Статья для внеклассной работы по математике по теме "Криптограмма школьнику".

Криптограммы  школьнику.

Яковлева Лилия Геннадьевна, учитель математики,

г. Новокузнецк, МБОУ СОШ №49

Введение.

 

         Криптограмма - это довольно распространенный вариант головоломки из слов, которая  бывает труднее, чем любая другая игра. Данная тема заинтересовала меня уже давно, после того, как в разделе кроссвордов в газете была напечатана криптограмма. Странность криптограмм в том, что чем они длиннее, тем легче их расшифровать. Поэтому целью моей исследовательской работы является изучение основных способов тайнописи и научиться зашифровывать и расшифровывать криптограммы. Задачи проекта:

1) Изучить теоретический материал по данной теме;

2) Научиться составлять криптограмму различными способами;

3) Расширить кругозор;

4)  Показать применение математики в различных областях.

Моя работа имеет прикладное значение потому, что я не только изучил данную тему и показал, как можно самому составлять криптограммы, но и каждый желающий может сам составить любую криптограмму, проявив фантазию и воображение.

     1.  Историческая справка:

            Способ письма, имеющий целью уберечь некоторые сообщения от посторонних  глаз, сделать написанное понятным только для посвященных или рассчитанный на разгадывание, называется криптографией или тайнописью. А надпись, выполненная  одним из способов криптографии, называется криптограммой.

            Коды появились в глубокой древности в виде криптограмм (по-гречески - тайнопись). Порой священные иудейские тексты шифровались методом замены. Вместо первой буквы алфавита писалась последняя буква, вместо второй - предпоследняя и так далее. Этот древний метод шифрования назывался атбаш. Известно, что шифровалась переписка Юлия Цезаря (100 - 44 гг. до н. э.) с Цицероном (106 - 43 г.г. до н. э.).

Шифр Цезаря реализуется заменой каждой буквы в сообщении другой буквой этого же алфавита, отстоящей от нее в алфавите на фиксированное число букв. В своих шифровках Цезарь заменял букву исходного открытого текста буквой, отстоящей от исходной буквы впереди на три позиции.

      С начала эпохи Возрождения (конец XIV столетия) начала возрождаться и криптография. Наряду с традиционными применениями криптографии в политике, дипломатии и военном деле появляются и другие задачи - защита интеллектуальной собственности от преследований инквизиции или заимствований злоумышленников. В разработанных шифрах перестановки того времени применяются шифрующие таблицы, которые в сущности задают правила перестановки букв в сообщении. В качестве ключа в шифрующих таблицах используются: а) размер таблицы; b) слово или фраза, задающие перестановку; c) особенности структуры таблицы. В русских рукописях криптограммы встречаются с ХII-ХIII веков.

2. Основные способы тайнописи:

1. Применение чужих, малоизвестных алфавитов. В старинных рукописях кириллические буквы нередко заменялись глаголическими, греческими, латинскими. К этому же принципу следует отнести и специально изобретенные алфавиты.
2. Написание слов в обратном порядке- от конца к началу.
3. Очень часто направление письма изменяется с каждой строкой: первая пишется справа налево, вторая – слева направо, третья – справа налево и т.д. Такая система записи называется «бустрофедон» - в переводе с греческого – «повороты быка при пахоте». Этим способом письма пользовались в критском, хеттском, южноаравийском, этрусском и греческом языках.
4. Запись текста в виде некоторой фигуры, например спирали.
5. Размещение букв шифрованной надписи в определенном условном порядке между другими буквами, образующие надписи иного содержания. Простейшая разновидность – акростих.
6. Нарочитое изменение знаков: приписывание дополнительных черточек или встречающихся в русских рукописях т.н. полусловица, или иначе – недописывание букв. К полусловице криминалисты часто причисляют стертые и вылинявшие от времени тексты.
7. Липограмма – способ письма с опущением гласных букв. Записанная в этой манере пословица «Дальше в лес, больше дров» будет выглядеть так: «Длш в лс, блш дрв»
8. Замена одних букв другими по их месту в алфавите. Среди них наиболее известна тарабарская грамота, или литорея. Тарабарская грамота – вид тайнописи, употреблявшийся в Древней Руси. При этом способе шифровки согласные буквы располагались в два ряда, например:

б	в	г	д	ж	з	к	л	м	н
п	р	с	т	ф	х	ц	ч	ш	щ

        При письме вместо верхних согласных употреблялись нижние, и наоборот. Гласные же и полугласные («ь» и «ъ») оставались без замены. «Тарабарская грамота» относится к шифрам, в которых каждая буква может заменяться определенным знаком (буквой, цифрой) или изображением. Но чаще других, что позднее и закрепилось, замена одних букв русского алфавита другими по литорее идет по следующей таблице:

