частота, она определяет высоту столбцов диаграммы.

Выполнить задания.

1.В ящике находятся 3 белых, 5 черных и 6 красных шаров. Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: а) белый и черный; б) желтый; в) не белый?

2. Брошены 2 игральные кости. Какова вероятность того, что на одной кости выпало 3 очка, а на другой – четное число очков?

3. В урне 6 белых шаров, 11 – черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

4.На рисунке приведена столбчатая

диаграмма распределения количества учеников разных классов участвовавших в зарнице с помощью столбчатой диаграммы ответьте на вопросы:

а) Сколько учеников 11 класса участвовало в зарнице?

б) Сколько учеников 7 класса участвовало в зарнице?

в) Каковы размах, мода и объем данного ряда?

г) Составьте таблицу частот упорядоченного ряда.

5.По данному упорядоченному ряду 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5 составьте таблицу частот, круговую диаграмму, столбчатую диаграмму и полигон. Найдите для каждого упорядоченного ряда объем, размах, среднее арифметическое, моду и медиану.

6. Учитель подсчитал, сколько раз за четверть ученики класса пропускали уроки математики, и у него получилась следующая таблица:

Аникеев

6

Макаров

7

Барышникова

8

Романов

3

Волкова

5

Тютин

10

Вьюгин

2

Гусев

12

Дремина

4

Ермолаев

11

Какое из графических представлений данных целесообразно использовать для сравнительного анализа результатов и почему?

2. 1. 1. Подготовка докладов на тему:

• «Из истории развития теории вероятностей»

• «Задачи математической статистики».

Критерии оценки внеаудиторной самостоятельной работы студентов

Качество выполнения внеаудиторной самостоятельной работы студентов оценивается посредством текущего контроля самостоятельной работы студентов. Текущий контроль СРС – это форма планомерного контроля качества и объема приобретаемых студентом компетенций в процессе изучения дисциплины, проводится на практических занятиях и во время консультаций преподавателя.

Максимальное количество баллов «отлично» студент получает, если:

• обстоятельно с достаточной полнотой излагает соответствующую тему, оформляет решение задачи;

• дает правильные формулировки, точные определения, понятия терминов;

• может обосновать свой ответ, привести необходимые примеры;

• правильно отвечает на дополнительные вопросы, имеющие целью выяснить степень понимания студентом данного материала.

Оценку «хорошо» студент получает, если:

• неполно, но правильно изложено задание;

• при изложении были допущены 1-2 несущественные ошибки, которые он исправляет после замечания преподавателя;

• дает правильные формулировки, точные определения, понятия терминов;

• может обосновать свой ответ, привести необходимые примеры;

• правильно отвечает на дополнительные вопросы, имеющие целью выяснить степень понимания студентом данного материала.

Оценку «удовлетворительно» студент получает, если:

• неполно, но правильно изложено задание;

• при изложении была допущена 1 существенная ошибка;

• знает и понимает основные положения данной темы, но
  допускает неточности в формулировке понятий и решении заданий;

• излагает выполнение задания недостаточно логично и последовательно;

• затрудняется при ответах на вопросы.

Оценка «неудовлетворительно» студент получает, если:

• неполно изложено задание;

• при изложении были допущены существенные ошибки, т.е. если оно не удовлетворяет требованиям, установленным преподавателем к данному виду работы.

Заключение

Самостоятельная работа всегда завершается какими-либо результатами. Это выполненные задания, упражнения, решенные задачи, написанные сочинения, заполненные таблицы, построенные графики, подготовленные ответы на вопросы.

Таким образом, широкое использование методов самостоятельной работы, побуждающих к  мыслительной и практической деятельности, развивает столь важные интеллектуальные качества человека, обеспечивающие в дальнейшем его стремление к постоянному овладению знаниями и применению их на практике.

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основная литература по всем разделам:

1. Баврин И.И. Математический анализ: учебник.– М.: Высш.шк., 2010

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2012.

3. Богомолов, Н. В. Математика : учеб. Для ссузов. - М. : Дрофа, 2012.

4. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник. - М.: Высш.шк., 2010.

5. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. Сред. Проф. учреждений. – М.: Издательский центр «Академия», 2010.

6. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы.- М.: Форум, 2010.

Дополнительные источники:

1. Богомолов, Н. В. Сборник задач по математике . - М. : Дрофа, 2007

2. Выгодский М.Я Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 2007

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа. – 1980

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2: Учеб. пособие для студентов втузов/ П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа. – 1980

5. Омельченко, В. П. Математика. - Ростов на Дону : Феникс, 2008.

6. Филимонова Е.В. Математика: учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – Ростов н/Д: Феникс, 2005.

7. Щипачев В.С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2007

8. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2007

Интернет-ресурсы:

1. http://siblec.ru – Справочник по высшей математике.

2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, курсовые. примеры решения задач, интегралы и производные. дифференцирование, производная и первообразная, электронные учебники.

3. www.newlibrary.ru – Новая электронная библиотека.

4. www.mathnet.ru – Общероссийский математический портал.

5. www.edu/ru - Федеральный портал российского образования.

www. matburo.ru – Матбюро: решение задач по высшей математике.