Статья из опыта работы на тему "Формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков"

МБОУ «Верхопенская  средняя общеобразовательная школа  им. М.Р.Абросимова»

Формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков

(статья из опыта работы)

                                                           Учитель математики Анисенкова Вера  Васильевна

Верхопенье  

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа ее закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются именно умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения математики, физики, химии и других предметов.

По мнению Федотовой Л., вычислительные навыки и умения можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждать в правильности полученных результатов.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях их целенаправленного формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и его особенности.

Как в письменных, так и в устных вычислениях используются разнообразные правила и приемы. Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

Перечислю важнейшие вычислительные умения и навыки по каждой параллели.

В пятом классе у учащихся необходимо закреплять умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; законы сложения и умножения к упрощению выражений; использовать округлять числа до любого разряда; определять порядок действий при вычислении значения выражения.

В шестом классе у учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными  дробями. В процессе изучения материала учащиеся должны уметь использовать признаки делимости на 10, 2, 5 и 3; уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с различными знаменателями, умножение и деление дробей, совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами, решать пропорции, читать простейшие графики.

У учащихся 7-9 классов развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эта работа проводится как при изучении нового материала, так и при выполнении заданий вычислительного характера.

В седьмом классе вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при использовании тождеств сокращенного умножения.

В восьмом классе при изучении тем «Рациональные дроби», «Неравенства», «Квадратные корни и квадратные уравнения» широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

В девятом классе в процессе изучения тем «Квадратные уравнения», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений и неравенств», «Степень с рациональным показателем» девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.

В десятом классе вычислительная техника учащихся продолжает совершенствоваться при вычислении значений тригонометрических функций, упрощении тригонометрических выражений, вычислении производных.

В одиннадцатом классе в процессе изучения тем «Первообразная и интеграл», «Корень n-ой степени», «Логарифмы и их свойства» учащиеся совершенствуют свои навыки действий с действительными числами.

Учитель должен иметь представление об уровне вычислительных умений и навыков учащихся, сформированных ранее. Этому могут помочь проведение самостоятельных работ и наблюдения учителя за работой учащихся в классе. Анализ письменных и устных работ учащихся дает возможность установить, как усвоен данный материал, какие общие и наиболее характерные ошибки допущены при проведении вычислений, кто из учащихся и что именно не усвоил и как ликвидировать выявленные пробелы.

Учитель должен постоянно следить за тем, чтобы учащиеся закрепляли свои навыки в действиях с многозначными числами, восстанавливали в памяти приемы вычисления. Поэтому для установления уровня умений учащихся выполнять арифметические действия с натуральными числами им предлагается выполнить самостоятельную работу. Эта самостоятельная работа должна удовлетворять определенным требованиям. В нее должны быть включены примеры на выполнение отдельных арифметических действий (с учетом простых и сложных случаев) и на совместные арифметические действия. Ее анализ помогает понять причины слабых умений учащихся. Например, для выполнения сложения обнаруживаются ошибки, связанные с плохим знанием таблицы сложения однозначных чисел, с неумением распорядиться суммой разрядных слагаемых в том случае, когда она является двузначным числом. Но возможно, что учащиеся хорошо владеют таблицами сложения и умножения. Правильно подписывают цифры, но не понимают механизма действия. Для того чтобы выяснить, понятен ли учащимся смысл действий, задаем соответствующие вопросы. Например, если учащийся сделал ошибки при умножении многозначных чисел, то ему задаются вопросы.

1. Почему первый множитель умножается на каждую цифру другого (на единицы, десятки и так далее)?

2. Как подписываются промежуточные произведения (в том числе в случае, когда в середине второго множителя содержится нуль)?

3. Можно ли начинать умножение с высших разрядов (если да, то изменится ли запись счета)?

Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки у учащихся навыков устного счета. Не секрет, что у учащихся с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: для формирования у учащихся сознательных и прочных навыков учителя должны использовать программный материал для рациональных вычислений:

·        в 5 классе – сформировать вычислительные навыки и довести до автоматизма знания таблиц умножения и деления, учащиеся должны уметь устно умножать и делить числа на 10, 100, 1000 и так далее;

·        в 6-7 классе – учащиеся должны использовать свойства действий

·        в 7-8 классе – учащиеся должны уметь применять формулы сопряженного умножения, степень и ее свойства;

·        в 9-11 классе – учащиеся должны постоянно закреплять вычислительные навыки.

