Тема по самообразованию "Методические аспекты изучение неравенство в школьном курсе математики"

Методические аспекты изучение неравенство в школьном курсе математики СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. 2

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.. 4

1.1.   Место и цели изучения темы «Неравенства». 4

1.2. Анализ содержания теоретического материала темы «Неравенства» в учебниках разных авторов. 10

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «НЕРАВЕНСТВА» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.. 19

2.1. Методы, формы, средства обучения неравенствам в курсе математики. 19

2.2. Фрагмент урока по теме «Неравенства». 25

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 29

Список литературы. 30

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. В современной действительности, во время стремительного научно-технического прогресса, увеличилась роль математики, вследствие чего получило большое общественное значение математическое образование.

Успешное преподавание математики учащимся начальных классов, зависит от уровня владения начинающим учителем уже разработанной методикой преподавания математики, т.е. программой обучения математике в начальных классах и на этом фундаменте начать творческую самостоятельную работу.

Как известно, преподавание имеет воспитывающий характер, то есть, цель методики – привить учителю такие навыки преподавания математики, которые помогали бы воспитанию новой личности, личности демократического общества, умственному прогрессу человека, возбуждали бы его интерес к математике, формировали позитивные черты характера.

Важность этой проблемы объясняется тем, что формирование у младших школьников понятий о числовых неравенствах имеет особое значение в начальной школе и считается одной из главных задач преподавания математике на этом этапе. Именно в период обучения в начальных классах приобретаются основные приёмы решения неравенств, которые, в свою очередь, запускают мыслительную работу ребенка, улучшают внимание и скорость реакции, развивают у него память, речь, умение воспринимать на слух сказанное.

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики при решении важных прикладных задач. Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения еще и потому, что именно с их помощью на математическом (символьном) языке записываются важные задачи познания реальной действительности.

В настоящее время методические аспекты изучения в школьном курсе математики рассматриваются в работах И.В. Ященко, А.Р. Рязановского, Д.Г. Мухина, Л.Д. Лаппо, М.А. Попова, В.В. Кочагина, М.Н. Кочагиной и других авторов.

Объект изучения – методика преподавания математики.

Предмет изучения -  методические аспекты изучение неравенство в школьном курсе математики.

Цель изучения: исследовать методические аспекты изучение неравенство в школьном курсе математики.

Задачи изучения:

1. определить место и цели изучения темы «Неравенства»;

2. провести анализ содержания теоретического материала темы «Неравенства» в учебниках разных авторов;

3. выделить методы, формы, средства обучения неравенствам в курсе математики;

4. составить фрагмент урока по теме «Неравенства».

Методы исследования:

-         Теоретические: анализ, сравнение, обобщение.

-         Практические: изучение педагогического опыта учителей-практиков по формированию у младших школьников понятий о числовых неравенствах.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1.1.          Место и цели изучения темы «Неравенства»

Математическая запись из цифр, в которой между частями стоит знак «=» называется равенством. Если между значениями выражения нельзя поставить равно, т.к. какая-то из частей больше или меньше, то ставят знак «<» или «>» и тогда это выражение называется неравенство. 

История развития неравенств и их систем тесно связана с историей развития уравнений и систем уравнений. Знаки неравенств «>», «<»появились впервые лишь в XVII в., но понятие неравенства, как и понятие равенства, возникло в глубокой древности.

В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Так, при расширении понятия числа – переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным – мы должны определить отношение «меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства [3].

С помощью неравенств задаются основные числовые, формулируются определения предела, монотонной последовательности и функции и др. На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных [2].

Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию. Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: «сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°» [5].

Неравенство – это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики – алгебре и теории чисел, геометрии и топологии, теории вероятностей и математической статистике – получены фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств [1]. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства.

Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π [5].

Словесное описание знаков неравенств присутствовало и в трудах Паппы Александрийского (III в.) «Математическое собрание».

Он обосновал свое нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в соотношении, не параллельны, а пересекаются. Пересечение может быть справа (>) или слева (

Самые первые геометрические неравенства («перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из одной и той же точки к данной прямой», «сторона треугольника меньше суммы двух других сторон», «против большего угла треугольника лежит большая сторона») принадлежит еще древнегреческой математике – она содержалась в знаменитых началах Евклида [5].

После введения знака равенства английский ученый Томас Гарриот в своей посмертной публикации «Artis Analitical Praris» (1631) ввел употребляемые нами знаки неравенства «<,>». Он обосновал свое нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в соотношении, не параллельны, а пересекаются. Пересечение может быть справа (>) или слева (<).

При решении неравенств выделяют три типа преобразований:

1) преобразуют одну из частей неравенства (используется при необходимости упрощения выражения, входящего в запись неравенства, данный навык является самым важным для изучения линии неравенств в дальнейшем);

2) согласованно преобразуют обе части неравенства (являются результатом применения к обеим частям арифметических действий или элементарных функций, например прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения, умножение или деления обеих частей на одно и то же положительное выражение, умножение или деления обеих частей на одно и то же отрицательное выражение с последующей сменой знака неравенства);

3) преобразуют логическую структуру. Среди преобразований второго типа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня [2].

