Учебник: Пятое математическое действие"

ПЯТОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДЕЙСТИЕ

         «Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», подчеркивая, что к семи общеизвестным математическим операциям она присоединяет три новых: возведение в степень и два ему обратных действия.

         Наши алгебраические беседы начнутся с «пятого действия» – возведения в степень.

         Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени. Далее: сила всемирного тяготения, электростатическое и магнитное взаимодействия, свет, звук ослабевают пропорционально второй степени расстояния. Продолжительность обращения планет вокруг Солнца (и спутников вокруг планет) связана с расстоянием от центра обращения также степенной зависимостью: вторые степени времен обращения относятся между собой, как третьи степени расстояний.

         Не надо думать, что практика сталкивает нас только со вторыми
и третьими степенями, а более высокие показатели существуют только
в упражнениях алгебраических задачников. Инженер, производя расчеты
на прочность, сплошь и рядом имеет дело с четвертыми степенями, а при других вычислениях – даже с шестой степенью. Исследуя силу, с какой текучая вода увлекает камни, гидротехник наталкивается на зависимость также шестой степени: если скорость течения в одной реке вчетверо больше, чем в другой,
то быстрая река способна перекатывать по своему ложу камни в 4⁶, т.е. в 4096 раз более тяжелые, чем медленная.

         С еще более высокими степенями встречаемся мы, изучая зависимость яркости раскаленного тела – например, нити накала в электрической лампочке от температуры. Общая яркость растет при белом калении с двенадцатой степенью температуры, а при красном – с тридцатой степенью температуры («абсолютной», т.е. считаемой от минус 273°). Это означает, что тело, нагретое, например, от 2000° до 4000° (абсолютных), т.е. в два раза сильнее, становится ярче в 2¹², иначе говоря, более чем в 4000 раз.

         Но никто, пожалуй, не пользуется так широко пятым математическим действием, как астрономы. Исследователям вселенной на каждом шагу приходитсявстречаться с огромными числами, состоящими из одной-двух значащих цифр и длинного ряда нулей. Изображение обычным образом числовых исполинов, справедливо называемых «астрономическими числами», неизбежно вело бы к большим неудобствам, особенно при вычислениях».

Я.И. Перельман,
известный популяризатор математики и физики,
«доктор занимательных наук»

(из книги «Занимательная алгебра»)

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

М.В. Ломоносов

Степень с натуральным показателем и ее свойства

 

§ 1. Что такое степень с натуральным показателем	4
§ 2. Таблица основных степеней	12
§ 3. Свойства степени с натуральными показателями	17
§ 4. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями	23
§ 5. Степень с нулевым показателем	25
Ответы и решения	38
Для серьезного размышления	48
Информационные источники	50

Определение 1. Под аn, где n = 2, 3, 4, 5, …, понимаютпроизведениеn одинаковых множителей, каждым из которых является число а. Выражение аn называют степенью, число а – основаниемстепени, число n – показателем степени.

Определение 2.Степенью  числа а с показателем 1 называют само это число: а1 = а.

Операцию отыскания степени аnназывают возведением в степень.
!	Если отрицательное число возводится в четную степень, то получаетсяположительноечисло. Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то получаетсяотрицательноечисло.	!

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

Решение:

2. Вычислите:  

Решение:

Ответ:

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Решение:

Попробуйте решить самостоятельно те задания, которые показались вам наиболее сложными. Если ваше решение хотя бы отчасти не совпадает с приведенным (не совпадает по существу, а не по форме), то обязательно разберитесь в причине несовпадения.

 

0,81	24	65	10	45	121

Если вы успешно справитесь с этим заданием, узнаете, как древние славяне называли число 10¹².

Любопытные факты из мира степеней

Хотя мы и используем арабские цифры, но древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия для большого счета:

«тысяща» = 10³                    «леодр» = 10²⁴

«тьма» = 10⁶                         «ворон» = 10⁴⁸

«легион» = 10¹²                    «колода» = 10⁴⁹

 

Выполните вариант 1

Таблица ответов на стр. 38

8-10 верных ответов	Если ошибки есть, проанализируйте их и переходите к изучению § 2.
5-7 верных ответов	Ваши знания нестабильны. Проанализируйте ошибки. Для контроля выполните вариант 2. Если результат будет хорошим, переходите к изучению § 2. Если нет, еще раз разберите предложенные примеры и выполните вариант 3.
Менее 7 верных ответов	Не отчаивайтесь. Еще раз прочитайте краткое изложение теоретического материала, еще раз разберите рассмотренные задания, еще раз попытайтесь решить задания варианта 1 …

Проявите настойчивость. У вас обязательно получится.

