Тема 2.1. Основы МКТ. Идеальный газ

Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Молекулярная физика и термодинамика – тесно связанные науки, занимающиеся изучением макроскопических свойств физических систем, но совершенно разными методами.  В основе молекулярной физики или МКТ лежат определенные представления о строении вещества. Для установления законов поведения макроскопических систем, состоящих из огромного числа частиц, в молекулярной физике используются различные модели вещества (идеального газа).  Молекулярная физика стремится на основе статистического подхода установить связь между экспериментально измеренными макроскопическими величинами (давление, объем, температура и т.д.) и микроскопическими характеристиками частиц, входящих в состав системы (масса, энергия и т.д.). МКТ называют учение о строении и свойствах вещества на основе представления о существовании атомов и молекул как наименьших частиц химических веществ. В основе лежат три основных положения: 1.                  Все вещества образованы из мельчайших частиц – молекул, которые сами состоят из атомов (наличие у веществ проницаемости, сжимаемости и растворимости). 2.                  Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении (броуновское движение и диффузия частиц). 3.                  Частицы взаимодействуют друг с другом силами, имеющими электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало (наличие прочности и упругости тел, смачиваемости, прилипания, поверхностного натяжения в жидкостях). Доказательством молекулярного строения вещества являются диффузия, законы сохранения массы, кратных отношений при химических реакциях. Наблюдаемые явления проницаемости, сжимаемости и растворимости веществ свидетельствуют о том, что они не сплошные, а состоят из отдельных, разделенных промежутками частиц. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы. При определенных условиях они могут приобретать дополнительный электрический заряд и превращаться в положительные или отрицательные ионы Закон кратных отношений гласит: при образовании из двух элементов различных соединений (веществ) массы одного из элементов в разных соединениях относятся как целые числа, то есть находятся в кратных отношениях.  Закон легко объяснить: всякое вещество состоит из одинаковых молекул, имеющих соответствующий атомный состав. Так как все молекулы данного вещества одинаковы, то отношение весовых количеств простых элементов, входящих в состав всего тела, такое же, как и в отдельной молекуле, и, значит, является кратным атомных весов, что и подтверждается опытом. Молекулы имеют чрезвычайно малые размеры. Простые одноатомные молекулы размером порядка 10–10 м. Сложные многоатомные молекулы могут иметь размеры в сотни и тысячи раз больше. Массы отдельных молекул и атомов очень малы, поэтому в расчётах удобнее использовать не абсолютные значения масс, а относительные.

Относительная молекулярная масса (или относительная атомная масса) вещества Мr – это отношение массы молекулы (атома) данного вещества к 1/12 массы атома углерода: где m0 – масса молекулы (или атома) данного вещества,  m0C – масса атома углерода. Относительная молекулярная (атомная) масса вещества показывает, во сколько раз масса молекулы вещества больше 1/12 массы изотопа углерода 12C. Относительная молекулярная (атомная) масса является безразмерной величиной, выражается в атомных единицах массы. Атомная единица массы – это 1/12 массы изотопа углерода С12. Точные измерения показали, что атомная единица массы составляет: Эта величина почти совпадает с массой протона или нейтрона. Относительная молекулярная масса вещества может быть вычислена путём сложения относительных атомных масс элементов, входящих в состав молекулы вещества. Относительная атомная масса химических элементов указана в периодической системе химических элементов Д.И. Менделеева. Чтобы найти массу элемента в килограммах, нужно атомную массу элемента умножить на 1 а.е.м.

1 а.е.м. = 1,66·10–27 кг Масса молекулы воды: m0(Н2О) = 2∙m0(H) + m0(O) = 2∙1,00794 + 15,9994 = 18,0153 a.e.м.∙1,66·10–27 кг = 29,905∙10-27 кг