Изучение и использование преобразований неравенств и их систем, с одной стороны, предполагают достаточно высокую логическую культуру учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения таких преобразований имеются широкие возможности для формирования логической культуры [6].

Главной задачей исследования элементов алгебры в курсе математики начальных классах школы заключается в построении обобщенных понятий о числе, сути арифметических действий. Например, положительно воздействует на понимание школьниками соответствующих компетенций и практических навыков в старших классах ознакомление обучающихся начальной школы с основными алгебраическими понятиями.

Необходимо заметить, что введение упражнений алгебраического характера в начальный курс математики считаетсяне самоцелью, а способом обучения, который содействует:

- обсуждению найденного решения;

- поиску вариантов решения;

- определению условий использования тех или иных вариантов решения;

- закреплению в памяти прежде применяемых приемов решения[7].

Формирует предпосылки для создания и развития предметных основных знаний и считается фундаментом дальнейшего обучения в школе действия с заданиями алгебраического характера.

Одним из базовых алгебраических понятий, с которым знакомят младших школьников, считается понятие «неравенство». Решение первых упражнений в пределах этой темы ставит цель формирования у обучающихся начальной школы отношений «больше - меньше», что сопоставимо с положениями теории математики о неравносильных множествах. Логика построения, предложенного в начальных классах школы учебного материала, состоит:

- в рассмотрении двух предметных множеств;

- в численном сопоставлении конкретных множеств;

- в осмыслении количественных определений каждого из предметных множеств;

- в закреплении способа выражения количественной характеристики предметного множества числом;

- в сопоставлении числовых характеристик каждого множества (сравнение чисел), обобщении результата сравнения [3].

Для достижения этой целина первом этапе предлагаются упражнения, в фундаменте которых лежит житейский опыт школьников. Обучающиеся знакомятся с понятиями «один» и «много», разглядывая две картинки,  на одной нарисована корзина с яблоками (много), а на другой – только одно яблоко и легко определяют, где яблок меньше, а где больше.

Одновременно происходит процесс сопоставления не только по количеству предметов, находящихся в том или другом из рассматриваемых множеств, но и по иным признакам. Например, если предложить школьнику взять в руку сначала тетрадь, а потом учебник, то у обучающегося формируются отношения «тяжелее - легче». (- Учебник тяжелее тетради, а тетрадь легче, чем учебник».)

Поставив рядом наиболее высокого и наиболее низкого ребенка класса, обучающиеся начальной школы фактически могут рассмотреть соотношение их роста и выражают установленное отношение словами: «Миша ниже Коли, а Коля выше Миши», понимая, при этом, отношения «выше - ниже». При выполнении данных заданий необходимо достигать грамматически правильной замены одного суждения двойственным ему: «Каменный дом выше деревянного, значит, деревянный дом ниже каменного».

Так, постепенно на занятиях математики решая логические упражнения, преследуется цель:

- обучить применять противоположные понятия (сын моложе отца, отец старше сына; учебник шире тетради, тетрадь уже учебника и другое);

- способствовать развитию математической речи;

- научить выражать обнаруженные отношения посредством определенных слов, перевода их в последующем на языке математических отношений соответствующими символами «<», «>».

На следующем этапе школьники сами определяют другие признаки, при помощи которых можно сопоставить те или другие множества предметов. Преподаватель ставит на весы две коробки (они разного цвета - красная и белая):

- По каким признакам можно сравнивать эти предметы? (- Их можно сопоставить по массе (показывают на весы), по высоте, по донышку (то есть по площади оснований коробок и другое)

- Сравните коробки по массе? (Школьники берут коробки в руки и обнаруживают что, коробки не одинаковы по массе.)

- Как точнее выразить этот признак? Что можно сказать о массе белой коробки по отношению к массе красной коробки? (- Красная коробка легче, чем белая; Белая коробка тяжелее по массе, чем красная.)

- Что означает легче, тяжелее? (- Масса красной коробки меньше, чем белой, а масса белой коробки больше, чем красной.)

Такие же действия выполняются и при сравнении объектов по иным признакам, что разрешает школьникам сделать вывод о том, что слова «длиннее – короче», «тяжелее – легче», «выше - ниже» устанавливают признак, по которому сравниваются те или другие предметы.

Следующий этап построения понятий о числовых неравенствах исследуется на конкретных множествах предметов. Например, определяя, кого в классе больше - девочек или мальчиков, преподаватель предлагает выяснить это множеством различных приемов. Предвидя попытку обучающихся дать ответ на вопрос способом подсчета числа тех и других, преподаватель просит доказать, что девочек в классе больше, чем мальчиков. Это упражнение помогает впервые познакомить школьников со способом сравнения предметных (объектных) множеств посредством определения взаимно однозначного соответствия между элементами исследуемых множеств. Прием определения взаимно однозначного соответствия в будущем будет ключевым в работе с аналогичными упражнениями.

