Статья на тему:"Математические софизмы"

Содержание

Введение……………………………………………………………...2

1. Софизм и история его возникновения ………………………..3

2. Математические софизмы и их классификация ……………4

2.1. Алгебраические софизмы…………………………………..4-5

2.2. Арифметические софизмы ……………………………….. 5-6

2.3. Геометрические софизмы ……………………………………6

3. Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах……….. 7

3.1. Принципы, по которым составляются софизмы ……….7-8

4. Заключение …………………………………………………….8-9

Приложения …………………………………………………….10-11

Список литературы и материально-технических ресурсов... 11

Цель:

рассмотреть основные виды математических софизмов, причины их возникновения и восприятие учащимися.

Задачи:

·         Познакомиться с софизмами.

·         Изучить историю возникновения и их виды.

·         Научиться распознавать ошибки в них.

Как создать софизм:

• Принципы, по которым составляются софизмы.

Сделать вывод по результатам проведенной работы.

В математических вопросах нельзя

пренебрегать даже самыми

мелкими ошибками.

(И. Ньютон)

Введение

«Дважды два равно пяти», «Два равно трем» или же «Два плюс два не равно четырем» - каждый из нас слышал такие фразы хоть раз в жизни. На самом деле, таких примеров можно привести много, но что же все они обозначают? Кто их выдумал и, самое главное, зачем? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел? Именно эти вопросы я и хотел бы раскрыть в своей работе, под названием «Математические софизмы».

 Неслучайно я выбрал именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.

Эта тема сейчас, как никогда, актуальна, потому что софизм – это, своего рода, обман. А обман, необходимо уметь распознавать, чтобы не допускать ошибок.

А также мне хотелось бы узнать, смогу ли я путём некоторых рассуждений ввести окружающих в заблуждение, т.е. под силу ли мне составить математический софизм.

Я выдвинул гипотезу, состоящую в том, что познакомившись с подробным разбором ошибок в софизмах, через которые наглядно будет видно, что неточные знания формулировок теорем, математических формул, правил и условий, при которых они выполняются, а так же неумение анализировать те или иные пункты в заданиях, либо прочитать и не вникнуть в них, то это может привести к получению абсурдных результатов, противоречащих нормам общепринятых правил. Следовательно, софизмы - тренировка для ума.

1. Софизм и история его возникновения

Софизм в переводе с греческого означает дословно: уловка, выдумка или мастерство. Этим термином называют утверждение, являющееся ложным, но не лишенным элемента логики, за счет чего при поверхностном взгляде на него кажется верным. Софизмы основаны на сознательном и преднамеренном обмане, нарушении логики.

Софизм - преднамеренная ошибка, совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное

Данное философское течение возникло в V веке до нашей эры. Его создали философы, называвшие себя софистами. Тогда это слово имело положительный оттенок. Сами софисты позиционировали себя как учителя мудрости. Они обучали других людей философии, логике и, конечно же, риторическим приёмам. Очень быстро они поняли, что умение доказать любую мысль заменяет реальные знания, поэтому именно этому навыку они учили своих учеников.

По сути, деятельность софистов быстро свелась к поиску наиболее эффективных приёмов ведения спора, как правило, нечестных. Эти приёмы заключались в подмене понятий, намеренном сокрытии логических ошибок и даже в психологическом давлении. А чтобы отстоять своё право на подобный подход, софисты создали особую философскую идеологию, в рамках которой утверждалось, что объективной истины существовать не может. И если человек способен доказать определенное утверждение, его можно считать истинным.

История софистики состоит из двух периодов, которые условно называют «старшей» софистикой и «младшей». Наиболее известными представителями «старшей» софистики являются Протагор, Горгий, Гиппий и Антифонт. Среди «младших» софистов наиболее известны Критий, Алкидам (Алкидамант), Калликл, Фрасимах и Ликофрон. Практически все софисты были очень богатыми людьми, поскольку богачи охотно брали у них уроки мудрости. При этом в обществе к ним относились недоброжелательно (даже между собой они ладили плохо и часто вступали в споры).

2. Математические софизмы и их классификация

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Поиск и нахождение ошибок в софизме способствует пониманию математики в целом и развивает логическое мышление.