Количество вещества принято считать пропорциональным числу частиц. Это физическая величина, характеризующая относительное число молекул и атомов в теле. Единица количества вещества называется молем (моль). Моль равен количеству вещества, в котором содержится столько же молекул, сколько содержится атомов в 0,012 кг углерода 12C. То есть, если есть вещество, и в нем столько же молекул этого вещества, сколько атомов в 0,012 кг углерода, то в этом веществе 1 моль. То есть, в одном моле любого вещества содержится одно и то же число частиц (молекул). Это число называется постоянной Авогадро: Постоянная Авогадро – одна из важнейших постоянных в МКТ. Количество вещества ν определяется как отношение числа N частиц (молекул) вещества к постоянной Авогадро NА:  Массу одного моля вещества принято называть молярной массой M. Молярная масса равна произведению массы m0 одной молекулы данного вещества на постоянную Авогадро:  Молярная и относительная молекулярная массы вещества связаны соотношением:  Масса любого количества вещества m равна произведению массы одной молекулы m0 на количество молекул:  Следовательно, количество вещества равно отношению массы вещества к его молярной массе:	Еще одна характеристика n – концентрация молекул:   NА = 6,02·1023 моль–1   M = m0·NА   измеряется в кг/моль. М = Мr·10 -3 кг/моль. m = m0·N = m0·NA·ν = М·ν
Наиболее ярким экспериментальным подтверждением беспорядочного движения атомов и молекул является броуновское движение. Это тепловое движение мельчайших микроскопических частиц, взвешенных в жидкости или газе.  Оно было открыто английским ботаником Р. Броуном в 1827 году. Броуновские частицы движутся под влиянием беспорядочных ударов молекул. Из-за хаотического движения молекул эти удары никогда не уравновешивают друг друга. В результате скорость броуновской частицы беспорядочно меняется по модулю и направлению, а ее траектория представляет собой сложную зигзагообразную кривую. Теория броуновского движения была создана А. Эйнштейном в 1905 году. Экспериментально теория была подтверждена в опытах французского физика Ж. Перрена, проведенных в 1908–1911 годах. Постоянное хаотичное движение молекул вещества проявляется также в другом легко наблюдаемом явлении – диффузии. Диффузией называется явление проникновения двух или нескольких соприкасающихся веществ друг в друга. Наиболее быстро процесс протекает в газе, если он неоднороден по составу. Диффузия приводит к образованию однородной смеси независимо от плотности компонентов.	Диффузионный закон: <r2> = Dt Квадрат смещения  <r2>  частицы от начального положения пропорционален времени наблюдения t. Коэффициент D монотонно возрастает при увеличении температуры
Силы, действующие между двумя молекулами, зависят от расстояния между ними. Молекулы представляют собой сложные пространственные структуры, содержащие как положительные, так и отрицательные заряды. Если расстояние между молекулами достаточно велико, то преобладают силы межмолекулярного притяжения. На малых расстояниях преобладают силы отталкивания. Зависимости результирующей силы F и потенциальной энергии Eр взаимодействия между молекулами от расстояния между их центрами качественно изображены. При некотором расстоянии r = r0 сила взаимодействия обращается в нуль. Это расстояние можно принять за диаметр молекулы. Eр при r = r0 минимальна. Чтобы удалить друг от друга две молекулы на расстоянии r0, нужно сообщить им дополнительную энергию E0. Величина E0 называется глубиной потенциальной ямы или энергией связи.

