Учебно - планирующая документация по учебной дисциплине "Математика", технический профиль, ППССЗ, 2 курс.

№ заня-тия	Календ. сроки изучения темы (неделя)	Наименование разделов, тем, занятий	Кол-во часов	Вид занятий	Наглядные пособия	Задания для самостоятель-ной работы студентов	Приме-чание
Математический анализ
1-2	1	Функции одной переменной.	2	Лекция	Презентация к уроку
3-4	2	ПР № 1 Элементарные функции и их свойства.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
5-6	3	Предел числовой последовательности. Предел функции.	2	Лекция	Презентация к уроку
7-8	4	ПР №2 Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
9-10	5	Непрерывность функции.	2	Лекция	Презентация к уроку
11-12	6	ПР №3 Исследование функции на непрерывность.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
13-14	7	Производная функции.	2	Лекция	Презентация к уроку
15-16	8	ПР №4 Вычисление производных элементарных функций.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
17-18	9	Исследование функции методами дифференциального исчисления.	2	Лекция	Презентация к уроку
19-20	10	ПР №5 Исследование функции средствами дифференциального исчисления.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
21-22	11	ПР №6 Исследование функции и построение её графика.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
23-24	12	Интеграл. Понятие определенного интеграла и его свойства.	2	Лекция	Презентация к уроку
25-26	13	ПР №7 Вычисление неопределённых интегралов.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
27-28	14	ПР №8 Вычисление определенных интегралов.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
29-30	15	Геометрические приложения определённого интеграла.	2	Лекция	Презентация к уроку
31-32	16	ПР №9 Приложение определенных интегралов.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
33-34	17	Дифференциальные уравнения.	2	Лекция	Презентация к уроку
35-36	18	ПР №10 Решение дифференциальных уравнений.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
37-38	19	Числовые ряды.	2	Лекция	Презентация к уроку
39-40	20	ПР №11 Решение задач на сходимость рядов.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
Основы дискретной математики
41-42	21	Множества и операции над ними.	2	Лекция	Презентация к уроку
43-44	22	ПР №12 Множества и отношения.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
45-46	23	Элементы математической логики.	2	Лекция	Презентация к уроку
47-48	24	ПР №13 Элементы математической логики.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
Основы теории вероятностей
49-50	25	Определение вероятности случайного события.	2	Лекция	Презентация к уроку
51-52	26	ПР №14 Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
Линейная алгебра
53-54	27	Определители 2 и 3 порядков.	2	Лекция	Презентация к уроку
55-56	28	ПР №15 Вычисление определителей 2 и 3 порядков	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
57-58	29	Матрицы и действия над ними.	2	Лекция	Презентация к уроку
59-60	30	ПР №16 Действия над матрицами.	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
61-62	31	Решение систем линейных уравнений.	2	Лекция	Презентация к уроку
63-64	32	ПР №17 Решение систем линейных уравнений с 3 неизвестными	2	Практическое занятие	Методические рекомендации по выполнению ПР	Выполнение сам. практ. работы по данной теме
65-66		Зачёт	2	Зачётное занятие
		ИТОГО:	66ч.

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

Мурманской области

«Мурманский индустриальный колледж»

Методические рекомендации

к выполнению практических работ

по дисциплине «Математика»

предназначены для студентов по специальности:

13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования.

г.Мурманск

2015г.

Рассмотрено

на заседании МК преподавателей общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___ о т _____ 20___г. Руководитель МК

________________О.И Парфёнова

Составлены в соответствии с рабочим учебным планом и рабочей программой учебной дисциплины «Математика» для подготовки по специальностям: 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования.

Составитель: А.К. Петухова, преподаватель информатики ГАПОУ МО «Мурманский индустриальный колледж»

Рецензенты:

Внутренний рецензент – Лукьянчук Виктория Васильевна, преподаватель математики ГАОУ МО СПО «Мурманский индустриальный колледж».

Внешний рецензент - Лисина Майя Витальевна, преподаватель математики ГАОУ МО СПО «МСК им. Н.Е. Момота».

Содержание

1. Пояснительная записка………………………………………………………………………

3

2.Тематический план……………………………………………………………………………….

4

3.Перечень практических занятий ……………………………………………………………………

8

4.Практические работы:

Практическая работа №1 «Элементарные функции и их свойства»…………………………………

9

Практическая работа №2 «Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции»…………………………………………………………………………………………...

