Творческая работа обучающего по математике

Треугольник Паскаля

Выполнил: ученик 5 класса «Б» Емельянов В.А.

Руководитель: учитель математики Путанова С.В.

Цели и задачи исследования

Гипотеза исследования:         с помощью правил и свойств треугольника Паскаля возможно построить другие числовые закономерности.

Цель исследования: 

           изучить треугольник Паскаля, его свойства и области применения.

Задачи исследования:

-  изучить принцип построения треугольника Паскаля;

-  исследовать свойства чисел, составляющих треугольник Паскаля;    - найти области применения свойств треугольника Паскаля.

Принцип построения треугольника Паскаля  

1	0 строка
1    1	1 строка
1    2    1	2 строка
1    3     3   1	3 строка
1    4    6     4   1	4 строка
1    5   10   10    5  1	5 строка
1   6   15   20   15   6   1	6 строка
1   7    21  35    35   21  7  1	7 строка
1   8  28   56   70   56   28  8  1	8 строка
…………………………………………

Каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним

треугольника Паскаля 

                           1                       

                      1    1             Количество рядов         1    2    1                 треугольника –           1    3    3    1  бесконечно.

              1    4    6    4    1                             Симметричен

           1    5   10   10   5   1                           относительно

        1   6   15   20   15   6   1                  вертикальной оси

     1   7    21  35    35  21  7   1                     На диагонали

  1   8  28   56   70   56   28  8   1                   расположены

1  9  36  84  126  126  84  36  9   1       натуральные числа

…………………………………………

треугольника Паскаля 

                          1                       

                       1    1                        

                           1    2    1                    

                        1    3    3    1 

               1    4    6    4    1                       Треугольные числа.

           1    5   10   10   5   1         

        1    6   15    20  15   6   1

     1   7    21  35   35   21   7   1

  1   8  28   56   70   56   28  8   1 

1  9  36  84  126  126  84  36  9   1

…………………………………………

Тетраэдральные числа

треугольника Паскаля 

                          1                       

                       1    1                        

                           1    2    1                    

                        1    3    3    1 

              1    4    6    4    1             1    5   10   10   5   1 

        1   6   15   20   15   6   1

     1   7    21  35    35  21  7   1

  1   8  28   56   70   56   28  8   1 

1  9  36  84  126  126  84  36  9   1

…………………………………………

Сумма чисел стоящих на четных позициях равна сумме чисел стоящих на нечетных позициях.

Примеры:

4 строка: 

       1+6+1=4+4

7 строка: 

       1+21+35+21+7=7+35+21+1

треугольника Паскаля

0           строка               1              2⁰

1           строка                1     1    

2           строка       1    2     1     2² 3 строка          1    3     3    1     2³ 4 строка       1    4    6     4    1     2⁴

5 строка    1    5   10   10    5   1     2⁵

                 …………………………

Сумма чисел в строке     треугольника равна 2ⁿ.

    21            Примеры

¹  строка: 

               1+1=22¹

²  строка: 

               1+2+1=42² 

5 строка: 

                 1+5+10+10+5+1=322⁵ 

треугольника Паскаля

                          1                       

                       1    1                        

                           1    2    1                    

                        1    3    3    1 

              1    4    6    4    1            

           1    5   10   10   5   1         

        1   6   15    20  15   6   1

     1   7    21  35   35   21   7   1

  1   8  28   56   70   56   28  8   1 

1  9  36  84  126  126  84  36  9   1

…………………………………………

Сумма чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующей позиции в треугольнике, равна числу, расположенному снизу и слева от последнего слагаемого.

Пример

1 диагональ

     1+2+3+4=10

4 диагональ

      1+4+10+20+35=70

Применение закономерностей треугольника Паскаля

		Вероятность выбора
1                        1    1                            1    2    1		Возможные исходы бросания трех    монет:

           1    3    3    1                              ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГ, 

1    4    6    4    1

ГРР, РГР, РРГ, РРР.

           1    5   10   10   5   1      

        1   6   15    20  15   6   1    Три герба - 1 случай, 

     ……………………………… два герба - 3 случая, 

один герб - 3 случая, ни одного герба - в 1 случае.  

Применение закономерностей треугольника Паскаля

Ковёр Серпинского

Модификации  треугольника Паскаля 

Треугольник Паскаля               2     2      с боковыми                  3     4    3     сторонами из

                                      1

4              7      7      4

5              11    14    11    5   натуральных чисел. 

6              16    25   25    16    6

7              22    41   50    41    22   7

8              29     63   91    91    63   29   8

………………………………………

Рисунок 10.

Модификации  треугольника Паскаля 

Выводы

- Рассмотрены основные принципы и закономерности построения треугольника Паскаля  - Множество замечательных свойств - Треугольник Паскаля помогает быстрее решать вычислительные задачи  - Построение других фигур, используя принцип треугольника Паскаля

Список литературы

http://www.arbuz.uz/u_treug.html http://ru.wikipedia.org/wiki/

Гарднер М. Математические новеллы.   М.: Мир, 1974.

http://slovari.yandex.ru/