Строение газообразных, жидких и твердых тел

В различных агрегатных состояниях вещества расстояние между его молекулами различно. Отсюда и различие в силовом взаимодействии молекул и существенное различие в характере движения молекул газов, жидкостей и твердых тел. Кинетическая энергия теплового движения молекул растет с возрастанием температуры. При низких температурах средняя кинетическая энергия молекулы может оказаться меньше глубины потенциальной ямы E0. В этом случае молекулы конденсируются в жидкое или твердое вещество; при этом среднее расстояние между молекулами будет приблизительно равно r0.  При повышении температуры средняя кинетическая энергия молекулы становится больше E0, молекулы разлетаются, и образуется газообразное вещество. В газах расстояния между молекулами в несколько раз превышают размеры самих молекул. Вследствие этого силы взаимодействия между молекулами газа малы и кинетическая энергия теплового движения молекул намного превышает потенциальную энергию их взаимодействия. Каждая молекула движется свободно от других молекул с огромными скоростями (сотни метров в секунду), меняя направление и модуль скорости при столкновениях с другими молекулами. Длина свободного пробега молекул газа зависит от давления и температуры газа. При нормальных условиях λ ~ 10-7 м. Слабое взаимодействие между молекулами объясняет способность газов расширяться и заполнять весь объем сосуда. В твердых телах силы взаимодействия между молекулами настолько велики, что кинетическая энергия движения молекул намного меньше потенциальной энергии их взаимодействия. Молекулы совершают непрерывные колебания с малой амплитудой около некоторого постоянного положения равновесия – узла кристаллической решетки. Время, в течение которого частица колеблется около одного положения равновесия, – время «оседлой жизни» частицы – твердых телах очень велико. Поэтому твердые тела сохраняют свою форму, и они не текут в обычных условиях. Время «оседлой жизни» молекулы зависит от температуры. Вблизи температуры плавления оно порядка 10–1 – 10–3 c, при более низких температурах может составлять часы, сутки, месяцы. В жидкостях расстояние между молекулами значительно меньше, чем в газах, и примерно такое же, как в твердых телах. Поэтому силы взаимодействия между молекулами велики. Молекулы жидкости, как и молекулы твердого тела, совершают колебания около некоторого положения равновесия. Но кинетическая энергия движения частиц соизмерима с потенциальной энергией их взаимодействия, и молекулы чаще переходят в новые положения равновесия (время «оседлой жизни» 10–10 – 10–12 с). Это позволяет объяснить текучесть жидкостей.  Близко расположенные молекулы жидкости также могут образовывать упорядоченные структуры, содержащие несколько молекул. Это явление называется ближним порядком в отличие от дальнего порядка, характерного для кристаллических тел.

Большие скорости молекул, предсказываемые МКТ, казались многим ученым неправдоподобными, что было одним из главных возражений против этой теории.  Одно из первых измерений скоростей было выполнено в 1920 году немецким физиком О. Штерном. Он использовал установку с платиновой проволокой, покрытой тонким слоем серебра, она располагалась вдоль общей оси двух жестко соединенных цилиндров А и В. Проволоку нагревали электрическим током. Атомы серебра, испаряясь с поверхности проволоки и пролетая через узкую щель в цилиндре А, осаждались в виде узкой светлой полосы 1 на внутренней поверхности цилиндра В. Затем соединенные цилиндры приводили в быстрое вращение вокруг оси (на рисунке – по часовой стрелке). При этом полоса 1 смещалась и расширялась, превращаясь в полосу 2. Смещение полосы обусловлено тем, что за то время, пока атомы серебра пролетают от цилиндра А до цилиндра В, эти цилиндры вследствие вращения поворачиваются на некоторый угол. Зная радиусы цилиндров и частоту их вращения, можно по величине смещения полосы рассчитать скорость атомов серебра. Расширение же полосы обусловлено тем, что при тепловом движении атомы движутся с различными скоростями.

Схема опыта Штерна. Результаты опыта подтвердили предсказания МКТ: сотни и тысячи метров в секунду.

Идеальный газ. Основное уравнение МКТ

Простейшей моделью, рассматриваемой МКТ, является модель идеального газа. В кинетической модели идеального газа молекулы рассматриваются как идеально упругие шарики, взаимодействующие между собой и со стенками только во время упругих столкновений. Суммарный объем всех молекул предполагается малым по сравнению с объемом сосуда, в котором находится газ (разреженный газ).  Задача МКТ состоит в том, чтобы установить связь между микроскопическими (масса, скорость, кинетическая энергия) и макроскопическими (давление, объем, температура) параметрами.  В результате каждого столкновения скорости молекул могут изменяться по модулю и по направлению; между столкновениями молекулы движутся равномерно и прямолинейно. Предполагается, что все столкновения происходят по законам упругого удара (подчиняются законам механики Ньютона). Используя модель идеального газа, вычисляют давление газа на стенку сосуда.  В процессе взаимодействия молекулы со стенкой сосуда между ними возникают силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона. В результате проекция υx, перпендикулярная стенке, изменяет свой знак на противоположный, а проекция υy, параллельная стенке, остается неизменной.

