Теория чисел. Решение задания С7 «Числа и их свойства»

• 1 слайд

  Теория чисел
  Решение задания С7 «Числа и их свойства»
  

• 2 слайд

  За но­во­год­ним сто­лом дети ели бу­тер­бро­ды и кон­фе­ты, при­чем каж­дый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и дру­гое.
  Из­вест­но, что маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды, было не более чем  5 16  от об­ще­го числа детей, евших бу­тер­бро­ды, а маль­чи­ков, евших кон­фе­ты, было не более 2 5    от об­ще­го числа детей, евших кон­фе­ты.
  а) Могло ли за сто­лом быть 13 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?
  б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть за сто­лом, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?
  в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа детей без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?
  

• 3 слайд

  За но­во­год­ним сто­лом дети ели бу­тер­бро­ды и кон­фе­ты, при­чем каж­дый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и дру­гое. Из­вест­но, что маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды, было не более чем  5 16  от об­ще­го числа детей, евших бу­тер­бро­ды, а маль­чи­ков, евших кон­фе­ты, было не более 2 5    от об­ще­го числа детей, евших кон­фе­ты.
  а) Могло ли за сто­лом быть 13 маль­чи­ков, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?
  
  Ре­ше­ние.
  а) Если за сто­лом было 5 маль­чи­ков, евших толь­ко бу­тер­бро­ды, 8 маль­чи­ков, евших толь­ко кон­фе­ты, и 12 де­во­чек, каж­дая из ко­то­рых ела и то и дру­гое, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, в груп­пе из 25 детей могло быть 13 маль­чи­ков.
  

• 4 слайд

  б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков могло быть за сто­лом, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что всего за сто­лом было 25 детей?
  Пред­по­ло­жим, что маль­чи­ков было 14 или боль­ше. Тогда де­во­чек было 11 или мень­ше. 
  Пусть число маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды равно m1.
  Тогда число  𝑚 1 𝑚 1 +11 не боль­ше , чем доля маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды среди всех детей, евших бу­тер­бро­ды, а это число не боль­ше, чем  5 16 .
  От­ку­да, 𝑚 1 𝑚 1 +11 ≤ 5 16 . Отсюда, 𝑚 1 ≤ 5.
  Пусть m2 — число маль­чи­ков, евших кон­фе­ты. Ана­ло­гич­но,  𝑚 2 𝑚 2 +11 ≤ 2 5 . От­ку­да, учи­ты­вая, что m2 число целое, на­хо­дим:  𝑚 2 ≤ 7.
  Но тогда общее число маль­чи­ков, евших хоть что-то не боль­ше, чем 5 + 7 = 12. Сле­до­ва­тель­но, по край­ней мере, 2 маль­чи­ка ни­че­го не ели, а это про­ти­во­ре­чит усло­вию.
  В преды­ду­щем пунк­те было по­ка­за­но, что в груп­пе из 25 уча­щих­ся могло быть 13 маль­чи­ков. Зна­чит, наи­боль­шее ко­ли­че­ство маль­чи­ков в груп­пе — 13.
  

• 5 слайд

  в) Какую наи­мень­шую долю могли со­став­лять де­воч­ки от об­ще­го числа детей без до­пол­ни­тель­но­го усло­вия пунк­тов а и б?
  
  Пред­по­ло­жим, что не­ко­то­рый маль­чик ел и кон­фе­ты, и бу­тер­бро­ды.
  Если бы вме­сто него было два маль­чи­ка, один из ко­то­рых ел толь­ко кон­фе­ты, а дру­гой — толь­ко бу­тер­бро­ды, то доля маль­чи­ков, евших кон­фе­ты и доля маль­чи­ков, евших бу­тер­бро­ды, оста­лись бы преж­ни­ми, а общая доля де­во­чек стала бы мень­ше.
  Зна­чит, для оцен­ки наи­мень­шей доли де­во­чек можно счи­тать, что каж­дый маль­чик ел или толь­ко кон­фе­ты, или толь­ко бу­тер­бро­ды.
  
  

• 6 слайд

  Пусть, как пре­жде, m1 маль­чи­ков ели бу­тер­бро­ды, m2 ели кон­фе­ты, и всего было d де­во­чек. Оце­ним долю де­во­чек. Будем счи­тать, что каж­дая де­воч­ка ели и кон­фе­ты, и бу­тер­бро­ды, по­сколь­ку их доля в груп­пе от этого не из­ме­нит­ся, а доля среди евших кон­фе­ты и доля среди евших бу­тер­бро­ды не ста­нут мень­ше.
  
  По усло­вию  𝑚 1 𝑚 1 +𝑑 ≤ 5 16 .
  𝑚 1 ∙16≤5∙( 𝑚 1 +𝑑)
  16𝑚 1 ≤5 𝑚 1 +5𝑑
  16𝑚 1 −5 𝑚 1 ≤5𝑑
  11 𝑚 1 ≤5𝑑
  𝑚 1 𝑑 ≤ 5 11
  
  
  
  𝑚 2 𝑚 2 +𝑑 ≤ 2 5 .
  𝑚 2 ∙5≤2∙( 𝑚 2 +𝑑)
  5𝑚 2 ≤2 𝑚 2 +2𝑑
  5𝑚 2 −2 𝑚 2 ≤2𝑑
  3 𝑚 2 ≤2𝑑
  𝑚 2 𝑑 ≤ 2 3
  

• 7 слайд

  Тогда, зная, что 𝑚 1 𝑑 ≤ 5 11 и 𝑚 2 𝑑 ≤ 2 3 , сложим левые и правые части.
  𝑚 1 𝑑 + 𝑚 2 𝑑 ≤ 5 11 + 2 3
  
  𝑚 1 + 𝑚 2 𝑑 ≤ 15 33 + 22 33
  
  𝑚 1 + 𝑚 2 𝑑 ≤ 37 33 .
  По­это­му доля де­во­чек равна
  𝑑 𝑚 1 + 𝑚 2 +𝑑 = 1 𝑚 1 + 𝑚 2 𝑑 +1 ≥ 1 37 33 +1 = 33 70 .
  

• 8 слайд

  Оста­лось по­ка­зать, что такая доля де­во­чек дей­стви­тель­но могла быть.
  На­при­мер, если из 70 детей 15 маль­чи­ков ели толь­ко бу­тер­бро­ды, 22 маль­чи­ка ели толь­ко кон­фе­ты, и еще было 33 де­воч­ки, каж­дая из ко­то­рых ела и то, и дру­гое, то усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но, а доля де­во­чек в точ­но­сти равна 33 70 .
  
  

Краткое описание документа:

Список литературы:

1. Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.

2. Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.

3. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов.

МГУ, ВМК, Москва, 2005г.

4. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991г.

5. Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.