Система работы по совершенствованию вычислительных навыков.

Проводимые исследования показывают, что большое количество учащихся не владеют навыками вычислительной культуры, допускают различные ошибки в вычислениях. Среди причин невысокой вычислительной культуры учащихся Струнникова Э.П., Мельникова Н.И., и ряд других педагогов выделяют:

§  низкий уровень мыслительной деятельности;

§  отсутствие соответствующей подготовки и воспитания со стороны семьи и детских дошкольных учреждений;

§  отсутствие надлежащего контроля при подготовке домашних заданий со стороны родителей;

§  неразвитое внимание и память учащихся;

§  недостаточная подготовка по математике за курс начальной школы;

§  отсутствие системы в выработке вычислительных навыков и в контроле за овладением данными навыками в период обучения.

Результаты проверки знаний учащихся, проводимых Центром оценки качества образования ИСМО РАО в различных регионах нашей страны, не радуют:

Ø       почти четверть детей, окончивших начальную школу, ошибаются при вычислений значений числовых выражений, например,  960 * 60, 5708 : 18, (120 + 24) : (4 * 3);

Ø       около 40% шестиклассников не могут округлять натуральные числа и десятичные дроби; около 20% не осиливают вычислений с дробями, например,

   10,3 – 3 * (0,4 + 2,8), ;

Ø       почти 30% семиклассников неправильно определяют наименьшую среди данных дробей, например среди таких:

, 0,7, , 0,8; ошибаются в вычислениях, например,

, 3* (-0,4) – 10.

         Наблюдения на уроках за работой учащихся 8-9 классов показывают, что они испытывают трудности в переводе числовой информации из одной формы в другую, например,  = 0,06,   0,3 ( – это примерно 33%), 7 * 10^-5 = 0,00007; редко используют потенциал преобразования числовых выражений (свойства арифметических действий, основное свойство дроби и прочее). Учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями.

Минаева С., говорит о том, как важно в процессе обучения математике в 5-6 классах формировать, а в 7-11 классах развивать у учащихся:

v опыт и сноровку в простых вычислениях наряду с отработкой навыков письменных и инструментальных вычислений, умение выбрать наиболее подходящий способ получения результата;

v умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа;

v предвидение возможностей использования математических знаний для рационализации вычислений.

Нельзя не отметить, что обучение вычислениям вносит специфический вклад в развитие основных психических функций учащихся, способствуя развитию речи, внимания, памяти. Вычисления – основа для формирования умений пользоваться алгоритмами, логическими рассуждениями.

Для формирования у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков многие учителя используют различные методические приемы и формы, такие, например, устный счет, игры «Быстрый счетчик», «Математическое домино» и многие другие. Сложившаяся определенная система работы по совершенствованию вычислительных навыков в 5-11 классах состоит из следующих этапов.

1).             Этап вводного контроля.

1. На этом этапе в начале работы с классом (независимо от того, пятый это класс или девятый), проводится проверка знания таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Форма проверки – устный счет по карточкам и таблицам. Задания из таблицы могут быть представлены на карточках (в двух вариантах) или с помощью проектора на доске. Результаты заносятся в ведомость. Учащимся, допустившим ошибки, предлагаются сборники таблиц или отдельные таблица за начальную школу для отработки навыков, и в течение определенного времени эти учащиеся повторно проверяются (при устном или письменном опросе в ходе уроков и при выполнении самостоятельных и контрольных работ).

2. Далее проводится проверка знаний по всем темам арифметики в форме устного счета, небольших письменных работ, отдельных заданий при выполнении текущих самостоятельных работ. При этом особое внимание обращается на решение простейших уравнений, нахождение компонентов действий и на порядок действий с натуральными числами.

При этом индивидуальная работа с неуспевающими учениками ведется как на уроках, так и вне уроков, учащимся выдаются на дом таблицы для отработки навыков.

2).             Этап текущей работы по формированию вычислительных навыков

К этому этапу готовятся серии таблиц следующих видов (приложения 1-3):

1. Таблицы, для отработки отдельного навыка в определенном классе (например, действия с десятичными дробями – в 5 классе, формулы сокращенного умножения – в 7 классе, значения тригонометрических функций некоторых углов – в 9 классе).