На стенке выделяют некоторую площадку S. За время Δt с этой площадкой столкнутся все молекулы, имеющие проекцию скорости υx, направленную в сторону стенки, и находящиеся в цилиндре с основанием площади S.  В единице объема сосуда содержатся n молекул, тогда число молекул в объеме цилиндра равно nSυxΔt, из них только половина движется в сторону стенки, значит, число ударов молекул о площадку S за время Δt равно: Поскольку каждая молекула при столкновении со стенкой изменяет свой импульс на величину 2m0υx, то полное изменение импульса молекул равно: По законам механики это изменение импульса происходит под действием импульса силы FΔt,  где F – некоторая средняя сила, действующая на молекулы со стороны стенки на площадке S.  По 3-му закону Ньютона такая же по модулю сила действует со стороны молекул на площадку S. Поэтому можно записать:  Разделив обе части на SΔt, получим давление газа на стенку сосуда.  На самом деле это не так. В результате многочисленных соударений в сосуде, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными, а модули скоростей и их проекции на координатные оси подчиняются определенным закономерностям. На рисунке представлены типичные кривые распределения молекул по скоростям.   Распределение молекул газа по модулю скоростей называется распределением Максвелла.  Дж. Максвелл в 1860 году вывел закон распределения молекул газа по скоростям, исходя из основных положений МКТ. Характерными параметрами распределения Максвелла являются наиболее вероятная скорость υв, соответствующая максимуму кривой распределения, и среднеквадратичная скорость υкв. С ростом температуры максимум кривой распределения смещается в сторону больших скоростей, при этом υв и υкв увеличиваются. Формулу для давления газа уточняют разбиением молекул на группы с определенными проекциями скоростей. Так как все направления для векторов скоростей молекул равновероятны, среднее значение квадратов их проекций на координатные оси равны между собой. Формула для среднего давления газа на стенку сосуда запишется в виде: Это уравнение называют основным уравнением МКТ газа. Давление газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

V – объем, N – число молекул в сосуде.  n -концентрация молекул   T2 > T1 По оси абсцисс отложен модуль скорости, по оси ординат – относительное число молекул со скоростями в интервале (υ; υ + Δυ).

Температура

В основном уравнении МКТ газов изменение давления пропорционально изменению средней кинетической энергии. Опыт показывает, что изменить среднюю кинетическую энергию движения молекул в сосуде неизменного объема можно, изменив температуру.  Понятие температуры тесно связано с понятием теплового равновесия. Тела, находящиеся в контакте друг с другом, могут обмениваться энергией. Энергия, передаваемая одним телом другому при тепловом контакте, называется количеством теплоты. Тепловое равновесие – это такое состояние системы тел, находящихся в тепловом контакте, при котором не происходит теплопередачи от одного тела к другому, и все макроскопические параметры тел остаются неизменными. Температура – это физический параметр, одинаковый для всех тел, находящихся в тепловом равновесии. Возможность введения понятия температуры следует из опыта и носит название нулевого закона термодинамики. Для измерения температуры используются физические приборы – термометры, в которых о величине температуры судят по изменению какого-либо физического параметра. Для создания термометра необходимо выбрать термометрическое вещество (ртуть, спирт) и термометрическую величину, характеризующую свойство вещества (длина столбика). В различных конструкциях термометров используются разнообразные физические свойства вещества (изменение линейных размеров или электрического сопротивления). Термометры должны быть откалиброваны. Для этого их приводят в тепловой контакт с телами, температуры которых считаются заданными. По температурной шкале Цельсия точке плавления льда приписывается температура 0 °С, а точке кипения воды 100 °С. Изменение длины столба жидкости в капиллярах термометра на одну сотую длины между отметками 0 °С и 100 °С принимается равным 1 °С.