И не заглядывайте в таблицу ответов пока не выполните все задания.

Это непременное условие, если вы хотите

успешно усвоить учебный материал.

С-1Определение степени с натуральным показателем

Вариант 1

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

2. Вычислите:  

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Вариант 2

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

2. Вычислите:  

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Вариант 3

1. Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

2. Вычислите:  

2. Представьте данное число в виде степени какого-либо числа с показателем, отличным от 1:

Это интересно

У известного художника Богданова-Бельского есть картина, изображающая занятия устным счетом. В классе возле доски сидит учитель, а около него стоят ученики, занятые устным решением трудного примера. Ученики сосредоточены и увлечены работой, так как пример действительно интересен. Вот он:

Решите и вы этот пример устно.

(Решение приведено на стр. 38)

Картина называется «Устный счет». На ней изображены ученики сельской школы, старого, дореволюционного времени. Учитель на этой картине – известный педагог С.А. Радзинский. Хранится картина в Третьяковской галерее.

 

Самостоятельная работа представлена в виде кросснамбера.

Кросснамбер (в переводе с английского – кресточислица) –

один из видов числовых  ребусов.   Предметом   отгадывания

в нем являются математические задачи. В данном случае это задания
на нахождение значений степеней.

При составлении кросснамберов применяется тот же принцип,
чтои в кроссвордах: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий»
на горизонталь и вертикаль. Поскольку кросснамберы – задачи с числами,
то в каждую клетку вписывается по одной цифре. А чтобы не было путаницы, номера заданий обозначают буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, только положительные. Запись этих чисел не может начинаться с нуля, т.е. число 54 нельзя записать как 054. Ответы на стр. 38.

Кросснамбер «Степень с натуральным показателем»

		а		б
	в			г	д
е					ж
	з	и		к
		л
	м			н

По горизонтали в)г) е)ж) з)к) л)м) н)

По вертикали   а) б) в) д) и)к)

	Слон живет у нас в квартире, в доме 2
	Подъезд 4
	Каждый день привык питаться. Утром – в 8
	Днем – в 16
	Без разбора все глотает и калорий не считает. 32 свеклы сжевал и «спасибо» не сказал
	64 груши одним махом взял и скушал
	Пирожков 128 в две минуты в рот забросил
	256 леденцов он схрустел за будь здоров
	И 512 сушек съел, поглаживая уши
	1024 кг массы за год он себе наел

Таблица степеней 2

Составьте таблицы степеней для 3, 5, 7. Они нам будут очень полезны.

Кстати, а вы узнали сказочных героев, которые вызвались нам помочь?

Попробуйте от их лица придумать «подсказки» для запоминания значений степеней. Приветствуется все: стихи, рисунки, мини-сочинения.

Таблица степеней 3

Таблица степеней 5

Таблица степеней 7

В предложенных решениях активно используются таблицы степеней простых однозначных чисел

!

1. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: Ответ:

Ответ: Ответ:

2. Ребро куба равно 6 см. Найдите объем куба и площадь его поверхности.

Решение:

Пусть а – ребро куба.

Ответ:

!			!
	для любого n; для любого n;	еслиn – четное число; еслиn – нечетное число

Выполните вариант 1

Таблица ответов на стр. 39

5-6 верных ответов	Если ошибка есть, проанализируйте ее и переходите к варианту2.
3-4 верных ответа	Что-то вы упустили! Разберите еще раз предложенные примеры, исправьте допущенные ошибки и переходитек варианту2.
0-3 верных ответа	Если вы честно следовали нашим указаниям, такого просто не может быть!

С-3                                                       Таблица основных степеней

Вариант 1

1. Решите уравнение:

2. Ребро куба равно 7 см. найдите объем куба и площадь его поверхности.

Вариант 2

1. Решите уравнение:

2. Объем куба равен 27 см³. Найдите ребро куба и площадь его поверхности.

5-6 верных ответов	Если ошибка есть, проанализируйте ее и переходите к изучению §3.
3-4 верных ответа	Проверьте себя на очень похожем варианте 3.
Наличие менее 3 верных ответов даже не рассматривается!

Вариант 3

1. Решите уравнение:

2. Площадь поверхности куба равна 24 см². Найдите ребро и объем куба.