Выполнение последующего упражнения подразумевает такие приемы сравнения множеств:

- установление взаимно однозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств;

- прямое восприятие числа предметов каждого из предложенных множеств с дальнейшим сравнением чисел, считающихся количественным определением каждого из множеств.

В базе решения упражнений находится практическая работа: сопоставление один к одному фактического числа книг, находящихся в двух стопках, фактического количества яблок, изображенных на двух картинках и другое.

1.2. Анализ содержания теоретического материала темы «Неравенства» в учебниках разных авторов

Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности учащихся. В них находят отражение цели, содержание, методы и формы обучения. Задания непосредственно выходят на ученика, обусловливая характер его учебных действий. Поэтому содержание, формулировка и система учебных заданий в развивающем курсе 1-4 классов имеют ряд отличительных особенностей по сравнению с системой заданий, нацеленных на отработку знаний, умений и навыков.

Так, при построении курсов математики в начальных классах, основной целью которых является формирование у учащихся знаний, умений и навыков, учитель обычно сам дает образец действий, сопровождая его необходимыми пояснениями, затем дети выполняют тренировочные задания, аналогичные тем, которые использовал учитель на этапе объяснения. После этого возможны творческие или нестандартные задания. Они обычно обсуждаются фронтально или предлагаются так называемым «сильным» ученикам.

Подобное построение системы учебных заданий не оказывает эффективного влияния на развитие мышления учащихся, так как процесс их выполнения не требует активного использования различных мыслительных операций.

Ниже предложен анализ содержания и методики обучения темы "Неравенство" в традиционном учебнике авторов М.И.Моро, М.А.Бантовой, в учебнике Н.Б.Истоминой (Р.О.),  Л.Г.Петерсон ("Школа - 2100") и УМК «Перспективная начальная школа».

В традиционном учебнике подготовительная работа по теме "Неравенство" начинается с первых уроков первого класса. Учащиеся сравнивают два множества предметов, посредством установления взаимно-однозначного соответствия между элементами этих множеств. Это выражено в отношениях "больше", "меньше" и "равно".

Аналогичная работа, на подготовительном этапе, ведется и в учебнике Н.Б.Истоминой, но немного позже (14-й урок). Стр.21 В учебнике Л.Г.Петерсон подготовительный этап начинается на 7 уроке при сравнении совокупностей предметов с помощью знаков = и . (Часть 1, стр. 12)

- Поставь знак = или .

В дальнейшем ознакомление с неравенствами в различных системах обучения непосредственно связано с изучением нумерации целых неотрицательных чисел и арифметических действий с ними.

У авторов М.И.Моро, М.А.Бантовой в ходе изучения темы "Нумерация чисел 1-10" дети сравнивают два числа уже без опоры на предметную наглядность, на основе знания натурального ряда чисел от 1 до 10. И только на странице 42 - 43 первой части авторы предлагают ознакомить со знаками больше (>), меньше (<), равно (=). На следующем уроке вводятся понятия "равенство", "неравенство".

Знакомство со знаками ">" и "<" в учебнике Н.Б.Истоминой, происходит в 1 классе во время изучения темы "Числовой луч" на 64 странице (2 четверть, 7урок). Здесь же дети знакомятся с понятием "неравенство". Стр.64 №143

"В математике вместо слова "больше" между числами ставят знак >, а вместо слова "меньше" знак <. Эти записи называются "неравенства" 5<6, 5>4". Необходимо отметить, что у М.И.Моро и Н.Б.Истоминой и знаки, и термины даются в готовом виде, как факт.

Иной подход у Л.Г.Петерсон. Ставится проблема - придумать знак, обозначающий "больше", "меньше".

Дети уже знакомы со знаком "=". На доске размещены два мешка с одинаковым количеством предметов. Мешки соединены знаком "=". Затем из правого мешка несколько фигур помещаются в левый. Дети должны догадаться раздвинуть полоски (обозначающие "="), как клювик у птицы, получается знак ">".

Аналогичная работа проводится и со знаком "<". Но термин "неравенство" вводится только в 3 классе.

После знакомства со знаками ">", "<" Л.Г.Петерсон предлагает рассмотреть некоторые свойства неравенств. А именно свойство транзитивности и антисимметричности: если а<в и в<с, то а<с и если а<в, то в>а. Для этого предлагается игра "Найди подходящее слово". Учитель читает предложение, а дети подбирают недостающее слово.

1) Если первое число больше второго, то второе … первого. (Меньше)

2) Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое число … третьего. (Больше)

Также Л.Г.Петерсон предлагает в более подготовленных классах дать обобщенное обоснование: Если А>Б, то Б<А.

Если А>Б, Б>С, то А>С.