В ряде стран широко используется шкала Фаренгейта (TF), в которой температура замерзающей воды 32 °F, а температура кипения воды 212 °F. Английский физик У. Кельвин (Томсон) в 1848 году предложил использовать точку нулевого давления газа для построения новой температурной шкалы (шкала Кельвина). Нулевая точка сдвинута. Температурная шкала Кельвина называется абсолютной шкалой температур. Она оказывается наиболее удобной при построении физических теорий. Кроме точки нулевого давления газа, которая называется абсолютным нулем температуры, достаточно принять еще одну фиксированную опорную точку.  В шкале Кельвина это температура тройной точки воды (0,01 °С), в которой в тепловом равновесии находятся все три фазы – лед, вода и пар.  Давление разреженного газа в сосуде постоянного объема V изменяется прямо пропорционально его абсолютной температуре. Опыт показывает, что при неизменных объеме и температуре давление газа пропорционально отношению количества вещества ν в данном сосуде к объему V сосуда: Объединяя эти соотношения пропорциональности, можно записать:  Величину k назвали в честь австрийского физика Л. Больцмана, одного из создателей МКТ.  Сравнивая соотношения с основным уравнением МКТ газов, можно получить:  Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул газа прямо пропорциональна абсолютной температуре. Таким образом, температура есть мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Следует обратить внимание на то, что средняя кинетическая энергия молекулы не зависит от ее массы. Этот вывод действует, когда в сосуде находится смесь химически невзаимодействующих газов. В состоянии равновесия молекулы разных газов имеют одинаковые средние кинетические энергии, определяемые температурой. Давление смеси газов на стенки сосуда будет складываться из парциальных давлений каждого газа: Это соотношение выражает на языке МКТ экспериментально установленный в 1801 году закон Дальтона.

TК = TС + 273,15 В системе СИ: кельвин (К). 1 °С = 1 К По шкале Кельвина температура тройной точки равна 273,16 К. p ~ T   p = nkT,  k = 1,38·10–23 Дж/К - постоянная Больцмана   p = p1 + p2 + p3 + … =  (n1 + n2 + n3 + …)kT.

Газовые законы

Закономерности поведения газов в различных условиях были хорошо изучены экспериментально. Газ может участвовать в различных тепловых процессах, при которых могут изменяться все параметры, описывающие его состояние (p, V и T). Если процесс протекает достаточно медленно, то в любой момент система близка к своему равновесному состоянию (квазистатический процесс). В привычном масштабе времени эти процессы могут протекать и не очень медленно. Например, разрежения и сжатия газа в звуковой волне, происходящие сотни раз в секунду, можно рассматривать как квазистатический процесс. Квазистатические процессы могут быть изображены на диаграмме состояний (например, в координатах p, V) в виде некоторой траектории, каждая точка которой представляет равновесное состояние. Интерес представляют процессы, в которых один из параметров (p, V или T) остается неизменным. Такие процессы называются изопроцессами.

Изотермический процесс (T = const) – квазистатический процесс, протекающий при постоянной температуре T.  При постоянной температуре T и неизменном количестве вещества ν в сосуде произведение давления p газа на его объем V должно оставаться постоянным:  На плоскости (p, V) изотермические процессы изображаются при различных значениях температуры T семейством гипербол p ~ 1 / V, которые называются изотермами. Так как коэффициент пропорциональности в этом соотношении увеличивается с ростом температуры, изотермы, соответствующие более высоким значениям температуры, располагаются на графике выше.  Уравнение изотермического процесса было получено из эксперимента английским физиком Р. Бойлем (1662 г.) и независимо французским физиком  Э. Мариоттом (1676 г.). Поэтому это уравнение: закон Бойля–Мариотта. Изохорный процесс (V = const) – процесс квазистатического нагревания или охлаждения газа при постоянном объеме V и при условии, что количество вещества ν в сосуде остается неизменным При этих условиях давление газа p изменяется прямо пропорционально его абсолютной температуре: p ~ T или: На плоскости (p, T) изохорные процессы для заданного количества вещества ν при различных значениях объема V изображаются семейством прямых линий, которые называются изохорами. Большим значениям объема соответствуют изохоры с меньшим наклоном к оси температур. Экспериментально зависимость давления газа от температуры исследовал французский физик Ж. Шарль (1787 г.). Поэтому уравнение изохорного процесса называется законом Шарля. Уравнение изохорного процесса может быть записано в виде: где p0 – давление газа при T = T0 = 273,15 К (т. е. при температуре 0 °С). Коэффициент α называют температурным коэффициентом давления. Изобарный процесс (p = const) – квазистатический процесс, протекающий при неизменном давлении p. Уравнение изобарного процесса для некоторого неизменного количества вещества ν имеет вид:  где V0 – объем газа при температуре 0 °С.  Коэффициент α - температурный коэффициент объемного расширения газов (также равен 1/273,15 К–1). На плоскости (V, T) изобарные процессы при разных значениях давления p изображаются семейством прямых линий, изобарами.  Зависимость объема газа от температуры при неизменном давлении была экспериментально исследована французским физиком Ж. Гей-Люссаком (1862 г.). Поэтому уравнение изобарного процесса: закон Гей-Люссака. Экспериментально установленные законы Бойля–Мариотта, Шарля и ГейЛюссака находят объяснение в молекулярно-кинетической теории газов.