б	в	г	д	ж	з	к	л	м	н
щ	ш	ч	ц	х	ф	т	с	р	п

        Существует способ замены буквы буквой, непосредственно ей предшествующей или непосредственно за ней следующей, или же буквой, которая стоит за ней на пятом, на восьмом, вообще на некотором установленном месте. При этом буквы алфавита располагаются циклически, т.е. за последней буквой идет первая.
9. Употребление специальных шаблонов по примеру греческих скитал. Предположим, шаблон представляет собой квадрат с отверстиями. Если его приложить к какому-нибудь печатному произведению, находящемуся в распоряжении как отправителя, так и получателя, то через открытые места в шаблоне можно прочесть зашифрованное письмо.
10. Замена букв условными знаками или цифрами, или группами букв, имеющих в сумме то же цифровое значение, что и заменяемая буква. В старинных русских рукописях для этого использовалось цифровое значение кириллических букв.

          Римляне и греки заменяли буквы алфавита цифрами, условными знаками либо соответственно переставляли буквы. Усложнением такой криптограммы являлось введение нескольких разных знаков для обозначения одной и той же часто повторяющейся буквы, а так же «немые» знаки, ничего не обозначающие и только усложняющие понимание зашифрованного сообщения. Ещё один вариант этого способа – применение вместо ключевых слов – смысловых ключей, где отсутствуют буквы, а имеются изображения предметов.

         Зашифровка текста может вестись также дробями, где числитель и знаменатель имеют определенные значения и показывают, из какого занумерованного слова какая по порядку расположения в данном слове буква должна занять место в этой дроби. Одним словом, способ использования специальных ключей и кодов – наиболее распространенный и трудный. Для прочтения текстов с их помощью нужны незаурядные комбинационные способности.

3. Способы криптографии:

1)Простая перестановка

2)Одиночная перестановка

3)Двойная перестановка

4)Магический квадрат

 1)Простая перестановка.

И	А	Н	Б
Н	Н	Е	Ы
О	Е	П	Л
П	Т	Р	И
Л	Я	И

                                                             Читается так:   ИАНБННИЫОЕПЛПТРИЛЯИ

      Но на самом деле так:  ИНОПЛАНЕТЯНИ ПРИБЫЛИ

2)Одиночная перестановка.                                   

         Несколько большей стойкостью к раскрытию обладает метод шифрования, называемый одиночной перестановкой по ключу. Этот метод отличается от предыдущего тем, что столбцы таблицы переставляются по ключевому слову, фразе или набору чисел длиной в строку таблицы.

Применим в качестве ключа, например, слово Пеликан  а текст сообщения возьмем из предыдущего примера. На рис. показаны две таблицы, заполненные текстом сообщения и ключевым словом, при этом левая таблица соответствует заполнению до перестановки, а правая таблица - заполнению после перестановки. В верхней строке левой таблицы записан ключ, а номера под буквами ключа определены в соответствии с естественным порядком соответствующих букв ключа в алфавите. Если бы в ключе встретились одинаковые буквы, они бы были пронумерованы слева направо. В правой таблице столбцы переставлены в соответствии с упорядоченными номерами букв ключа. При считывании содержимого правой таблицы по строкам и записи шифртекста группами по пять букв получим шифрованное сообщение:

ГНВЕП ЛТООА ДРНЕВ ТЕЬИО РПОТМ БЧМОР СОЫЬИ                                          

3)Двойная перестановка.

 Для обеспечения дополнительной скрытности можно повторно зашифровать сообщение, которое уже прошло шифрование. Такой метод шифрования называется двойной перестановкой. В случае двойной перестановки столбцов и строк таблицы перестановки определяются отдельно для столбцов и отдельно для строк. Сначала в таблицу записывается текст сообщения, а потом поочередно переставляются столбцы, а затем строки. При расшифровании порядок перестановок должен быть обратным.

Пример выполнения шифрования методом двойной перестановки показан на рис.  Если считывать шифртекст из правой таблицы построчно блоками по четыре буквы, то получится следующее:

ТЮАЕ ООГМ РЛИП ОЬСВ

Ключом к шифру двойной перестановки служит последовательность номеров столбцов и номеров строк исходной таблицы (в нашем примере последовательности 4132 и 3142 соответственно).

4) Применение магических квадратов.

В средние века для шифрования перестановкой применялись и магические квадраты.