11

Практическая работа №3 «Исследование функции на непрерывность»……………………………..

15

Практическая работа №4 «Вычисление производных элементарных функций»…………………...

18

Практическая работа №5 «Исследование функции средствами дифференциального исчисления».

21

Практическая работа №6 «Исследование функции и построение её графика»……………………..

25

Практическая работа №7 «Вычисление неопределённых интегралов»……………………….

29

Практическая работа №8 «Вычисление определенных интегралов»………………………....

32

Практическая работа №9 «Приложение определенных интегралов»…………………………

36

Практическая работа №10 «Решение дифференциальных уравнений»……………………….

38

Практическая работа №11 «Решение задач на сходимость рядов»…………………………....

41

Практическая работа №12 «Множества и отношения»………………………………………...

45

Практическая работа №13 «Элементы математической логики»……………………………..

48

Практическая работа №14 «Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку»………………………………………………………………………………..

52

Практическая работа №15 «Решение задач на применение теорем суммы и произведения событий»…………………………………………………………………………………………….

55

Практическая работа №16 «Вычисление определителей 2 и 3 порядков»……………………

59

Практическая работа №17 «Действия над матрицами»………………………………………...

63

Практическая работа №18 «Решение систем линейных уравнений с 3 неизвестными»……..

67

Практическая работа №19 «Действия с комплексными числами»…………………………….

69

5.Перечень учебно - методического, информационного обеспечения и технических средств обучения……………………………………………………………………………….

75

1. Пояснительная записка

Методические рекомендации к выполнению практических и лабораторных работ студентов по дисциплине «Математика» предназначены для студентов по специальности: 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования.

Целыо проведения практических работ является закрепление теоретических знаний и приобретения необходимых практических навыков и умений по отдельным темам курса. Наряду с формированием умений и навыков в процессе практических занятий, обобщаются, систематизируются, углубляются и конкретизируются теоретические знания, вырабатывается способность и готовность использовать теоретические знания на практике, развиваются интеллектуальные умения. В результате изучения обязательной части цикла студент должен:

Уметь:

• Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

• Выполнять действия над комплексными числами;

• Решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

• Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений.

Знать:

• Основные математические методы решения прикладных задач;

• Основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

• Основы интегрального и дифференциального исчисления;

• Роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

Результатом освоения программы учебной дисциплины «Математика» является овладение студентами общими компетенциями, включающими в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Перед проведением практических занятий студенты обязаны проработать соответствующий материал, уяснить цель занятия, ознакомиться с содержанием и последовательностью его выполнения, а преподаватель проверить их знания и готовность к выполнению задания.

Работу на практическом занятии студенты выполняют в тетради. После каждого практического занятия проводится защита выполненной работы. Студент должен: знать теорию по данной теме, проанализировать полученные результаты, объяснить тот или иной этап практической работы.

2. Тематический план

Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные работы и практические занятия, самостоятельная работа обучающихся

Объем часов

Уровень освоения

Тема 1. Матема-тический

анализ

42

1. Функции одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции. Графики элементарных функций. Свойства функции.

2

3

ПР № 1 Элементарные функции и их свойства.

2

3

2. Предел числовой последовательности. Предел функции. Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о конечных пределах. Понятие предела функции. Первый и второй замечательные пределы.

2

2

ПР №2 Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции.

2

3

3. Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

2

2

ПР №3 Исследование функции на непрерывность.

2

3

4. Производная функции. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.

2

2

ПР №4 Вычисление производных элементарных функций.

2

3

5. Исследование функции методами дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

2

2

ПР №5 Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

2

3

ПР №6 Исследование функции и построение её графика.

2

3

6. Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределённых интегралов. Примеры вычисления неопределенных интегралов.

2

2

ПР №7 Вычисление неопределённых интегралов.

2

3

7. Понятие определенного интеграла и его свойства. Задачи, приводящие к понятию, понятие определенного интеграла и его свойств. Формула Ньютона-Лейбница, вычисление определенных интегралов.

2

2

ПР №8 Вычисление определенных интегралов.

2

3

8. Геометрические приложения определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объёмов тел вращения.

2

2

ПР №9 Приложение определенных интегралов.

2

3

9. Дифференциальные уравнения. Понятие о дифференциальном уравнении. Простейшие дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

2

2

ПР №10 Решение дифференциальных уравнений.