2. Сводные таблицы для отработки нескольких навыков при обобщающем повторении (например, действия с натуральными числами, целыми, дробными числами – в 9 классе, нахождение значений тригонометрических и логарифмических выражений, вычисления производных и первообразных).

Данные таблицы размножаются и выдаются на руки каждому ученику. Такой же комплект таблиц имеется в каждом классе и у учителя.

На этом этапе используются следующие формы работы:

§  Устный фронтальный опрос по карточкам (на два варианта), проводимый как учителем, так и учащимися.

§  Письменный опрос (с записью ответа) по подготовленным таблицам.

§  Письменная самостоятельная работа с последующим анализом над ошибками.

§  Решение у доски во время опроса.

§  Решение за первой партой.

§  Разбор образцов решения заданий и их оформления.

§  Отработка алгоритмов (правил) вычислений.

§  Рассмотрение примеров на использование рациональных способов решения.

При этом следует помнить, что:

·       на каждом уроке надо заниматься не с классом вообще, а конкретно с каждым учеником. Для этого учитель должен выбрать формы работы и материал так, чтобы каждый ученик был занят делом и его работу всегда можно было проконтролировать. Например, каждому ученику, работающему за первой партой, выделяется карточка с заданием, чтобы он мог ликвидировать свои пробелы в знаниях. А при подготовке к уроку в планах указывается, кого и по какому вопросу нужно спросить; при этом в отдельной тетради ведется учет овладения вычислительными навыками каждым учеником;

·       при изучении нового материала желательно обращать внимание учащихся на тот материал, где наиболее часто допускаются ошибки;

·       полезно новый материал изучать в сравнении с ранее изученным, уже знакомым материалом;

·       при объяснении нового материала необходимо, чтобы ученики сами составляли алгоритмы выполнения того или иного действия, затем сверяли с учебником и выбирали оптимальный для себя вариант. Такая работа приучает их к четкости и конкретности. В дальнейшем они смогут без суеты и волнения выполнить любое задание;

·       необходимо воспитывать осознанное отношение к выполнению любого задания, чтобы ученик вдумался в смысл задачи, установил закономерности, связывающие величины, наметил пути решения проблемы и только после этого приступал к выполнению задания. Необходимо учить школьников при выполнении работы пользоваться методом «пристального взгляда» (вначале визуально оценивать все задание, методы, способы решения, и лишь после этого приступать к его решению);

·       очень важно научить школьников самоконтролю, то есть умению контролировать решение, действия, а в результате и свои поступки, применяя при этом следующие критерии самооценки:

а) соотношение результата с действительностью;

б) соотношение результата с данными условиями задания;

в) проведение выкладок в обратном порядке;

г) решение различными способами;

д) исследование результата в предельных ситуациях;

·        только при выполнении самостоятельной работы наиболее прочно усваивается изучаемый материал. Поэтому учащиеся привлекаются не только к выполнению готовых заданий (особенно заданий на рациональный счет). Задания, составленные учащимися, систематизируются;

·        для более глубокого понимания материала удобна порой не запись самого примера, а его схема. Например:

(...  -  ...)² = (...) – 2 (...) (...) + (...);

·        для формирования устойчивого внимания желательно подбирать соответствующие упражнения (психологический тренинг) или задания следующего характера:

а) найдите в решении ошибку;

б) выберите правильный ответ;

в) оцените правильность данной формулировки и так далее

Текущий контроль, проводимый на этом этапе учителем, может заключаться в фиксировании:

а) количества верно выполненных примеров за 1 минуту, 2 минуты и так далее с каждым учеником (результаты вносятся в сводную ведомость класса);

б) промежутка времени, необходимого для безошибочного решения определенного количества примеров;

в) количества ошибок, допускаемых каждым учеником.

Используются различные формы проведения контроля. Наиболее характерные из них – самостоятельные и контрольные работы, проводимые учителем по своему плану. При регулярном проведении самостоятельных работ существует реальная возможность выяснить на ранней стадии пробелы в знаниях, прочность усвоения и скорректировать дальнейшую деятельность.

Важной частью занятий на данном этапе является коррекционная работа над ошибками. Мы ее проводим в следующих форме – после проведения контрольного мероприятия учитель указывает на технические ошибки в работах учащихся, а каждый ученик ищет их в своей тетради. Затем учитель вместе с учениками анализирует методы решения и приводит образцы решения, рассматривает вариантность решения в зависимости от изменения условия, отвечает на вопросы учащихся. Через определенное время учащиеся вновь выполняют примеры, в которых были допущены ошибки.