Во всех трех программах даются понятия "верное", "неверное неравенство".

У М.И.Моро и Н.Б.Истоминой это происходит в 1 классе, а у Л.Г.Петерсон в третьем классе. Хотя в заданиях эти термины употреблялись раньше. 2 класс, часть1, стр. 71, №7

"Какую цифру можно поставить вместо звездочки, чтобы получились верные неравенства 5*4 < 514 206 >*06"

Таким образом, у Л.Г.Петерсон мы видим расхождение в программе.

В течении изучения других тем работа с неравенствами продолжается во всех трех программах. Но числа в них увеличиваются: двузначные, трехзначные и многозначные. Неравенства включают в себя число и выражение, два выражения (выражения тоже усложняются). У М.И.Моро, М.А.Бантовой сразу после введения понятия "неравенство" дети знакомятся со сравнением числа и выражения (М.1, стр. 42, ч.1). И дается соответствующее задание:

Поставь знак >,< или =.

1 + 2 … 3 3 + 1 … 3

5 - 3 … 2 6 - 2 … 2

Сравнение происходит на основе вычисления значения выражения и сравнения полученного числа с данным: "3 + 1 > 3, так как 4 > 3".

Во втором классе выполняется сравнения двух выражений. Стр. 35, часть1, №1.

Сравни выражения:

5 - 2 … 1 + 1 5 + 3 … 3 + 5

Здесь дети опираются на рисунок учебника:

В учебнике Н.Б. Истоминой работа со сравнением числа и выражения начинается также сразу после введения понятия "неравенство".

Стр. 73 №159

Поставь знаки > или <:

2 + 4 … 5 1 + 5 … 8

7 … 3 + 3 4 + 2 … 4

5 + 1 … 5 3 + 3 … 4

И уже через урок, при изучении темы "Переместительное свойство сложения", учащиеся сравнивают два выражения. Стр. 75 № 165

Поставь знак >, < или =:

2 + 4 … 5 + 1

5 + 1 … 1 + 5

3 + 3 … 3 + 2

Дети сравнивают число и выражение, два выражения не только на основе смысла действия, но и используют логические приемы мышления: 3 + 2 < 4 + 2, так как одно из слагаемых одинаково, а 3 < 4.

Автор учебника Л.Г.Петерсон работу над сравнением числа и выражения предлагает рассмотреть с помощью рисунка.

1класс, II часть, стр.8, №2.

Надо составить выражения по рисункам или рисунки по двум выражениям.

3 + 1 < 3 + 3

У всех трех авторов большое внимание уделяется сравнению значений величин и по мере изучения какой-либо величины предлагается ряд разнообразных упражнений

М.И.Моро, М.А.Бантова:

1. Подберите равную величину:

7 км 500 м = … м

3080 кг = … т … кг

2. Подберите числовые значения величин так, чтобы запись было веной:

… ч < … мин

… см = … дм …см

3. Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак отношений, если равенства неверны:

4 т 8 ц = 480 кг

100 мин = 1 ч

Н.Б.Истомина:

1. Сравни:

5 м 3 дм … 5 м 4 дм

35 дм … 34 дм 5 см

7 мин 15 с… 445 с

2. Л.Г. Петерсон:

Сравни:

3 м ? 29 дм

43 дм ? 3 м 4 дм

У всех трех авторов дети усваивают правило: сравнить величины можно только тогда, когда они измерены одинаковыми мерками.

Особое внимание хотим обратить на вопрос о решении неравенств в начальной школе.

Школьники, занимающиеся по программам М.И.Моро, М.А.Бантовой и по программе Н.Б.Истоминой начинают подготовительную работу над этой темой еще в 1 классе. Неравенства задаются с использованием условного знака, который дети называют окошечком:

? > 0 6 + 4 > ? 7 + ? < 10

9 - 3 > 9 - ? 8 - ? < 8 - 6

Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся, т.к. во многих случаях ограничиваются подбором значений переменной, при которой получается верное неравенство. Также термин "переменная" у авторов Моро М.И., Бантовой М.А. не вводится, но окошечки в 4 классе заменяются буквами латинского алфавита (х,у и др.)

Например, 10 • х < 10

В программе Н.Б.Истоминой термин "переменная" и буквенное обозначение вводится в конце 4 класса (4 четверть). Стр.195 " …математики называют букву в выражении переменной"

Иной подход мы видим у Л.Г.Петерсон. В 3 классе в течении нескольких уроков, вводятся понятия и термины "переменная", "неравенство", "верное, неверное неравенство",а в начале 4 класса - "решение неравенства", "множество решений", знаки " , ", "двойное неравенство" (см. глава 2, п. 2.3, стр. 24 - 25)

Решение неравенств также осуществляется методом подбора.