2

3

10.Числовые ряды. Понятие ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

2

2

ПР №11 Решение задач на сходимость рядов.

2

3

Самостоятельная работа: выполнение домашних заданий по теме 1.

20

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Элементарные функции и их графики.

Функции в экономике.

Производственные функции

Первый и второй замечательный предел.

Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.

Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям.

Производные высших порядков.

Решение прикладных задач, использующих понятие экстремума.

Эластичность функции как один из примеров использования понятия производной при решении прикладных задач.

Геометрические приложения определённого интеграла.

Тема 2.

Основы дискретной математики

8

11. Множества и операции над ними. Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Основные тождества алгебры множеств. Разбиение множества на классы.

2

2

ПР №12 Множества и отношения.

2

3

12. Элементы математической логики. Понятие элементарных высказываний. Логические операции над высказываниями. Формулы алгебры логики.

2

2

ПР №13 Элементы математической логики. Понятие элементарных высказываний. Логические операции над высказываниями. Формулы алгебры логики

2

3

Самостоятельная работа: выполнение домашних заданий по теме 2.

4

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Диаграммы Эйлера-Венна при решении задач.

Решение логических задач с использованием таблиц истинности

Тема 3.

Основы теории вероятностей.

8

13. Определение вероятности случайного события. Понятие события. Достоверное, невозможное, случайное событие. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности события. Общие правила комбинаторики. Выборки элементов. Свойства числовых сочетаний

2

2

ПР №14 Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку.

2

3

14. Сумма и произведение событий. Сумма и произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместимых событий. Формула полной вероятности.

2

2

ПР №15 Решение задач на применение теорем суммы и произведения событий.

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

8

Классическое и статистическое определение вероятности.

Сумма и произведение событий.

Формула Бейеса.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Тема 4. Линейная алгебра

12

15. Определители 2 и 3 порядков. Понятие определителя 2 и 3 порядков. Свойства определителей. Правило треугольника. Ранг определителя. Алгебраическое дополнение.

2

2

ПР №16 Вычисление определителей 2 и 3 порядков

2

3

16. Матрицы и действия над ними. Понятие прямоугольной матрицы. Квадратная матрица. Действия над матрицами. Обратная матрица. Транспонированная и союзная матрица.

2

2

ПР №17 Действия над матрицами.

2

3

17. Решение систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, Крамера.

2

2

ПР №18 Решение систем линейных уравнений с 3 неизвестными.

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

2

Геометрический метод решения систем линейных уравнений и неравенств

18.Комплексные числа. Определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

2

2

ПР №19 Действия с комплексными числами

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Тригонометрическая форма комплексного числа.

2

19. Зачёт.

2

3

ИТОГО

112ч.

3. Перечень практических занятий

№ п/п темы

Наименование темы

Наименование практической/лабораторной работы

Кол-во часов

1

Математический

анализ

ПР № 1 Элементарные функции и их свойства.

2

ПР №2 Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции.

2

ПР №3 Исследование функции на непрерывность.

2

ПР №4 Вычисление производных элементарных функций.

2

ПР №5 Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

2

ПР №6 Исследование функции и построение её графика.

2

ПР №7 Вычисление неопределённых интегралов.

2

ПР №8 Вычисление определенных интегралов.

2

ПР №9 Приложение определенных интегралов.

2

ПР №10 Решение дифференциальных уравнений.

2

ПР №11 Решение задач на сходимость рядов.

2

2

Основы дискретной математики

ПР №12 Множества и отношения.

2

ПР №13 Элементы математической логики.

2

3

Основы теории вероятностей

ПР №14 Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку.

2

ПР №15 Решение задач на применение теорем суммы и произведения событий.

2

4

Линейная алгебра

ПР №16 Вычисление определителей 2 и 3 порядков

2

ПР №17 Действия над матрицами.

2

ПР №18 Решение систем линейных уравнений с 3 неизвестными.

2

ПР №19 Действия с комплексными числами

2

ИТОГО:

38ч.

4. Практические работы

Практическая работа №1

Элементарные функции и их свойства

Цель работы: Закрепить умения определять свойства функции по её графику, строить график функции если известны свойства.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 4-11, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: самостоятельная работа.

Справочный материал

Схема исследования функции:

1. Область определения и область значения функции.

Область определения функции - множество допустимых значений переменной х,

Область значения функции - множество допустимых значений переменной у.

2.Чётность, периодичность функции.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (Оу). Например:

График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Например:

3.Точки пересечения с осями координат.