К типичным ошибкам в софизмах относятся:

 запрещенные действия;

 ошибочный чертеж;

 пренебрежение условиями формул, теорем и правил;

 опора на ошибочные умозаключения.

Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах.

2.1. Алгебраические софизмы - намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1) «Два неодинаковых натуральных числа равны между собой»

решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) и у=4- х/2 (2)

Сделаем это подстановкой у из 2-го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6

Где же ошибка?

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

Х+2у=6, Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые

у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.

 

ВАЖНО!!! Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2) «Уравнение x-a=0 не имеет корней»

Дано уравнение: x-a=0. Разделив обе части этого уравнения на x-a, получим, что 1=0. Поскольку это равенство неверное, то это означает, что исходное уравнение не имеет корней.

Где же ошибка?

Поскольку x=a – корень уравнения, то, разделив на выражение x-a обе его части, мы потеряли этот корень и поэтому получили неверное равенство 1=0.

2.2. Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними.

«Дважды два - пять»

Возьмем в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4:4= 5:5. После вынесения за скобки общего множителя из каждой части равенства будем иметь: 4∙(1:1)=5∙(1:1) или(2∙2)(1:1)=5(1:1) Наконец, зная, что 1:1=1, из соотношения 4(1:1)=5(1:1) устанавливаем: 4=5, 2∙2=5.

Ошибка: Распределительный закон умножения применяется только для сложения и вычитания:     ав + ас = а(в + с).

«Пять равно шести»

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части вынесем за скобки общий множитель:

5(7+2-9)=6(7+2-9).

Теперь, получим, что 5=6.

Где ошибка?

Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2-9)=6(7+2-9) на число

7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать.

 

!!!  Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

2.3. Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или противоречивое утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

«Спичка вдвое длиннее телеграфного столба».

Пусть а длина спички и b — длина столба. Разность между b и a обозначим через c .

Имеем b — a = c, b = a + c.

Перемножим два этих равенства по частям, находим: b 2 — ab = ca + c 2 .

Вычтем из обеих частей bc. Получим: b 2 — ab — bc = ca + c 2 — bc, или

b(b — a — c) = — c(b — a — c), откуда

b = — c, но c = b — a, поэтому b = a — b, или a = 2b.

Ошибка заключается в том, что в равенстве выражений b(b-a-c )=-c(b-a-c)

производится деление на 0.

3. Рекомендации по нахождению ошибок в софизмах

·         Внимательно прочитать условие предложенной вам задачи.
Начинать поиск ошибки лучше с условия предложенного софизма. В некоторых софизмах абсурдный результат получается из-за противоречивых или неполных данных в условии, неправильного чертежа, ложного первоначального предположения, а далее все рассуждения проводятся верно. Это и вызывает затруднения при поиске ошибки.
 

·         Установить темы, которые отражены в софизме. Обучающиеся, учителя привыкли, что задания, предлагаемые в учебнике, не содержат ошибок в условии, поэтому, если получается неверный результат, то ошибку они ищут непременно по ходу решения.
 

·         Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений. Установить темы, которые отражены в софизме, предложенных преобразованиях. Софизм может делиться на несколько тем, которые потребуют детального анализа каждой из них. И если вы увидели эти темы, попытайтесь зрительно разбить «большой софизм» на маленькие. 
 

·         Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, логичности. Воспроизвести вслух точные формулировки утверждений, используемых в софизме. Например: 2 * 2 =5. Если произнести эту фразу вслух, то мы можем услышать ошибку, услышав самого себя, или более подробно разобраться в смысле софизма.
 

·         Проверять преобразования. После каждого перехода проверить полученный результат обратным действием. Выяснить, соблюдены ли все условия применимости теорем, правил, формул, соблюдена ли логичность. Действительно, некоторые софизмы построены на неверном использовании определений, законов, на «забывании» условий применимости некоторых теорем. Очень часто в формулировках, правилах запоминаются основные, главные фразы и предложения, всё остальное упускаются. И тогда второй признак равенства треугольников превращается в признак «по стороне и двум углам».

3.1. Принципы, по которым составляются софизмы.

Для начала берется какое-то равенство, неравенство, тождество, теорема или подчиняющееся логике выражение, и мы начинаем его менять - менять его стержень, подводя к использованию неправильных суждений. В математических софизмах это можно проворачивать согласно всем аксиомам, приведенным ниже.