Магическими квадратами называют квадратные таблицы с вписанными в их клетки последовательными натуральными числами, начиная от 1, которые дают в сумме по каждому столбцу, каждой строке и каждой диагонали одно и то же число.

Шифруемый текст вписывали в магические квадраты в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения. В те времена считалось, что созданные с помощью магических квадратов шифртексты охраняет не только ключ, но и магическая сила.

Пример магического квадрата и его заполнения сообщением  ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО показан на рис.

                                   

 Рис.  Пример магического квадрата 4х4 и его заполнения сообщением

ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО

Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет вполне загадочный вид:  ОИРМ ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП

Число магических квадратов быстро возрастает с увеличением размера квадрата. Существует только один магический квадрат размером 3х3 (если не учитывать его повороты). Количество магических квадратов 4х4 составляет уже 880, а количество магических квадратов 5х5 - около 250000.

4. Применение компьютерных программ

      Существует множество компьютерных программ для дешифрования криптограмм, например labcrypt v1.1

    Программа предназначена для ручного дешифрования криптограмм, зашифрованных с помощью шифра простой замены. Для дешифрования используется метод частотного анализа. Пользователь, сравнивая таблицы частот букв для русского языка и для данной криптограммы, определяет каким буквам криптограммы, соответствуют буквы открытого текста.

Пример работы данной программы:

     Для того чтобы расшифровать данный текст, с начала записывают криптограмму, а затем вводят таблицу замен, исходя из частоты букв в русском языке. Т.о. и происходит дешифровка криптограммы.

Достоинства программы:

    Кроме основной функции программы - выполнение указанных замен в тексте, программа имеет следующие особенности:

1. Буквы для замены вводятся не с клавиатуры, а выбираются из списка. Это имеет следующие преимущества: во-первых, из списка исключены уже занятые буквы, во-вторых, буквы в списке упорядочены по частоте встречаемости в тексте.

2. Буква, для которой сейчас была сделана замена, выделяется в тексте цветом. Это облегчает изучение результатов этой замены.

3. Любую из ранее сделанных замен можно отменить.

4. Список сделанных замен можно сохранить в файле.

5. Есть таблица частот букв в тексте: в первой строке указана буква, во второй - сколько раз встретилась эта буква в тексте, в третьей - относительная частота встречи этой буквы в тексте(ее вероятность - чтобы получить значение в процентах, надо поделить указанное число на 10). Буквы в таблице упорядочены по частоте встречаемости в тексте.

6. Есть таблица частот букв в русском языке (эталон): содержание столбцов такое же, как в предыдущей таблице.

Использование программы:

    Замена осуществляется с помощью операции "Заменить". Все произведенные замены отображаются в окне с текстом с помощью подсветки: красный - замененные, красный на желтом - последняя замена, черные – исходный шифр; и в дополнительном окне. Предусмотрена отмена любой сделанной замены. Для этого требуется выбрать сделанную замену и нажать кнопку "Отменить".

    Поиск нужной замены выполняется с помощью изучения таблицы частот букв. В ней содержатся частоты букв русского языка и частоты букв криптограммы. Они расположены в порядки убывания частот букв. Буквы, для которых уже сделаны замены, выделены цветом.

5. Заключение

           История криптографии насчитывает много веков. Еще в легендах Библии упоминается о пророке Иеремии, который, желая скрыть название города Вавилона, смешал буквы алфавита. В ХVI-ХVII веках военно-политическая разведка начала широко использовать тайнопись как средство передачи секретных сообщений. Редко практиковавшаяся до того времени тайнопись приобрела характер науки. В ХVI веке тайнопись распространилась на дипломатическую переписку и в ХVII веке стала в ней широко применяться. Вплоть до первой мировой войны наука о тайнописи оставалась скорее любительским занятием. Так с появлением телеграфа, и особенно радио, постепенно меняли взгляды на шифры и даже, появилась новая профессия -  дешифровальщики. Значение криптографии резко возросло с внедрением компьютеризации в стране. И в наше время криптография уже не игра, а настоящая наука.

6. Литература:

1. Л.М. Худодатова и др. Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. 7 класс. М: Школьная пресса, 2002.

2. Развлечения на досуге. Смоленск: Русич, 1997.

3. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1994.

4. Угринович Н.Д. и др. Практикум по информатике и информаци­онным технологиям: Учебное пособие для общеобразовательных учреждений. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

5. Ресурсы сети Интернет:

 http://ec-dejavu.ru/c/Cryptogram.html

 http://www.mirsofta.net/download/12775/index.html