4.Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства – промежутки в которых функция принимает положительные и отрицательные значения.

5.Промежутки возрастания и убывания функции.

6.Точки экстремума.

Точки экстремума - точки максимума и минимума функции.

7.Наибльшее и наименьшее значение функции.

Порядок работы:

Задание 1. Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком.

Решение:

Задание 2. Постройте график функции f, если известны её свойства:

1)Область определения функции [-6;6], область значения функции [-2;5]

2)Точки пересечения с осью Ох: А(-4;0), В(-2;0).Точка пересечения с осью Оу: С(0;2,5)

3)Промежутки знакопостоянства: f(x)>0 на интервалах [-6;-4) и (-2;6]

f(x)<0 на интервале (-4;-2)

4) Функция возрастает на интервалах [-3;1] и [4;6]

Функция убывает на интервалах [-6;-3] и [1;4]

5) Точка максимума (1;3), Точки минимума (-3;-2), (4;1)

6)Дополнительные точки графика (-6;3), (6;5)

Решение:

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1. Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком.

Задание 2. Постройте график функции f, если известны её свойства:

1)Область определения функции [-4;4], область значения функции [-3;6]

2)Точки пересечения с осью Ох: А(-4;0), В(-1;0).Точка пересечения с осью Оу: С(0;-2,5)

3)Промежутки знакопостоянства: f(x)>0 на интервалах (-4;-1) и (2,5;4)

f(x)<0 на интервале (-1;2,5)

4) Функция возрастает на интервалах [-4;-2] и [1;4]

Функция убывает на интервалах [-2;1]

5) Точка максимума (-2;2), Точки минимума (1;-3)

6)Дополнительные точки графика (4;6)

Задание 3.Проведите по общей схеме исследование функции и постройте график

у=х²-3х+2

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение функции одной переменной.

2. Перечислите способы задания функции.

3. Перечислите свойства функции.

4. Какие элементарные функции вы знаете?

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»-верное выполнение заданий 2 и 3 части самостоятельно

«4»-верное выполнение заданий 1 и 2 части самостоятельно.

«3»- выполнение заданий 1 или 2.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013-416с.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №2

Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции.

Цель работы: Закрепить умения вычислять пределы числовой последовательности, предела функции, используя теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших, теоремы о конечных пределах и правила раскрытия неопределённостей вида ,

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 44-48, 52-53, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: фронтальная.

Справочный материал

Определение: Функцию y = f(x), x Î N называют числовой последовательностью

y1,  y2, …, yn… - члены числовой последовательности

Примеры числовых последовательностей: 1,  2,  3,  4,  5, … –  ряд натуральных чисел;

2,  4,  6,  8,  10, … – ряд чётных чисел.

Способы задания последовательностей:

1. Перечислением членов последовательности.

2. Заданием аналитической формулы.

Пример: 1, 3, 5, 7, 9, 2n-1, … - возрастающая последовательность.

Пример: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/(2n–1), … - убывающая последовательность.

Число а называется пределом числовой последовательности {у_n}:

Если , то называют бесконечно малой величиной (бм)

Если , то называют бесконечно большой величиной (бб)

Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях

Свойства пределов:

Если ,то

1) предел суммы равен сумме пределов:

2) предел произведения равен произведению пределов:

3) предел частного равен частному пределов:

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Порядок работы:

Задание 1. Вычислите пределы числовых последовательностей:

Решение

Решение

Решение

Решение

Задание 2.Вычислите пределы функций, используя правила предельного перехода

Решение

Решение

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1. Вычислите пределы числовых последовательностей:

Задание 2. Вычислите пределы функций, используя правила предельного перехода

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение числовой последовательности. Примеры

2. Способы задания числовой последовательности.

3. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей)?

4. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.

5) Правила раскрытия неопределённостей вида ,

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий

Критерии оценки:,

«5»-верное выполнение всех заданий части самостоятельно.

«4»-верное выполнение любых 6-ти примеров части самостоятельно.

«3»- выполнение любых 4-х примеров части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Богомолов Н.В. Математика : учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №3

Исследование функции на непрерывность

Цель работы: Развивать и совершенствовать умение определять непрерывность функции, находить точки разрыва функции, закрепить навык вычисления пределов

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр.62-71, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: фронтальная.