Стр. 2 №5 (4 класс, ч.1)

Имеются ли среди чисел 6, 9, 12, 30, 72 решение неравенства:

8 • b - 7 > 90 d : 3 + 9 < 12

Стр. 2 №6

Найди два решения неравенства:

r + 5 < 815 43 • m < 100

n - 3 > 960 180 : y > 20

УМК «Перспективная начальная школа» во 2 классе предлагает следующие задания для изучения сформированности понятий о числовых неравенствах у младших школьников:

Контрольная работа № 1 (входная)

Контрольная работа № 2 по теме «Нумерация и сравнение чисел»

Контрольная работа по теме №4 «Сложение и вычитание двузначных чисел»

Контрольная работа №5 на тему «Единицы измерения массы и длины» (2 кл)

Тема: «Итоговая проверка изученного за год материала»

Таким образом, упражнения для закрепления умений детьми сравнивать числа, сравнивать число и выражения, два выражения и сравнивать величины в учебниках М.И.Моро, М.А.Бантовой повторяются систематически. Усиленное внимание авторы учебника уделяют упражнениям, формирующим вычислительные навыки. Но малое количество упражнений для закрепления умений решать неравенства. Все они основаны на подборе чисел.

Особенностью учебников Н.Б.Истоминой, является то, что дается математическая терминология, используются логические приемы обучения: сравнения, работа с признаками, анализ, обобщение. Но над решением неравенств дети работают мало.

У автора Л.Г.Петерсон особое место в курсе математики отводится теме "Неравенство". Включены математические термины и понятия для более глубокого усвоения этой темы.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «НЕРАВЕНСТВА» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

2.1. Методы, формы, средства обучения неравенствам в курсе математики

Чтобы зафиксировать понятия о числовых неравенствах, навыки верно применять знаки отношений "<", ">" и записи итогов сравнения предлагаются разные упражнения, подразумевающие определение нужного знака в конкретной ситуации[7].

Целесообразно предлагать и "обратные" упражнения - по предложенным знакам отношений (">" или "<") находить множества разных объектов, сопоставление которых соответствует заданным отношениям - круги, квадраты, треугольники, бруски и другое. Демонстрируем структуру примерных упражнений для деятельности в этот период обучения:

1) Друзья Петя и Коля собирали марки. Один имел 9 марок, у другого - 5 марок. Коля имел меньше марок, чем Петя. Сколько марок у Пети? Сколько марок у Коли? Составьте неравенство, в котором слева напишите число, соответствующее количеству марок Коли.

2) Сравните числа:

6...4 2...2 5...9

5...5 3...6 2...1

4... 2 9... 4 6... 6

Найдите среди этих математических записей одно равенство и два неравенства и докажите их правильность посредством иллюстрации.

3) Сопоставьте числа, отражающие количество вишен на левой и средней ветках; на средней и правой ветках. Составьте подходящие равенства или неравенства. Какие предметы, изображенные на этих картинках, еще можно сравнить? Запишите все возможные математические варианты, способствующие отображению отношения равенства или неравенства количества листьев на разных ветках [1, 65].

4) Сколько котят в каждой коробке. Запишите найденные числа в порядке их возрастания. Запишите найденные числа в порядке их убывания.

Сопоставьте числа, отражающие количество котят в крайних коробках. Составьте равенство или неравенство, написав справа число, обозначающее количество котят в левой коробке.

Сопоставьте числа, отражающие количество котят в коробках, соседних со средней коробкой. Составьте равенство или неравенство, начиная с числа, отражающего количество котят в коробке, находящейся слева от средней коробки.

На сколько котят в одной из данных двух коробок больше, чем в другой?

Сопоставьте общее число котят в двух крайних коробках с общим числом котят в коробках между ними [8].

Составьте к этому изображению другие равенства и неравенства: сопоставьте количество котят с не одинаковым окрасом.

Следовательно, впервые с понятием «неравенство» школьников знакомят в первом классе. На протяжениипервых двух лет обучения обучающиеся начальной школы приобретают умения читать и составлять неравенства типа:

а > в, а < в; а + в > с, а + в < с или а - в < с, а - в > с и т.п., и также определять натуральные решения для неравенств типа * > ё , * < ё.

В это время обучающимся начальной школы нужно систематически решать упражнения, ориентированные на:

- получать умение действовать с неравенствами;

- формирование логического мышления на материале действий с неравенствами;

- приобретение навыка аргументировано объяснять свой вариант решения;

- формирование математической речи и другое.

Для осуществления этой цели рассматриваются задания вида: 1. Напишите знак сравнения в выражениях, в которых а - натуральное число [2, 13]. а...10 + а 7 - а...7 а...0

87 + а...а + 87 68 - а...58 - а 35 + а...а + 15

29 + а...43 + а а - 17...а - 7 а + а....а

2. В каждом неравенстве оба выражения должны быть или разностями, или суммами. Во всех вероятных вариантах напишите знаки действий так, чтобы получилось правильное неравенство.

47...12 > 47...1 56...33 < 56...23

43...41 > 43...3 74...13 > 86...13

65...2 > 35...5 20...20 < 50...20

Выделите неравенства, в которых знак действия возможно заменить другим и снова получатся правильные неравенства [2].