Любопытные факты из мира степеней

Наш мозг состоит из 2 ∙ 10¹⁰ нервных клеток
и способен ежедневно запомнить 8,6 ∙ 10⁷ единиц информации. К концу жизни наша память может хранить 10⁸ единиц информации – число, о котором пока даже не мечтают создатели компьютерной техники.

Именные и безымянные числовые треугольники

Треугольник для четных степеней числа 3 ………………………………….

Треугольник для кубов нечетных чисел ………………………………….

Его называют «треугольником Фибоначчи» на том основании, что Фибоначчи использовал этот числовой треугольник
для вывода формулы

Интересно? Найдите!

 

Правило 1.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются:

                                              

Правило 2.При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитают показатель делителя:

                                               

Правило 3.При возведении степени в степень показатели перемножаются:

                                              

	!	Перечисленные правила можно применять как справа налево, так и слева направо.	!

 

Цель работы:развитие  творческих  способностей,

проверка знания основных определений и свойств степени.

			2
							5	6
		1		3		4
	О	Д	Н	О	Ч	Л	Е	Н	Ы	?

1. Великий математик, который ввел современную запись степени.

2. Показатель степени, который обычно не пишут.

3. Число, которое показывает, сколько раз берется множитель.

4. Действие, которое используется при умножении степеней
с одинаковыми показателями.

5. Произведение n одинаковых множителей.

6. Повторяющийся множитель.

Смею предположить, что основные определения и свойства степени
вы уже знаете, поэтому отгадать слова, зашифрованные под цифрами 2-6, для вас не составило труда. «Одночлены» – название темы, которую вы будете изучать после успешного (я в этом не сомневаюсь) освоения темы «Степень
с натуральным показателем и ее свойства». О великом математике, который ввел современную запись степени, я вам непременно расскажу. Ну а сейчас попробуйте сами составить кроссворд. У вас обязательно получится.

Рене  Декарт 1596-1650 Великий математик, который ввел современную запись степени

Рене Декарт – один из выдающихся ученых XVII века. Поражает широта его интересов. Ученым получены глубокие результаты в области философии, физики, биологии, медицины. Философию Декарт рассматривал как универсальную науку, способную найти объяснение многим явлениям реального мира, вскрыть законы, которые управляют природой и человеческим сознанием. Декарт является основоположником известного философского учения – картезианства (Картезий – латинизированное имя Декарта), в котором он изложил свои взгляды на развитие естественных научных теорий.
В частности, он исследовал вопрос о научном объяснении происхождения Солнечной системы и выдвинул свою гипотезу.

Биология обязана Декарту учением о живом организме как о сложной машине, действующей по определенным естественным законам. Ему принадлежит первоначальное понятие об условном рефлексе.

Наибольшую известность принесла Декарту книга, вышедшая в 1637 году, когда Декарту был уже 41 год. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры
и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». В этом сочинении Декарт сформулировал «главные правила метода», а именно:

Первое: не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем
не признал это несомненно истинным, т.е. старательно избегать поспешности
и предубеждения и включать в свои рассуждения только то, что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод
к сомнению.

         Второе:делить каждую из рассматриваемых мною трудностей на столько частей, насколько потребуется, чтобы лучше их разрешить.

         Третье: руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.

         И последнее: делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.   

         Декарт подчеркивал, что в основе научной теории должны лежать ясные и простые принципы. Необходимо изучать, описывать, классифицировать явления природы, проводить эксперименты и математические расчеты. Изучая природу, нужно полагаться лишь на свои силы, а не ждать помощи свыше, божественного откровения.

         «Геометрия» Декарта, Являющаяся приложением к «Рассуждению
о методе …», произвела переворот в геометрии того времени. За короткое время «Геометрия» выдержала четыре издания и была настольной книгой каждого математика XVII века. ВXVIIIиXIX вв. на основе метода координат Декарта возникли многомерная, а затем и бесконечномерная геометрия. Сегодня без метода координат невозможно представить себе ни математику,
ни физику.

 

Преобразование степенных выражений дело кропотливое

!

1. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Ответ:

2. Вычислите

Решение:

Ответ:

!

Мы говорили только об умножении и делении степеней содинаковымиоснованиями. А вот об их сложении и вычитании ничего неизвестно, так что не сочиняйте новых правил.

!

Выполните вариант 1

Таблица ответов на стр. 39

Как видите, таблицы, которая объяснит, куда вам стоит двигаться в зависимости от количества верно решенных задач в варианте 1, на этот раз нет. «Траекторию контроля» вам предстоит выработать самим. Готовы? Я уверен, что готовы. Удачи!