Справочный материал

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в т.х₀ если:

1)существует значение функции в точке f(x₀)

2)существует конечный предел в точке х₀

3)предел равен значению функции в точке х₀

Определение: Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна во всех точках этого промежутка.

Функция непрерывна на всей области определения

Функция не является непрерывной в т. 0

Определение: Если в какой-либо точке х0 функция у = f(x) не является непрерывной, то точка х₀ называется точкой разрыва этой функции, а функция у = f(x) называется разрывной в этой точке.

Точки разрыва 1 рода

Точка х=1 точка устранимого разрыва

А₁=А₂=1

Скачок

=1

=-1

Точки разрыва 2 рода

Порядок работы:

Задание 1. Исходя из определения непрерывной функции, докажите непрерывность данных функций в указанных точках

а) у=х²+3 в точке х=-2

Решение:

y(-2)=(-2)²+3=7

, функция непрерывна в точке х=-2

б) у=в точке х=2

Решение:

у(2)==1

, функция непрерывна в точке х=2

Задание 2. Исследуйте функции на непрерывность. Найдите точки разрыва и определите их тип.

а)у=

решение

Функция неопределенна в точке х=2, следовательно функция в этой точке не является непрерывной и терпит разрыв. Построим график функции:

Найдём односторонние пределы в точке х=2:

, т.к. односторонние пределы конечны и равны, то точка х=2 точка разрыва 1 рода (точка устранимого разрыва)

б)у=

решение

Построим график функции:

Функция определена в точке х=1. Найдём односторонние пределы в точке х=1:

т.к. односторонние пределы конечны, но не равны, то точка х=1 точка разрыва 1 рода (скачок)

в) у=

решение

Функция неопределенна в точке х=-1, следовательно функция в этой точке не является непрерывной и терпит разрыв. Построим график функции:

Найдём односторонние пределы в точке х=-1:

т.к. нет ни одного конечного предела, то точка х=-1 точка разрыва 2 рода.

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Исходя из определения непрерывной функции, докажите непрерывность данных функций в указанных точках

а) у=2х²+1 в точке х=1

б) у=в точке х=-1

Задание 2. Исследуйте функции на непрерывность. Найдите точки разрыва и определите их тип.

а)у=

б)у=

в) у=

Контрольные вопросы:

1. Понятие непрерывности функции в точке.

2. Непрерывность функции на промежутке.

3. Типы точек разрыва функции. Примеры.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»-верное выполнение всех заданий части самостоятельно.

«4»-верное выполнение любых 4-х примеров части самостоятельно.

«3»- выполнение любых 3-х примеров части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №4

Вычисление производных элементарных функций

Цель работы: Закрепить умения находить производные функций, используя формулы дифференцирования.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 72-76, 79-88, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения:

Справочный материал

Механический смысл производной:

Геометрический смысл производной:

Уравнение касательной:

Таблица производных

Порядок работы:

Задание 1.

На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение:

Задание 2.

Найти производные следующих функций:

1) у=2х²-5х+4

2) у=3х+

3) у=

4) у=3+5tgx-sinx

5) y=

6) y=(3x-2)(2-x²)

7)

8) y=3e^x-3

9) y=2^x+4x³

10) y= x*Lnx

11)y=2log₂X

Решение:

Задание 3.

Найти Tg угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М(-2;8) графика функции f(x)=

Решение:

Ответ:-5

Задание 4.

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=2x-x² в точке с абсциссой Х₀=2.

Решение:

Задание 5.

Найдите производную сложной функции:

1) y=(2x-7)⁸

2) y=

Решение:

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1.

На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой .

Найдите значение производной функции в точке .

Задание 2. Найти производные следующих функций:

1) у=3х²+2х-7

2) у=8х+

3) у=

4) у=5+tgx-4sinx

5) y=

6) y=(4x-1)(6-x²)

7)

8) y=4e^x-5

9) y=4^x+2x³

10) y= x*Lnx

11)y=3log₂X

Задание 3. Найти Tg угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через точку М(1;3) графика функции f(x)=

Задание 4. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=х³-1 в точке с абсциссой Х₀=-1.

Задание 5. Найдите производную сложной функции:

1) y=(9x+4)⁴

2) y=

Контрольные вопросы:

1. В чём заключается механический смысл производной?

2. В чём заключается геометрический смысл производной?