При такой форме работы ни один ученик не останется вне поля зрения учителя.

3).             Этап итогового контроля

Итоговый контроль проводится или в форме контрольной работы, или в форме устно-письменного зачета. К уроку-зачету учитель готовит систему карточек-заданий по теме. На зачете учащиеся отвечают теорию, решают задания, содержащиеся в карточке, иногда еще показывают тетради с выполненными примерами на вычисление и составленными примерами. На таких уроках-зачетах часто ученики одновременно получают консультацию и учителя, и старшеклассников, принимающих зачет. Итоговые оценки выставляются в журнал.

Приведем пример итоговой контрольной работы за восьмой класс, которая содержит 1-2 задания на все действия с рациональными числами; 1-2 задания, требующие применения формул сокращенного умножения, распределительного закона и так далее; одно задание на применение рационального счета.

1. Вычислите: 0,03 * (- ) : (1,53 : 1,5 – 1,2) + 1.

2. Вычислите: (0,5 * 2,08 – 0,215 : 0,2) : 3 +  1 .

3. Вычислите рационально:  +  2,5²  +  4,4².

4. Вычислите рационально:

- 14,09 * 2 – 6,31 * ( - 1 ) – 2 * 6,31 + ( - 1) ( - 14, 09).

5. Вычислите рационально:

369369 : 123 + (601 – 599) (93 – 57) * 50 – (357 * 27 – 57 * 27) : 270 + 27.

Ответы: 1. 1. 2. 1,49. 3. -11. 4. -13,6. 5. 6600.

К работе по совершенствованию вычислительных навыков активно привлекаются учащиеся: они подбирают или самостоятельно составляют задание для устного счета, составляют задания с применением рационального счета, по группам или индивидуально проводят устный счет на уроке, частично привлекаются к проверке работ, консультируют других учащихся.

Многолетний опыт позволяет утверждать, что рассмотренные выше формы и методы работы по совершенствованию вычислительной культуры учащихся применимы не только при выработке вычислительных навыков, но и при контроле за формированием многих общенаучных навыков по разным предметам. 

         Таким образом, можно сделать следующие выводы:

·        для того, чтобы ребенок быстро считал, выполнял простейшие алгебраические преобразования, необходимо время для отработки навыков;

·         5-7 минут устного счета на уроке не достаточно не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, поэтому учителем должна быть создана система работы по совершенствованию вычислительных навыков;

·        первая задача учителя – выявить вычислительные навыки учащихся данного класса;

·        вторая задача учителя – использовать простые и доступные приемы устного счета;

·        третья задача учителя – увлечь учащихся в игру, соревнование, дети не должны бояться отвечать;

·        четвертая задача учителя – применять счет на время;

·        пятая задача учителя – постепенно усложнять карточки устного счета.

Организация устных вычислений на уроках.

Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления.

Ранее он сводился в основном к вычислениям, поэтому за ним закрепилось название «устный счет». И хотя в современных программах содержание устных упражнений весьма разнообразно и велико, за счет введения алгебраического и геометрического материала, а так же за счет большого внимания к свойствам действий над числами и величинами и других вопросов. название «устный счет» по отношению к устной форме проведения упражнений сохранилось до сих пор. Это,  по мнению В.С. Кравченко, приводит к некоторым неудобствам, так как термин «устный счет» используется, кроме того, и в своем естественном смысле, то есть вычисления, производимые устно, в уме, без записей. В связи с этим вместо термина «устный счет», удобнее пользоваться термином «устные упражнения».

Как пишет опытный педагог Зайцева О.П., в своей статье «Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и развития  личности ребенка»: важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

Устные упражнения важны еще и тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполнении активизируются и развиваются память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

В сочетании с другими формами работы, устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. И устные упражнения в этом комплекте имеют большое значение.

Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

         Устный счет является одним из основных этапов урока, который, во-первых, должен отвлечь учащихся от перемены и предыдущего урока, во-вторых, подготовить к изучению нового материала или помочь обобщить ранее изученный, в-третьих, активизировать творческую познавательную деятельность учащихся. Всем известно, что интерес к математике – удел немногих. Поэтому одна из миссий устного счета: не отпугнуть тех, кому нравится математика и дать увидеть ее красоту другим. Действительно, начиная с начальной школы и заканчивая выпускными классами, каждый учитель старается вместить в этот небольшой этап урока все составляющие устного счета.

           Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений, что ведет к развитию интеллекта учащихся.

     Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе. Особенно хорошо, если наряду с этим, специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счета. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальных сборников, составить самому учителю. Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. В зависимости от этого учитель определяет место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то их лучше провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счет требует большого внимания, памяти и мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведенного на это времени урока.

При подготовке к уроку  отбирается материал, систематизируется, продумывается переход от одного упражнения к другому. При обдумывании системы заданий и форм организация устного счета не исключается учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям. Но чтобы все учащиеся быстро считали, выполняли простейшие алгебраические преобразования необходимо время для их отработки: 5-7 минут устного счета на уроке недостаточны не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, если нет системы устного счета.

Первое время на уроках учащимся для устного счета предлагались обычные карточки типа: найдите сумму чисел 57 и 9, 18 и 13 и так далее или же проводились игры типа «Быстрый счетчик», «Математическое лото». Для слабого ученика это разнообразие приемов недостаточно. Слабому ученику необходимо иметь систему устных упражнений и дома.

Поэтому на первом уроке математики в 5 классе каждому ученику предлагаются карточки (№ 1) устного счета. Взглянув на карточку, нетрудно догадаться, что по горизонтали располагаются однотипные примеры на одно и то же правило. По вертикали – примеры на разные правила.

Сначала учащимся предлагается считать примеры по горизонтали строка за строкой. Ученик вслух прочитывает пример, затем называет его ответ. Это помогает учащемуся быстро привыкнуть к карточке. Обычно все идет без особых затруднений до шестой строки. В этой строке у кого-нибудь из учеников обязательно возникнут трудности. Тогда классу задается вопрос: «А как проще выполнить деление в данном примере?».

После того как учащиеся приходят к правильному ответу, продолжаем решать примеры этой строки дальше, обязательно с пояснениями. И если учащиеся все еще  затрудняются в решении примеров данной строки, им необходимо еще раз вычислить эти же примеры с подробными объяснениями. Если и этого недостаточно, можно назвать следующую строку с аналогичным алгоритмом решения (например, строку 18).