pV = const   T3 > T2 > T1 V3 > V2 > V1    К–1 α = 1/273,15 p3 > p2 > p1

Уравнение состояния идеального газа

Соотношение, связывающее давление газа с его температурой и концентрацией молекул, получено для модели идеального газа, молекулы которого взаимодействуют между собой и со стенками сосуда только во время упругих столкновений.  Это соотношение может быть записано в другой форме, устанавливающей связь между макроскопическими параметрами газа – объемом V, давлением p, температурой T и количеством вещества ν. Для этого нужно использовать равенства: где N – число молекул в сосуде, NА – постоянная Авогадро, m – масса газа в сосуде, M – молярная масса газа. В итоге получают:  Произведение постоянной Авогадро NА на постоянную Больцмана k называется универсальной газовой постоянной (молярной газовой постоянной) и обозначается буквой R. Ее численное значение в СИ: Соотношение называется уравнением состояния идеального газа: Уравнением состояния называется уравнение, связывающее параметры физической системы и однозначно определяющее ее состояние. В 1834 году французский физик Б. Клапейрон, работавший длительное время в Петербурге, вывел уравнение состояния идеального газа для постоянной массы газа.  Часто необходимо исследовать ситуацию, когда меняется состояние газа при его неизменном количестве (m=const) и в отсутствие химических реакций (M=const). Это означает, что количество вещества ν=const. Тогда:                     Эта запись означает, что  для постоянной массы идеального газа отношение произведения давления на объем к абсолютной  температуре в данном состоянии есть величина постоянная. В 1874 году Д.И. Менделеев вывел уравнение для произвольного числа молекул (в форме, выведенной ранее).  Поэтому    уравнение      состояния       газа     называется             уравнением Клапейрона–Менделеева. Уравнение можно рассматривать как обобщение опытных фактов (газовых законов), которые находят объяснение в МКТ. Для одного моля любого газа уравнение принимает вид:  Для смеси невзаимодействующих газов уравнение состояния принимает вид: где ν1, ν2, ν3 и т. д. – количество вещества каждого из газов в смеси. Запись уравнения через плотность доказывает зависимость плотности от температуры и давления:  Если температура газа равна Tн = 273,15 К (0 °С), а давление pн = 1 атм = 1,013·105 Па (р = 101,325 кПа), то говорят, что газ находится при нормальных условиях.  Как следует из уравнения состояния идеального газа, один моль любого газа при нормальных условиях занимает один и тот же объем V0, равный:  Это утверждение называется законом Авогадро: в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температурах и давлениях, содержится одно и то же количество молекул. В виде гипотезы он был сформулирован в 1811 году А. Авогадро.

p = nkT R = 8,31 Дж/моль·К.     pV=RT. pV = (ν1 + ν2 + ν3 + ...)RT.     V0 = 0,0224 м3/моль =  22,4 дм3/моль.

Краткое описание документа:

Данный документ представляет материал по содержанию курса физики для преподавания в системе среднего профессионального образования.

Тема 2.1 Основы МКТ. Идеальный газ

В тему входит следующий материал:

Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Размеры и масса молекул и атомов. Броуновское движение. Диффузия. Силы и энергия межмолекулярного взаимодействия. Строение газообразных, жидких и твердых тел. Скорости движения молекул и их измерение. Идеальный газ. Давление газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) газов. Температура и ее измерение. Газовые законы. Абсолютный нуль температуры. Термодинамическая шкала температуры. Уравнение состояния идеального газа. Молярная газовая постоянная.

В составлении использовались ресурсы сети Интернет.