3. Напишите знаки сравнения таким способом, чтобы получились верные неравенства:

* ... ** 2* ... 26 99 ... *8 *2 ... *4

В ходе решения задания первого столбика, школьники рассуждают, приблизительно, так:

любое однозначное число меньше любого двузначного числа и в когда *...** следует поставить знак «меньше», то есть * < ** .

В процессе определения решения для второго случая, школьники рассуждают примерно так: наибольшее двузначное число в натуральном ряду чисел это число 99 и так как оно больше любого другого двузначного числа и, поэтому, 99 > *8.

Выбирая нужный знак отношения для третьего случая, обучающиеся начальной школы делают вывод: цифра, закрытая звездочкой, в большей степени влияет на определение знака сравнения. Следовательно, когда 2*...26 нельзя написать знака сравнения. Когда 2*...26 вместо звездочки стоит цифра большая, чем 6, то нужно применять знак ">", а когда вместо звездочки стоит цифра 6, то нужно использовать знак равенства. Знак "<" следует применить, если под звездочкой скрывается одна из цифр 0,1,2,3,4,5.

Подобное объяснение подходит для случая: *2...*4. На базе полученных компетенций в третьем классе осуществляется:

- представление о решении неравенств с переменной величиной;

- изучается поиск общих решений двух простых неравенств с одной и той же переменной (система неравенств);

- осуществляется знакомство с двойными неравенствами [7].

На первых этапах обучающиеся начальной школы сталкиваются с неравенствами, у которых одна часть представлена выражением с переменной. Решая данные упражнения, школьники определяют разницу между решениями такого неравенства и подобного неравенства типа: а>30.

В ходе данной деятельности осуществляется представление об одним из приемов решения неравенства -на базе решения соответствующего ему уравнения. Определение именно данного приема объясняется тем, что он не нуждается в смене знака отношения между частями неравенства тогда, когда переменная является вычитаемым или делителем.

Решение неравенств посредством решение соответствующих уравнений содержит два этапа:

- установление значения переменной, при котором левая часть его равна правой (решение уравнения);

- установление множества чисел, при которых это неравенство верно.

Второй этап может быть решен различными приемами. Школьники или применяют приобретенные к этому периоду компетенции об изменении значений выражений при изменении одного из составляющих арифметических действий, или фактически выбирают произвольные числа - большие корня уравнения и меньшие него. Записав найденные значения в неравенство, определяют верность выбора.

Рассмотрим оба приема на примере неравенства, решение которого представлено [1, 45]:

1. Как найти решения неравенства х - 12 > 17, не применяя более простое неравенство х > 17.

2. Какие числа можно выбрать вместо переменной?

3. Найдите несколько чисел больших 29 и проверьте верность своего решения. После этого проверьте несколько чисел, меньших, чем 2. Можно, ли в данном случае получить верные равенства?

Первый вариант решения. х - 12 = 17

х = 17 + 12 х = 29

Когда х = 29 левая часть неравенства равна правой, а она должна быть больше нее. Поэтому, так как переменная считается уменьшаемым, то значение разности увеличивается при его увеличении и переменная должна быть больше числа 29 [3].

Второй вариант решения:

Рассмотрим, к примеру, числа 20 < 29 и 30 > 29 и запишем каждое из них в неравенство. 20 - 12 = 8 - получается число, меньшее 17. Следовательно, числа, меньшие 29, не подходят. Далее определяем, что 30 - 12 = 18 - получается число, большее числа 17 и, значит числа, большие 29, считаются решениями неравенства.

Другим направлением расширения компетенций о неравенствах считается определение общих решений двух неравенств, другими словами,представление о системе неравенств[1,53], которое осуществляется в ходе выполнения упражнений типа:

1) Напишите подряд не меньше 5 натуральных чисел, которые являются решениями каждого неравенства:

х > 15, х < 19.

2) Проконтролируйте, у вас получилась такая запись:

Для х > 15 х = 16,17,18,19,20____

Для х < 19 х = 18,17,16,15.14____

3) Определите и выделите в рядах одинаковые числа. Можно считать, что это общие решения этих неравенств?

4) Изучите системы неравенств. Определитенатуральные числа, являющиеся решениями этих неравенств.

а < 20 в > 26

а > 17 в < 29

Следует отметить, что внедрение в начальный курс математики алгебраического материала содействует:

- более тщательному раскрытию арифметических действий, способствующих освоению новых математических фактов;

- овладению математическими способами выполнения алгебраических упражнений;

- получению характерного опыта в решении равенств и неравенств;

- приобретению эвристических методов рассуждений и интеллектуальных навыков, зависящих от с выбора стратегии решения;

- расширению и уточнению представлений об окружающей действительности посредством учебной дисциплины «Математика»;

- получению навыка самостоятельного, творческого использования приобретенных компетенций в повседневной жизни [7].