Карточка № 1

3 + 4	3 + 5	3 + 6	3 + 7	3 + 8	3 + 9	3 + 10
33 : 3	30 : 3	27 : 3	24 : 3	21 : 3	18 : 3	15 : 3
20 – 3	10 – 3	18 – 3	17 – 3	16 – 3	15 – 3	14 – 3
3 * 4	3 * 5	3 * 6	3 * 7	3 * 8	3 * 9	3 * 10
3 + 11	3 + 12	3 + 13	3 + 14	3 + 15	3 + 16	3 + 17
39 : 3	42 : 3	45 : 3	48 : 3	51 : 3	54 : 3	57 : 3
13 – 3	12 – 3	11 – 3	10 – 3	9 – 3	8 – 3	7 – 3
3 * 11	3 * 12	3 * 13	3 * 14	3 * 15	3 * 16	3 * 17
3 + 18	3 + 19	3 + 20	3 + 21	3 + 22	3 + 23	3 + 24
60 : 3	63 : 3	66 : 3	69 : 3	90 : 3	93 : 3	96 : 3
30 – 3	31 – 3	32 – 3	33 – 3	41 – 3	42 – 3	43 – 3
3 * 20	3 * 22	3 * 23	3 * 30	3 * 31	3 * 33	3 * 35
4 + 5	4 + 6	4 + 7	4 + 8	4 + 9	4 + 10	4 + 11
44 : 4	40 : 4	36 : 4	32 : 4	28 : 4	24 : 4	20 : 4
20 – 4	19 – 4	18 – 4	17 – 4	16 – 4	15 – 4	14 – 4
4 * 4	4 * 5	4 * 6	4 * 7	4 * 8	4 * 9	4 * 10
4 + 12	4 + 13	4 + 14	4 + 15	4 + 16	4 + 17	4 + 18
16 : 4	12 : 4	8 : 4	48 : 4	52 : 4	56 : 4	60 : 4
13 – 4	12 – 4	11 – 4	10 – 4	9 – 4	8 – 4	7 – 4
4 * 11	4 * 12	4 * 13	4 * 14	4 * 15	4 * 16	4 * 17
4 + 19	4 + 20	4 + 21	4 + 22	4 + 27	4 + 28	4 + 29
80 : 4	84 : 4	88 : 4	100 : 4	244 : 4	284 : 4	400 : 4
33 – 4	32 – 4	31 – 4	88 – 4	87 – 4	86 – 4	85 – 4
4 * 20	4 * 21	4 * 22	4 * 30	4 * 31	4 * 40	4 * 50
5 + 5	5 + 6	5 + 7	5 + 8	5 + 9	5 + 10	5 + 11
55 : 5	50 : 5	45 : 5	40 : 5	35 : 5	30 : 5	25 : 5
20 – 5	19 – 5	18 – 5	17 – 5	16 – 5	15 – 5	14 – 5
5 * 5	5 * 6	5 * 7	5 * 8	5 * 9	5 * 10	5 * 11
5 + 12	5 + 13	5 + 14	5 + 15	5 + 16	5 + 17	5 + 18
20 : 5	15 : 5	10 : 5	5 : 5	0 : 5	60 : 5	70 : 5
13 – 5	12 – 5	11 – 5	10 – 5	9 – 5	8 – 5	7 – 5
5 * 12	5 * 13	5 * 14	5 * 15	5 * 16	5 * 17	5 * 18
6 + 6	6 + 7	6 + 8	6 + 9	6 + 10	6 + 11	6 + 12
66 : 6	60 : 6	54 : 6	48 : 6	42 : 6	36 : 6	30 : 6
20 – 6	10 – 6	18 – 6	17 – 6	16 – 6	15– 6	14– 6
6 + 13	6 + 14	6 + 15	6 + 16	6 + 17	6 + 18	6 + 19
24 : 6	18 : 6	12 : 6	6 : 6	0 : 6	96 : 6	120 : 6
13 – 6	12 – 6	11 – 6	10 – 6	9 – 6	8 – 6	7 – 6
7 + 7	7 + 8	7 + 9	7 + 10	7 + 11	7 + 12	7 + 13
77 : 7	70 : 7	63 : 7	56 : 7	49 : 7	42 : 7	35 : 7
20 – 7	19 – 7	18 – 7	17 – 7	16 – 7	15 – 7	14 – 7
7 * 7	7 * 8	7 * 9	7 * 10	7 * 11	7 * 12	7 * 13
7 + 14	7 + 15	7 + 16	7 + 17	7 + 18	7 + 19	7 + 20
28 : 7	21 : 7	14 : 7	7 : 7	0 : 7	70 : 7	77 : 7
13 – 7	12 – 7	11 – 7	10 – 7	9 – 7	8 – 7	7 – 7
7 * 14	7 * 15	7 * 20	7 * 21	7 * 30	7 * 100	7 * 101
8 + 8	8 + 9	8 + 10	8 + 11	8 + 12	8 + 13	8 + 14
88 : 8	80 : 8	72 : 8	64 : 8	56 : 8	48 : 8	40 : 8
20 – 8	19 – 8	18 – 8	17 – 8	16 – 8	15 – 8	14 – 8
8 * 8	8 * 9	8 * 10	8 * 11	8 * 12	8 * 100	8 * 111
9 + 9	9 + 10	9 + 11	9 + 12	9 + 13	9 + 14	9 + 15
99 : 9	90 : 9	81 : 9	72 : 9	63 : 9	54 : 9	45 : 9
20 – 9	19 – 9	18 – 9	17 – 9	16 – 9	15 – 9	14 – 9
9 * 9	9 * 10	9 * 11	9 * 100	9 * 101	9 * 111	9 * 1000

Итак, все основные правила, алгоритмы устного счета повторены.

Если учащиеся не утомлены (а это зависит от уровня вычислительных навыков в классе), они считают примеры первого столбика. Сначала учащиеся вслух прочитывают пример, затем называют ответ.

Дальше переход бывает очень интересен и для различных классов различен. Так, если класс имеет достаточно твердую математическую подготовку, ученики вскоре начинают называть только ответы примеров. С этого момента наступает как бы перелом в работе учащихся. Стараясь не отставать от одноклассников, каждый из учеников напрягает свое внимание, развивает смекалку, вычислительную сноровку. Причем процесс этот длительный. В любое время можно прервать ученика и предложить другому считать дальше. Установка карточки на длительное внимание дает возможность максимально загрузить учащихся, проверить их работоспособность. Дух соревнования-игры еще больше увлекает учеников.