С-4              Свойства степени с натуральными показателями

Вариант 1

1. Представьте выражение в виде степени:

2. Вычислите

Вариант 2

1. Представьте выражение в виде степени:

2. Вычислите

Вариант 3

1. Представьте выражение в виде степени:

2. Вычислите

Правило 4.Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель оставить неизменным:

                                   

Правило 5.Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель оставить неизменным:

!

Перечисленные правила можно применять как справа налево, так и слева направо.

!

 

Преобразование степенных выражений дело кропотливое

!

1. Возведите данное выражение в степень:

Решение:

Ответ:

2. Представьте данное произведение или дробь в виде степени:

Решение:

Ответ:

!

Если умножение и деление выполняется над степенями с различными основаниями и разными показателями, то будьте внимательны.

!

Определение.Если Символ 00 считается в математике не имеющим смысла.

                                   

 

Преобразование степенных выражений дело кропотливое

!

Вычислите

Решение:

Ответ:

Армия Спартака разделилась на три части: первый отряд состоял из 40 ∙ 10³ бойцов, второй отряд составлял 80% от численности первого отряда,
а третий отряд имел на 5 ∙ 10³ бойцов больше, чем второй отряд. Какова была общая численность армии Спартака?

 

На этот раз нет не только указаний по организации работы,
но и таблицы ответов, только напутствие:

!	Если вы затрудняетесь в применении определенного математического метода, не спешите винить метод. Может быть, вы его просто неумело применяете. Попробуйте еще раз!

С-5

Умножение иделение степеней с одинаковыми показателями

Степень с нулевым показателем

Вариант 1

1. Возведите данное выражение в степень:

2. Представьте данное произведение или дробь в виде степени:

3. Вычислите

Вариант 2

1. Возведите данное выражение в степень:

2. Представьте данное произведение или дробь в виде степени:

3. Вычислите

 

Цель работы:развитие  конструкторских  способностей,

воспитание уверенности в своих способностях к созданию нового.

Инструкция по выполнению:

		1. Что такое степень с натуральным     показателем 2. Таблица основных степеней 3. Свойства степени с натуральным     показателем 4. Умножение и деление степеней     с одинаковыми показателями 5. Степень с нулевым показателем
Выберите тему таблицы
		1. Иллюстративная (направлена на усиление наглядности при объяснении нового материала) 2. Справочная (предназначена для получения необходимой информации) 3. Таблица-задание (используется при проведении самостоятельных работ, индивидуальных и фронтальных опросов)
Выберите вид
		1. Формулы, алгоритмы 2. Примеры решения 3. Стандартные задачи 4. Нестандартные задачи 5. Занимательные задачи 6. Историко-математические факты
Продумайте содержание
		Требование к оформлению только одно: таблица оформляется на белой бумаге (формат А4 или А5) на одной стороне листа Требования к содержанию: 1. Соответствие своему назначению 2. Логическая последовательность 3. Компактность 4. Эстетичность
Продумайте оформление
Оформите таблицу на ПК

Кстати, приведенную инструкцию можно рассматривать
как пример таблицы, содержащей алгоритм.

Почувствуйте свою причастность к организации учебного процесса – почти наравне с учителем!

 

Цель работы:развитие компонентов творческого процесса: воображения, логического мышления, смекалки.

Из толкового словаря Ожегова С.И.:

«Сказка – повествовательное, обычно народнопоэтическое
произведение о вымышленных лицах и событиях,
преимущественно с участием волшебных фантастических сил»

«Сказочник – рассказчик сказок»

Советы по выполнению:

1. Выберите определения или правила, желательно такие, запоминание
и понимание которых вызывает трудности у вас или ваших одноклассников,
и преподнесите их как сказку.

2. Не знаете, с чего начать? Прочитайте любимую сказку младшего брата или сестры, вспомните мультфильм, который когда-то (а может быть и сейчас) вы смотрели с удовольствием.

В качестве примера я хочу вам предложить следующую небольшую сказку, правда «геометрическую»:

Три признака

Давным-давно, в стране геометрических фигур, в детском доме жил мальчик-треугольник. У него не было родственников, но когда он вырос,
и пришла пора начинать самостоятельную жизнь, он случайно узнал, что
у него есть три брата-близнеца. Но кто они, где они и как их найти он не знал. Треугольник долго их искал, но все поиски были тщетны, так как треугольников вокруг было очень много, и они все были похожи друг на друга.

