Статья по алгебре на тему "Теория вероятнойтей"

Теория вероятностей

1.     Основные понятия.

Определение 1. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

         При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. Т.е. в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

         В отношении друг друга события также имеют особенности, т.е. в одном случае  событие А  может произойти совместно с событием В, в другом – нет.

         Определение 2. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других.

         Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение решки монеты исключает выпадение орла (в одном и том же опыте).

         Определение 3. Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

         Определение 4. Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

         Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

         Определение 5. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

         В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров.

         Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

         Исходя из этих общих понятий можно дать определение вероятности.

         Определение 6. Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

         Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

         Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1.     вероятность достоверного события равна единице,

2.     вероятность невозможного события равна нулю.

3.     значение вероятности любого события – есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

.

         Пример 1. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.

         Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.

         Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

         Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение.  Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужна цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: .

         Определение 7. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.

         Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

         Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

         Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью.

         При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

         Вообще говоря, классическое определение вероятности – довольно относительное.

         Это обусловлено тем, что на практике сложно представить результат опыта в виде совокупности элементарных событий, доказать, что события равновероятные.

         К примеру при произведении опыта с подбрасыванием монеты на результат опыта могут влиять такие факторы как несимметричность монеты, влияние ее формы на аэродинамические характеристики полета, атмосферные условия и т.д.

2.     Операции над событиями.

Определение 8. События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

         Теорема 1 (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Пример 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 2 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0, 35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Событие А –«стрелок попал в первую область» и В – «стрелок попал во вторую область» - несовместны (попадание в одну область исключает попадания в другую), поэтому применима теорема сложения.

=0,45+0,35=0,8

         Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Пример 4. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют пролную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:

0,7+0,2+р=1.

Отсюда искомая вероятность

Р=1-0,9=0,1.

         Определение 9. Противоположными называются два несовместных события, образующие полную группу.

         Теорема 2. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

         Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

         Пример 5. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый»  и «день ясный» противоположные, поэтому искомая вероятность

q=1-р=1-0,7=0,3.

         Определение 10. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

         Определение 11. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

         Теорема 3. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Также можно записать:

         Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

         Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

         Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A_i, а q_i – вероятность противоположных событий .

         Пример 6.  Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

Решение. Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В.

         Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

         Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

         При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты - , третьей - , четвертой - .

         Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна .

         Тогда

         Пример 7. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

Решение. Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков - . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна .

         Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна .

         Пример 8. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение. Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие .

         Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

         Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

 

Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

         Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

3.     Формула полной вероятности.

         Пусть некоторое событие А может произойти  вместе с одним из несовместных событий , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий  и условные вероятности наступления события А при наступлении события H_i .

         Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.

         Пример 9. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная, равна 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что взятая на удачу деталь (из наудачу взятого набора) – стандартная.

Решение. А-«извлеченная деталь стандартная».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие
), либо из второго (событие ).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, .

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, .

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, .

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, .

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вероятности равна

.