Следовательно, в результате рассмотрения алгебраического материала обучающиеся обязаны:

- уметь отличать знаки отношений;

- сопоставлять числа и числовые выражения, выражения с переменной;

- читать числовые выражения и выражения с переменной;

- определять значения числовых и буквенных выражений;

- решать простейшие уравнения, как способом подбора, так и на базе связи между составляющими и результатом арифметических действий и другое. [3, 184].

2.2. Фрагмент урока по теме «Неравенства»

Продемонстрируем фрагмент занятия, иллюстрирующий применение рассматриваемых способов в ходе решения упражнения на сравнение двух множеств. (На столе находятся книги, разложенные на две пачки).

- Как вы думаете, в какой пачке книг больше? Почему? (- В правой пачке книг больше, чем в левой, потому что она выше.)

- Все согласны с данным предположением? (- Правая пачка книг выше, и книги в ней тонкие, а левая - ниже, но книги в ней толстые. Значит, в правой пачке больше книг, чем в левой.)

- Как проверить наше мнение, применяя какой-либо другой прием? (- Следуетпересчитать количество книг.)

- Как осуществить предложенное действие? (- Можно брать книги парами до тех пор, пока в одной из пачек не закончатся книги. Та пачка, в которой останутся книги, и будет содержать большее количество книг.)

- Так мы определили верное решение в создавшейся ситуации. Но в фактической жизни не всегда можно визуально установить, где меньше объектов, а где больше. Следовательно, для определения верного ответа на заданный вопрос нужно применять прием образования пар объектов. (Существенно, чтобы при решении подобных упражнений школьники предлагали и применяли разные приемы сравнения групп объектов).

Следующий этап деятельности подразумевает переход от сравнения предметных множеств к сравнению чисел, считающихся их количественной характеристикой, поэтому в этот период предлагаются упражнения, демонстрирующие прием сравнения множеств на базе сравнения чисел, приводящий собственно к тому, что для сравнения чисел применяются предметные множества, а предметные множества можно сопоставить посредством чисел, считающихся количественными характеристиками исследуемых множеств.

Покажем фрагмент занятия, демонстрирующий работу преподавателя по составлению понятий «равенство», «неравенство», предложив анализ некоторых этапов этого занятия.

Тема урока: «Равенства. Неравенства».

В процессе этапа представления нового материала действия строятся следующим образом:

На доске стоят две группы одинаковых кругов (6 и 8), которые хаотично Круги расположены, что усложняет их пересчет.

Преподаватель предлагает тему:

- Мама послала Медвежонка, принести из леса сладких ягод для пирожков. Но идти одному в лес скучно. Что можно порекомендовать Медвежонку? (- Пригласить с собой друга Лисенка.)

- Взяли приятели две корзины и начали собирать найденные каждым ягоды: одну ягодку в корзинку Лисенка; в тоже время Медвежонок кладет найденную им ягоду в свою корзину. (Преподаватель вызывает к доске помощника.)

Как показала проверка, у Лисенка оказалось на 2 круга (ягодки) больше, чем у Медвежонка.

На этом этапе занятия четко проявляется воспитывающий эффект в освоении нравственных правил, в стремлении продолжить сотрудничество и совместную учебную работу, формируется база для развития положительных эмоций в отношении предстоящей работы.

Вовлечение в процесс занятия персонажей способствует не только заинтересовать школьников для выполнения заданного учебного упражнения, но и обогатить их чувственно-эмоциональный опыт посредством формирования мышления в плане ощущения себя и своего места в действительности окружающего мира и общества.

- Ну вот, - произнес Медвежонок, - ты посчитал, сколько у тебя ягод? (-Нет, - сказал в ответ Лисенок.)

Преподавательспрашивает школьников: «А вы сосчитали?» (Так как задания на подсчет найденных каждым ягод не было, то, вполне вероятно, никто из обучающихся не стал считать количество найденных каждым ягод.)

- Я тоже не пересчитывал, - произнес Медвежонок, - но кажется, у тебя на 2 ягоды больше.

- Почему ты так думаешь Медвежонок? Прав он или нет? (Выслушиваются предположения школьников.)

Внедрение проблемного вопроса способствует развернуть дискуссию. В ходе рассмотрения осуществляется столкновение различных позиций и важно понимать, что одновременно с действиями над непосредственным учебным упражнением развивается благоприятная коммуникативная атмосфера: формирование правил взаимодействия, внимание к точке зрения другого и так далее.

После дискуссии определяется прием сравнения: если в каждую корзину положили по одной ягодке одновременно, значит, в них должно быть ягод поровну. Две оставшиеся в корзине ягоды означают, что у одного из приятелей ягод больше, чем у другого, так как для них не нашлось пары. Деятельность на этом этапе разрешает учитывать фактор доступности обучения и фактор индивидуализации обучения. Преподавателю необходимо удостовериться, что все обучающиеся усвоили учебный материал.