Однажды, уже совсем отчаявшись, он случайно встретил на улице мудрого старика, который дал ему совет:

«Ты можешь найти своих братьев по трем признакам:

– по двум сторонам и углу между ними;

– по стороне и двум прилежащим к ней углам;

– по трем сторонам».

Треугольник возобновил свои поиски и вскоре нашел всех трех братьев.
И, как водится в сказке, даже если она математическая, они жили долго
и счастливо.

         Впрочем, если сказочным историям вы предпочитаете детективные, можете рассказать криминальную историю о таинственном исчезновении понятия степени с нулевым показателем, или фантастическую: «Мир без степеней». А, может быть, вы преподнесете рассмотренные свойства степени
в стихах?                                      Удачи!

 

Цель работы:

проверить сформированность умений по изученной теме.

Время, отводимое на выполнение работы: 45 минут.

Содержание и структура:

Проверочная работа представлена в четырех вариантах, которые равноценныпо содержанию и объему работы, направлены на проверку основных навыков преобразования и вычисления значений выражений, содержащих степени.Каждый вариант содержит 10 заданий (7 заданий
в первой частии 3 заданияво второй).Задания первой части представлены
в трех видах: текстовые заданияс выбором ответа, задания с записью ответа
и заданияна установление соответствия объектов. Задания второй части предусматривают развернутую запись решения.

Инструкция по выполнению:

         1. Повторите свойства степени с натуральными показателями. Может быть, стоит сделать листок-шпаргалку, в котором привести не только правила
и формулы, но и примеры их применения?

         2. Задания выполняйте в том порядке, как они представлены, так как
в их построении есть внутренняя логика.

3. Проявите настойчивость и желание решить как можно больше задач. При возникновении затруднений  следует перечитать еще раз соответствующие разделы теоретического материала, разобрать приведенные примеры.

Время выполнения работы ограничено. Постарайтесь максимально жестко контролировать себя, т.е. оценивать результаты, полученные в строго отведенное время. И не пытайтесь просто угадать верный ответ из предложенных, варианты ответов в некоторых заданиях приведены лишь для того, чтобы уберечь вас от случайных и нелепых ошибок, если вы не очень
в себе уверены. При невыполнении этих условий вы просто обманите сами себя.

9-10 верных ответов	Переходите к проверочному тесту
7-8 верных ответов	Проверьте себя на другом варианте
Менее 7 верных ответов Ответы и решения приведены на стр. 40-41.	Найдите подобные задачи в рабочей тетради, разберите их решения, закройте тетрадь и попробуйте их повторить. Проверьте себя на другом варианте.

УСПЕХОВ!

Вариант 1                                                                                                       Часть 1

1. Подберите соответствующее произведение для степени с натуральным показателем:

а)

б)

в)

2. Вычислите

3. Найдите х, если

4. Найдите, при каком значении  k верно равенство

5. Соотнесите каждое выражение с соответствующей ему степенью

а)

б)

в)

6. Выполните возведение в степень выражения

а)

б)

в)

г)

7. Вместо символа  ⃰ подберите такое выражение, чтобы получись верное равенство  ⃰

а)

б)

в)

г)

Ответы к заданиям 1-7.

1

2

3

4

5

6

7

1)

2)

3)

1)

2)

3)

Часть 2

8.Упростите выражениеи найдите его значение при х = 0,1.

9. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ширина которого в 2,5 раза меньше длины и в 4 раза меньше высоты. Найдите размеры коробки, если ее объем равен 270 дм3.

10.Найдите, при каком значении  n верно равенство

УСПЕХОВ!

Вариант 2Часть 1

1. Подберите соответствующее произведение для степени с натуральным показателем:

а)

б)

в)

2. Вычислите

3. Найдите х, если

4. Найдите, при каком значении  k верно равенство

5. Соотнесите каждое выражение с соответствующей ему степенью

а)

б)

в)

6. Выполните возведение в степень выражения

а)

б)

в)

г)

7. Вместо символа  ⃰ подберите такое выражение, чтобы получись верное равенство  ⃰

а)

б)

в)

г)

Ответы к заданиям 1-7.

1

2

3

4

5

6

7

1)

2)

3)

1)

2)

3)

Часть 2

8.Упростите выражениеи найдите его значение при х = –10.

9. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Деревянный брус уложен штабелем, имеющим форму прямоугольного параллелепипеда.Ширина штабеля составляет   его длины, а высота – длины. Найдите размеры уложенного штабеля, если его объем равен 54 м3.

10.Найдите, при каком значении  n верно равенство

УСПЕХОВ!

Вариант 3Часть 1

1. Подберите соответствующее произведение для степени с натуральным показателем:

а)

б)

в)

2. Вычислите

3. Найдите х, если

4. Найдите, при каком значении  k верно равенство

5. Соотнесите каждое выражение с соответствующей ему степенью

а)

б)

в)

6. Выполните возведение в степень выражения

а)

б)

в)

г)

7. Вместо символа  ⃰ подберите такое выражение, чтобы получись верное равенство  ⃰

а)

б)

в)

г)

Ответы к заданиям 1-7.

1

2

3

4

5

6

7

1)

2)

3)

1)

2)

3)

Часть 2

8.Упростите выражениеи найдите его значение при х = – 0,2.

9. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.Бревенчатый сруб дома имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого относятся как 2 : 2 :1.  Найдите площадь пола в срубе, если объем помещения равен 108 м3.

10.Найдите, при каком значении  n верно равенство

УСПЕХОВ!

Вариант 4Часть 1

1. Подберите соответствующее произведение для степени с натуральным показателем:

а)

б)

в)

2. Вычислите

3. Найдите х, если

4. Найдите, при каком значении  k верно равенство

5. Соотнесите каждое выражение с соответствующей ему степенью

а)

б)

в)

6. Выполните возведение в степень выражения

а)

б)

в)

г)

7. Вместо символа  ⃰ подберите такое выражение, чтобы получись верное равенство  ⃰

а)

б)

в)

г)

Ответы к заданиям 1-7.

1

2

3

4

5

6

7

1)

2)

3)

1)

2)

3)

Часть 2

8.Упростите выражениеи найдите его значение при х = 0,25.

9. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.Гараж в авторемонтной мастерской имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого относятся как 4 : 3 :1.  Найдите площадь пола в гараже, если объем помещения равен 324 м3.

10.Найдите, при каком значении  n верно равенство

Цель работы:

проверить сформированность умений по изученной теме.

À	Время, отводимое на выполнение работы: 45 минут.

Содержание и структура:

Проверочныйтест представлен в двух вариантах, которые равноценны
по содержанию и объему работы, направлены на проверку основных навыков преобразования и вычисления значений выражений, содержащих степени.

Каждый вариант содержит 6 заданий, к которым приведены 4 ответа,
из которых только один является верным, остальные составлены с учетом наиболее типичных ошибок.

Инструкция по выполнению:

         1. Вы не можете решить задание.

В этом случае посмотрите решениеи тщательно разберитесь в нем. Недостаточно просто прочесть решениеи понять, что там написано. Решения не очень подробные. Нужно проделать самостоятельно все пропущенные выкладки, не только понять ход решения,но и снять возникающие вопросы «почему так». Когда вы разберетесьв решении, попробуйте повторить его самостоятельно, но не по памяти,а воспроизводя все шаги. Ваш вариант решения будет гораздо большепо объему, поскольку он будет подробнее. Затем решите аналогичное задание варианта 2. Ответы и решения приведены на стр. 42-43.

         2. Вы решили все задания самостоятельно, и ответы совпали.

Этоне означает, что ваше решение не содержит упущений или даже ошибок. Сравните ваше решение с предложенным. Попробуйте определить, какое решение вам нравится больше, разобраться, чем они отличаются, а в чем схожи. И приступайте к выполнению контрольной работы.

3. Не экономьте время на записи промежуточных действий.

Преобразование выражений дело кропотливое, решение «в уме» часто приводит к ошибкам, которые при повторных проверках найти трудно.

УСПЕХОВ!

Вариант 1
1. Найдите значение выражения
а)	б)	в)	г)
2. Упростите выражение
а)	б)	в)	г)
3. Вычислите
а)3	б)9	в)	г)
4. Упростите
а)	б)	в)	г)
5. Вычислите значение выраженияпри
а)	б)	в)	г)
6. Найдите значение выражения  А, если
а)	б)	в)	г)

Задание	1	2	3	4	5	6
Ответ

Вариант 2
1. Найдите значение выражения
а)	б)	в)	г)
2. Упростите выражение
а)	б)	в)	г)
3. Вычислите
а)	б)8	в)	г)
4. Упростите
а)	б)	в)	г)
5. Вычислите значение выраженияпри
а)	б)	в)	г)
6. Найдите значение выражения  В, если
а)	б)	в)	г)

Задание	1	2	3	4	5	6
Ответ

 

Время, отводимое на выполнение работы: 45 минут.