Рассматривая каждый шаг преобразования, сможем найти «место» для ошибки. Хочу заметить, что большинство ошибок расположено в «спорных» случаях, в тех местах, где нужно помнить небольшие детали той или иной ситуации.

Обреимов В.И. в своей книге «Математические софизмы» обращается к следующим аксиомам:

·         Всякая величина равна самой себе;

·         Равные величины можно заменить равными;

·         Две величины, порознь равные третьей, равны между собой;

·         Если к равным величинам прибавить равные, то получатся равные суммы;

·         Если к равным величинам прибавить неравные, то получим неравные суммы, причем та сумма будет больше, которая получится от прибавления большей величины;

·         Если от равных величин отнимем равные, то получим равные разности;

·         Величина не измениться, если ее одновременно увеличить и уменьшить на одно и то же число:

·         Если равные величины умножить на равные же, то получим равные произведения;

·         Если равные величины помножить на неравные, то получим неравные произведения, причем то из произведений будет больше, которое поучится от умножения на большую величину;

·         Если равные величины разделим на равные, то получим равные частные;

·         Из двух отрицательных величин больше та, которой численное значение меньше;

·         Целое больше своей части;

·         Целое равно сумме всех своих частей;

·         Степени двух равных величин равны между собой;

·         Корни из двух равных величин равны между собой.

4. Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые софизмы и парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день.

Софистика – это целая наука, а математические софизмы – это лишь часть одного большого течения. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какому нелепому результату приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и, последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение.

Понять софизм, то есть решить его, получается не сразу. Поначалу, чтобы решить некоторые софизмы, приходилось по многу раз их внимательно перечитывать, вдумываться. К концу работы над проектом ошибки стали находиться быстрее. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свою речь.

Вообще, решение софизмов – интересное и познавательное занятие. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Работая над проектом, я составил рекомендации по разбору софизмов. Уверен, что мой проект будет полезен учащимся, которые начинают работать с софизмами с целью развития свих интеллектуальных способностей. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.

Я считаю, что мой проект актуален и имеет практическое применение. Задачи выполнены, цель достигнута.

Из всего вышесказанного, можно сделать вывод:

Решение софизмов тренируют наш мозг, то есть моя гипотеза верна. Действительно, софизмы являются тренировкой для ума.

Что касается меня, то некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же, наоборот, казались очень простыми. Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же все-таки началась история софизмов.

Спасибо за внимание !

Приложения

Примеры софизмов

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

Девушка — не человек

Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.

                                                                               Вор
Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

Разговор софиста и любителя спорить

Софист: “Может ли мёд быть сладким и несладким одновременно?”

Любитель: “нет”

Софист: “ А мёд сладкий?”

Любитель: “Да”

Софист: “А мёд желтый?”

Любитель: “Да”

Софист: “А жёлтый - значит сладкий?”

Любитель: “Нет”

Софист: “Значит мёд сладкий и несладкий одновременно!”

Не знаешь то, что знаешь

— Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?
— Нет.
— Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?
— Знаю.
— Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

Примеры геометрических софизмов, которые можно услышать на уроке геометрии:

- Смежные углы равны 180 градусам;

- Накрест лежащие углы равны.

Список литературы

1. Софизмы. Алгебра. Геометрия. Тригонометрия, под редакцией Т.Н. Михеевой. Издательство: Грамотей, 2007 .

https://dnevnik-znaniy.ru/znaj-i-umej/chto-takoe-sofistika.html - История софизмов

2. Б. С. Чернышев. Софисты. Издательство: КомКнига, 2015.

3. http://gamzatovasm.ru/node/88 -Алгебраические софизмы

4. http://reshit.ru/sofizm - Геометрические софизмы

5. http://sophisms.ucoz.ru/index/arifmeticheskie_sofizmy/0-6 - Арифметические  софизмы

6. https://multiurok.ru/blog/tsitaty-o-matiematikie-9.html - Цитаты о математике

7. https://www.mathedu.ru/text/obreimov_matematicheskie_sofizmy_1898/p8/ Обреимов В. И. Математические софизмы. — 1898 г.