В дальнейшем итог деятельности контролируется подсчетом количества ягод, найденных каждым и сравнением полученных в итоге подсчета чисел. Определяется: 6 меньше, чем 8. Преподаватель продолжает рассказ:

- Лисенок не доверяет Медвежонку. Распределите круги на доске так, чтобы было заметно, что у Медвежонка ягод меньше на 2.

Как вы распределите круги? (- Один под другим.)

Лисенок	0	0	0	0	0	0	0	0
Медвежонок	0	0	0	0	0	0

Рис. 1. Схема для задачи

- В котором ряду кругов больше? Меньше? На сколько больше в верхнем ряду? На сколько меньше в нижнем ряду?

- Что надо сделать, чтобы медвежонку было не обидно? (- Из верхнего ряда добавить один круг в нижний ряд.)

Продолжается действия, заданные нравственным направлением занятия, проверяется осознание нравственно-этических правил поведения с близкими.

На этапе фиксации нового материала изучают все способы уравнивания числа кругов, что способствует формированию нестандартного мышления обучающихся младших классов школы:

а) два круга добавить в нижний ряд;

б) два круга убрать из верхнего ряда;

в) один круг из верхнего ряда переставить в нижний ряд.

Завершающим этапом предложенной деятельности считается подведение школьников к выводу:

- если сравнивать два множества по числу объектов, то всегда можно определить: являются ли эти множества равными или неравными (в одном из множеств объектов больше или меньше, чем в другом);

- отношения сравнения множеств объектов можно перевести на язык математики посредством особых знаков "=" и "не равно";

- для удобства записи отношений «не равно» между числами люди договорились применять знаки "<" (меньше) и ">" (больше).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы по теме «Числовые неравенства» нами было охарактеризовано понятие «неравенство» и выделены этапы его формирования (подготовка к введению неравенств, ознакомление с неравенствами, закрепление знаний и выработка вычислительного навыка). Также были выбраны и рассмотрены типы заданий, направленных на формирование у младших школьников понятий о числовых неравенствах (задания с использованием сравнений, задания на классификацию и систематизацию знаний, задания на выявление общего и различного, задания с многовариантными решениями, задания с элементами занимательности, комбинаторные задачи).

В процессе курсового исследования, изучив психолого-педагогическую и методическую литературу по проблеме формирования у младших школьников понятий о числовых неравенствах, мы выявили и раскрыли особенности изучения приемов вычислений и предложили серию упражнений для организации процесса формирования у младших школьников понятий о числовых неравенствах в начальных классах. Нами было выявлено, что использование выбранных типов заданий на уроках математики возбуждает у детей интерес к предмету, стимулирует их к активной деятельности и позволяет более прочно сформировать вычислительные навыки.

В процессе выполнения работы намеченная программа исследования была выполнена, поставленные задачи решены, цель исследования достигнута.

Список литературы

1.     Аргинская, И.И., Ивановская, Е.И. Математика 2 класс. Часть 1. –М.: Просвещение, 2010 – 128 с.

2.     Бабенко Н. А. О применении устного счета на уроках математики // Молодой ученый. — 2016. — №1. Т.2. — С. 62-64. — URL https://moluch.ru/archive/36/4164/ (дата обращения: 16.03.2021).

3.     Владимиров А. И., Михайлова В. В., Шмелева С. П. Интересные способы быстрого счета // Юный ученый. — 2016. — № 6.1. — С. 15-17. — URL https://moluch.ru/young/archive/9/633/ (дата обращения: 16.03.2021).

4.     Жмурова И. Ю. Изучение приемов быстрого счета будущими учителями математики // Молодой ученый. — 2016. — №15. — С. 453-455. — URL https://moluch.ru/archive/119/33066/ (дата обращения: 16.03.2021).

5.     Ильина, О.Н. Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях // Наука, образование, общество. – 2016. - 3февраля. – URL статьи: http://journal.sakhgu.ru.

6.     Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Методические аспекты обучения младших школьников комбинаторике // Молодой ученый. — 2014. — №8. — С. 864-867. — URL https://moluch.ru/archive/67/11446/ (дата обращения: 16.03.2021).

7.     Лавлинская, Е.Ю. Методика формирования вычислительного навыка по системе общего развития Занкова Л.В. – В.: Панорама, 2016. –176 с.

8.     Мельникова, Н.А. Развитие вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. –2011. –№18. –С.9-14.

9.     Саидова Н. Р. Применение некоторых методов обучения на уроках математики в начальных классах общеобразовательной школы // Молодой ученый. — 2018. — №16. — С. 313-315. — URL https://moluch.ru/archive/202/49493/ (дата обращения: 16.03.2021).

10. Трофименко Ю. В., Пузина М. С. Использование схематической модели числа при формировании вычислительных навыков у младших школьников // Молодой ученый. — 2015. — №10. — С. 1311-1317. — URL https://moluch.ru/archive/90/18518/ (дата обращения: 16.12.2019).