Решения приведены на стр. 44-47.

Вариант 1

1. Упростите выражение:

2. Вычислите  

3. Сравните значения выражений 

------------------------------------------------------------------------------------------

4. Решите задачу. Длина прямоугольника составляет его ширины. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см².

------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Решите уравнение

Вариант 2

1. Упростите выражение:

2. Вычислите  

3. Сравните значения выражений 

------------------------------------------------------------------------------------------

4. Решите задачу. Стороны прямоугольника относятся как 7 : 6, а его площадь равна 168 см². Найдите стороны прямоугольника.

------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Решите уравнение

ОТВЕТЫ Т РЕШЕНИЯ

С-1Определение степени с натуральным показателем

Вариант 1
1			2			3
a)	б)	в)	a)	б)	в)	a)	б)	в)	г)

Вариант 2
1			2			3
a)	б)	в)	a)	б)	в)	a)	б)	в)	г)

Вариант 3
1			2			3
a)	б)	в)	a)	б)	в)	a)	б)	в)	г)

Картина «Устный счет»

С-2     Кросснамбер «Степень с натуральным показателем»

		6		1
	1	8		2	8
1	1				6	0
	2	2		7	7
		1	7	0
	3	6		3	9

С-3      Таблица основных степеней

Вариант 1
1				2
a)	б)	в)	г)
Вариант 2
1				2
a)	б)	в)	г)

Вариант 3
1				2
a)	б)	в)	г)

С-4     Свойства степени с натуральными показателями

Вариант 1
1						2
a)	б)	в)	г)	д)	е)

Вариант2
1						2
a)	б)	в)	г)	д)	е)

Вариант3
1						2
a)	б)	в)	г)	д)	е)

Проверочная работа

Вариант 1Ответы к заданиям 1-7.
1			2	3	4	5			6	7
1)	2)	3)				1)	2)	3)
в	а	б	290			б	а	в	в	б

8. Упростите выражениеи найдите его значение при х = 0,1.

Решение:

Ответ: 0,0081.

9. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования. Коробка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, ширина которого
в 2,5 раза меньше длины и в 4 раза меньше высоты. Найдите размеры коробки, если ее объем равен 270 дм³.

Длина – ? дм

Ширина – ? дм – в 2,5 раза <в 4 раза<

Высота  – ? дм

Решение:

1. Пусть х дм – ширина прямоугольного параллелепипеда, тогда длина – 2,5 дм,
а высота – 4х дм. Составим и решим уравнение:

3 дм – ширина прямоугольного параллелепипеда.

длина прямоугольного параллелепипеда.

высота прямоугольного параллелепипеда.

Ответ:3 дм,  7,5 дм,  12 дм.

10. Найдите, при каком значении  n верно равенство

Решение:

Ответ:

Вариант 2                                                                            Ответы к заданиям 1-7

1			2	3	4	5			6	7
1)	2)	3)				1)	2)	3)
в	б	а	516			б	в	а	а	в

Ответы к заданиям 8-10

8		9			10
	– 400000	6 м – длина	2 м – ширина	4,5 м – высота

Вариант 3                                                                            Ответы к заданиям 1-7

1			2	3	4	5			6	7
1)	2)	3)				1)	2)	3)
б	а	в	180			б	в	а	в	в

Ответы к заданиям 8-10

8		9			10
	1,08	6 м – длина	6 м – ширина	3 м – высота

Вариант 4                                                                            Ответы к заданиям 1-7

1			2	3	4	5			6	7
1)	2)	3)				1)	2)	3)
а	в	б	60			в	а	б	а	в

Ответы к заданиям 8-10

8		9			10
	– 0,5	12 м – длина	9 м – ширина	3 м – высота

Проверочный тест

Вариант 1

Задание	1	2	3	4	5	6
Ответы	б	г	г	в	а	в

1. Найдите значение выражения

Решение:

Ответ:

2. Упростите выражение

Решение:

Ответ:

3. Вычислите

Решение:

Ответ:

4. Упростите

Решение:

Ответ:

5. Вычислите значение выраженияпри

Решение:

Ответ:

6. Найдите значение выражения  А, если

Решение:

Ответ:

Вариант 2

Задание	1	2	3	4	5	6
Ответ	в	а	г	а	б	а

Контрольная работа

Вариант 1

1. Упростите выражение:

Решение:

Ответ:

2. Вычислите  

Решение:

Ответ:216.

