Типология и методология решения экономических задач

Рассмотрим задачи, связанные с банковскими операциями.

1.      31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Ре­ше­ние.

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1 + 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

=

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му 

, откуда . При a = 9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1 и 

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

2.        31 де­каб­ря 2014 года Пётр взял в банке не­ко­то­рую сумму в кре­дит под не­ко­то­рый про­цент го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на а%), затем Пётр пе­ре­во­дит оче­ред­ной транш. Если он будет пла­тить каж­дый год по 2 592 000 руб­лей, то вы­пла­тит долг за 4 года. Если по 4 392 000 руб­лей, то за 2 года. Под какой про­цент Пётр взял день­ги в банке?

Решение. Пусть  — сумма кре­ди­та. Обо­зна­чим еже­год­ные пла­те­жи  и  со­от­вет­ствен­но. Сумма долга каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на  то есть сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент  После пер­вой вы­пла­ты сумма долга ста­нет рав­ной  после вто­рой вы­пла­ты:   после тре­тье вы­пла­ты:  после четвёртой вы­пла­ты:   Причём долг будет по­га­шен пол­но­стью, по­лу­ча­ем, то есть  Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем урав­не­ние для слу­чая, когда вы­пла­ты со­вер­ша­ют­ся пла­те­жа­ми раз­ме­ром :   Имеем си­сте­му урав­не­ний:

Под­ста­вим вы­ра­же­ние для  во второе урав­не­ние: Пре­об­ра­зу­ем это урав­не­ние:

Под­став­ляя чис­ло­вые зна­че­ния по­лу­ча­ем:

От­ри­ца­тель­ные корни не под­хо­дят по усло­вию за­да­чи, зна­чит,  от­ку­да  то есть Пётр взял день­ги в банке под 20%.

Ответ: 20%.

Примеры задач для самостоятельного решения.

1. Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

2. Банк пла­ни­ру­ет вло­жить на 1 год 30% име­ю­щих­ся у него средств кли­ен­тов в акции зо­ло­то­до­бы­ва­ю­ще­го ком­би­на­та, а осталь­ные 70% — в стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са. В за­ви­си­мо­сти от об­сто­я­тельств пер­вый про­ект может при­не­сти банку при­быль в раз­ме­ре от 32% до 37% го­до­вых, а вто­рой про­ект — от 22 до 27% го­до­вых. В конце года банк обя­зан вер­нуть день­ги кли­ен­там и вы­пла­тить им про­цен­ты по за­ра­нее уста­нов­лен­ной став­ке, уро­вень ко­то­рой дол­жен на­хо­дить­ся в пре­де­лах от 10% до 20% го­до­вых. Опре­де­ли­те, какую наи­мень­шую и наи­боль­шую чи­стую при­быль в про­цен­тах го­до­вых от сум­мар­ных вло­же­ний в по­куп­ку акций и стро­и­тель­ство тор­го­во­го ком­плек­са может при этом по­лу­чить банк.

3. В банк был по­ло­жен вклад под бан­ков­ский про­цент 10%. Через год хо­зя­ин вкла­да снял со счета 2000 руб­лей, а еще через год снова внес 2000 руб­лей. Од­на­ко, вслед­ствие этих дей­ствий через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния вкла­да он по­лу­чил сумму мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной (если бы не было про­ме­жу­точ­ных опе­ра­ций со вкла­дом). На сколь­ко руб­лей мень­ше за­пла­ни­ро­ван­ной суммы по­лу­чил в итоге вклад­чик?

4. Семья Ива­но­вых еже­ме­сяч­но вно­сит плату за ком­му­наль­ные услу­ги, те­ле­фон и элек­три­че­ство. Если бы ком­му­наль­ные услу­ги по­до­ро­жа­ли на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 35%. Если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 10%. Какой про­цент от общей суммы пла­те­жа при­хо­дит­ся на те­ле­фон?

5. Жанна взяла в банке в кре­дит 1,2 млн руб­лей на срок 24 ме­ся­ца. По до­го­во­ру Жанна долж­на воз­вра­щать банку часть денег в конце каж­до­го ме­ся­ца. Каж­дый месяц общая сумма долга воз­рас­та­ет на 2 %, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Жан­ной банку в конце ме­ся­ца. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые Жан­ной, под­би­ра­ют­ся так, чтобы сумма долга умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну каж­дый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в те­че­ние пер­во­го года кре­ди­то­ва­ния?

6. 1 марта 2010 года Ар­ка­дий взял в банке кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 марта каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Ар­ка­дий пе­ре­во­дит в банк пла­теж. Весь долг Ар­ка­дий вы­пла­тил за 3 пла­те­жа, при­чем вто­рой пла­теж ока­зал­ся в два раза боль­ше пер­во­го, а тре­тий – в три раза боль­ше пер­во­го. Сколь­ко руб­лей взял в кре­дит Ар­ка­дий, если за три года он вы­пла­тил банку 2 395 800 руб­лей?

7. Миша и Маша по­ло­жи­ли в один и тот же банк оди­на­ко­вые суммы под 10% го­до­вых. Через год сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов Миша снял со сво­е­го счета 5000 руб­лей, а еще через год снова внес 5000 руб­лей. Маша, на­о­бо­рот, через год до­ло­жи­ла на свой счет 5000 руб­лей, а еще через год сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов сняла со счета 5000 руб­лей. Кто через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния по­лу­чит боль­шую сумму и на сколь­ко руб­лей?

8. В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у% го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние хпри ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

9. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?