Если же в классе слабая математическая подготовка, приходится предлагать учащимся называть только ответы в примерах. Этот процесс перехода более длительный, зато вызывает удовлетворение у учащихся. Ученики перестают бояться карточек, работа с ними им нравится.

После того как учащиеся стали достаточно бегло считать, у них появилась настоящая потребность в расширении приемов устного счета. Так появилась необходимость в карточках типа

16 * 25, 17 * 11;

затем на применение законов сложения:

137 – (37 + 18), 284 – (84 + 37);

законов вычитания:

137 – (37 – 18), (245 – 38) – 145;

и тому подобное.

 Алгоритмы ускоренных вычислений.

         На уроках математики в 5-9 классах по соответствующим темам математики я использую различные алгоритмы ускоренных вычислений.

         Приведу примеры некоторых из них.

Сложение с перестановкой слагаемых:

72 + 63 + 28 = ?

Заметим, что третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые и сложим их:

72 + 28 + 63 = 163.

3013 + 74 + 2187 + 126 = ?

Группируем слагаемые попарно:

(3013 + 2187) + (74 + 126) = 5200 + 200 = 5400.

         Раздельное поразрядное вычитание:

574 – 243 = ?

         Вычитаем из 500 число 200, получим 300. Вычитаем из 70 число 40, получаем 30. Вычитаем из 4 число 3, получаем 1. Ответ: 331.

68 894 – 42 413 = ?

Вычитаем из 68 000 число 42 000, получаем 26 000. Вычитаем из 800 число 400, получаем 400. Вычитаем из 94 число 13, получаем 81. Ответ: 26 481.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого:

67 – 48 = ?

Добавив к уменьшаемому 1, вычитаем 48 из 68, получаем 20. Отняв из этой разности ранее добавленную единицу, окончательно получаем 19.

67 – 48 = (68 – 48) – 1 = 20 – 1 = 19.

453 – 316 = ?

Уменьшив вычитаемое на 3, вычтем 313 из 453, получим 140. Отняв от этой разности еще 3, найдем 137.

Умножение на 11:

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792

35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на число, оканчивающиеся на 5:

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 * 5 = (44 : 2) * 5 * 2 = 22 * 10 = 220;

28 * 15 = (28 : 2) * 15 * 2 = 14 * 30 = 420;

32 * 25 = (32 : 2) * 25 * 2 = 16 * 50 = 800.

Работая в средних и  старших классах и, проверяя различные тесты и контрольные работы, отметила, что 15-20 % ошибок – это вычислительные ошибки, и даже калькулятор не помогает учащимся.

В настоящее время мне захотелось исправить этот недочет, поэтому уже несколько лет занимаюсь проблемой «Повышение вычислительной культуры учащихся 5-11 классов».

В 5-6 классах часто провожу устный счет в различных формах по таблицам умножения и деления: «Цепочки», игры «Лесенки», «Эстафета» (эти виды заданий есть в учебниках Н.Я. Виленкина для 5 и 6 классов,). Эти игры фактически представляют собой математический диктант. Учитель медленно прочитывает задание за заданием, а ребята пишут ответы.

В 6-7 классах знакомлю учащихся с алгоритмами быстрого вычисления, которые были описаны мною выше.

Особо важно, что учащиеся с удовольствием участвуют в устном счете и сами ищут рациональные вычисления.

Хотя по этой теме я работаю еще не в полнее  системно, но результаты тестов и контрольных работ уже показывают, что количество вычислительных ошибок уменьшилось до 15 %, поэтому у меня появилась заинтересованность в поиске новых карточек и игр для развития навыков устного счета. Для устного счета есть интересный математический сборник «Математический тренажер» Жохина В.И. и Погодина В.Н., предназначенный для учащихся 5-6 классов.

         Таким образом, по содержанию третьей главы можно сделать следующие выводы:

·        15-20 % ошибок учащихся – это вычислительные ошибки;

·        даже не имея системы, результаты тестов и контрольных работ уже показывают, что количество вычислительных ошибок уменьшилось до 15 %;

·        как учителю необходимо разнообразить формы работы по повышению культуры вычислительных навыков (карточки, диктанты, игры, соревнования);

·        привлечь учащихся к работе по совершенствованию устного счета.