3. Сравните значения выражений

Решение:

Ответ:

4. Решите задачу.Длина прямоугольника составляет  его ширины. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см².

Решение:

1. Пусть х–одна сторона прямоугольника, тогда другая сторона – х, а его площадь –

–12 не подходит по смыслу задачи, значит, одна сторона прямоугольника –
12 см.

2. см– вторая сторона прямоугольника.

Ответ: 12 см, 10 см.

5. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Вариант 2

1. Упростите выражение:

Решение:

Ответ:

2. Вычислите  

Решение:

Ответ:225.

3. Сравните значения выражений

Решение:

Ответ:

4. Решите задачу. Стороны прямоугольника относятся как 7 : 6, а его площадь равна 168 см². Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

1. Пусть одна часть – х, тогда стороны прямоугольника – 7х и 6х, а его площадь 7х ∙ 6х = 168.

– 2 не подходит по смыслу задачи, значит, на одну часть приходится 2.

2. 7х = 7 ∙ 2 = 14 (см) – одна сторона прямоугольника.

    6х = 6 ∙ 2 = 12 (см) – вторая сторона прямоугольника.

Ответ: 14 см, 12 см.

5. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Для серьезного размышления

Имена многих авторов изречений вам хорошо известны,

но мы думаем, что встретятся и новые для вас имена.

Страх перед возможностью ошибки не должен отвращать нас от поисков истины.

Клод Адриан Гельвеций (1715-1771),

французский философ-материалист

Человек лишь там чего-то добивается, где он верит в свои силы.

Людвиг Андреас Фейербах (1804-1872),

немецкий философ-материалист

Сами по себе правила не научат вас тому, что надо делать, но зато они указывают на то, чего следует избегать.

Э. Кондильяк

В любой науке, в любом искусстве лучший учитель – опыт.

Мигель Сервантес (1547-1616),

испанский писатель

Лучше понять немного, чем понять неверно.

Анатоль Франс (псевдоним),

настоящее имя – Анатоль Франсуа Тибо (1844-1924),

французский писатель

Глубина ума человека более выказывает себя в вопросах, чем в ответах.

Сергей Лысак

Уверенность рождается от сомнения – более того, сомнение ведет
к уверенности.

Морис Мерло-Понти

Как приятно знать, что ты что-то узнал.

Мольер (Жан Батист Поклен) (1622-1673),

французский драматург, актер, театральный деятель

Делай, что можешь, с тем, что имеешь, там, где ты есть.

Теодор Рузвельт

Если ты задаешь вопрос, значит, ты уже знаешь половину ответа.

Стас Янковский

Самое высшее наслаждение – сделать то, чего, по мнению других,
вы не можете сделать.

Бэджот Уолтер (1826-1877),

английский экономист и публицист

Не в количестве знаний заключается образование, а в полном понимании
и искусном применении всего того, что знаешь.

Фридрих Адольф Вильгельм Дистервег (1790-1866),

немецкий педагог-демократ

Память сохраняет только то, что вы сами даете ей на сохранение.

Д. Писарев

Знания бывают двоякого рода: либо мы что-нибудь знаем, либо мы знаем, где найти сведения об этом.

Самюэл Джонсон

Опыт – это такая удивительная вещь, которая позволяет тебе распознавать ошибку, когда ты ее опять делаешь.

Франклин П. Джонс,

американский писатель

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ

1. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 15-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2011.

2. Алгебра. 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений / Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича. – 3-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.

3. Алгебра. 7 класс. Контрольные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича. – 4-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2011.

4. Алгебра. 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений / Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2011.

5. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий / П.И. Алтынов,
Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. – М.: Дрофа, 2005. 

6. Учебно-методическая газета «Математика». – М.: Издательский дом «Первое сентября», 2005, № 18.

7. Увлечь школьников математикой: материал для классных и внеклассных занятий / Б.А. Кордемский. – М.: Просвещение, 1981.

8. Занимательная алгебра / Я.И. Перельман; под редакцией и с дополнениями В.Г. Болтянского – 13-е изд., стер. – М.: Наука, 1978.

Это не только перечень книг, но и
своеобразный путеводитель по удивительному миру степеней,

в который мы хотим пригласить семиклассников.

И если кому-то захочется заглянуть в этот мир самостоятельно, мы будем очень рады.