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №5

Исследование функции средствами дифференциального исчисления

Цель работы: Закрепить умения исследовать функции на возрастание (убывание), выпуклость (вогнутость), точки экстремума, точки перегиба графика функции, наибольшее и наименьшее значение функции методами дифференциального исчисления.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 99-104, 108, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: фронтальная

Справочный материал

Признак возрастания и убывания функции

• Если f ‘(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

• Если f ‘(х) <0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Определение: Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Признак максимума и минимума функции

• Если в точке Х₀ производная меняет знак с – на +, то т.Х₀-т.минимума

• Если в точке Х₀ производная меняет знак с + на -, то т.Х₀-т.миксимума

Необходимое условие экстремума

Если точка Х₀ является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f, то она равна нулю: f ‘(Х₀) = О.

Выпуклость и вогнутость функции,, точки перегиба

• Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  любой её касательной.

• Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит выше   любой её касательной.

Определение: Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. 

Достаточное условие вогнутости (выпуклости) функции

Если во всех точках интервала ( a, b ):

• f '' ( x ) > 0 , то график функции на ( a, b ) является вогнутым;

• f '' ( x ) < 0 , то график функции на ( a, b ) является выпуклым;

Порядок работы:

Задание 1.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции, токи экстремума:

у=-х³+х²+8х

Решение:

Задание 2. Функция у=f(x) задана своим графиком. Укажите:

а) промежутки, на которых f’(x)>0

б) промежутки, на которых f’(x)<0

в) точки, где f’(x)=0

г) точки, где f’(x) не существует

Решение:

Задание 3.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=-х³-3х²+9х-2 на отрезке [-2;2]

Решение:

Задание 4.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

f(x)=3x⁴-4x³+2

Решение:

Задание 5.

Определите вертикальные асимптоты для следующих функций:

а) б)

Решение:

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1.

Найдите промежутки возрастания и убывания функции, токи экстремума:

У=-3х³+6х²-5х

Задание 2.

Функция у=f(x) задана своим графиком. Укажите:

а) промежутки, на которых f’(x)>0

б) промежутки, на которых f’(x)<0

в) точки, где f’(x)=0

г) точки, где f’(x) не существует

Задание 3.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у=2х³+3х²-12х-1 на отрезке [-1;2]

Задание 4.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции f(x)=2x³-0,5x⁴-8

Задание 5.

Определите вертикальные асимптоты для следующих функций:

а) б)

Контрольные вопросы:

1.Какие точки называют критическими точками.

2.Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.

3. Сформулируйте признак максимума и минимума функции.

4. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции.

5. Какая асимптота называется вертикальной, наклонной?

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно

«4»- верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно

«3»- выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №6

Исследование функции и построение её графика

Цель работы: Закрепить умения строить графики функций по результатам исследования функции на возрастание (убывание), выпуклость (вогнутость), точки экстремума, точки перегиба графика функции, наибольшее и наименьшее значение функции методами дифференциального исчисления.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 114-115, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Общая схема исследования функции

Порядок работы:

Вариант 1

Задание 1. Исследовать с помощью производной и построить график функции

у=2х³+3х²-5

Решение

Задание 2. Исследовать с помощью производной и построить график функции

Решение

Задание для самостоятельного выполнения

Задание 1. Исследовать с помощью производной и построить график функции

у=х³+6х²+9х+4

Задание 2. Исследовать с помощью производной и построить график функции

Контрольные вопросы:

1.Какие точки называют критическими точками.

2.Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.

3. Сформулируйте признак максимума и минимума функции.

4. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции.

5. Какая асимптота называется вертикальной, наклонной?

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение задания 3, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение задания 2, ответы на вопрсы.

«3»- верное выполнение задания 1.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №7

Вычисление неопределённых интегралов

Цель работы: Закрепить умения вычислять неопределённые интегралы, используя таблицу простейших неопределённых интегралов

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 123-128, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Порядок работы:

Задание Вычислите интегралы следующих функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

Решение:

Задание для самостоятельного выполнения

Задание: Вычислите интегралы следующих функций

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

Контрольные вопросы:

1.В чём заключается задача интегрального исчисления?

2.Понятие первообразной функции.

3. Понятие неопределённого интеграла.

4. Свойства неопределённых интегралов.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех примеров, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 21 примеров, ответы на вопросы

«3»- верное выполнение любых 14 примеров.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Подольский В.А.Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. Академия 2004

Практическая работа №8

Вычисление определённых интегралов

Цель работы: Закрепить умения вычислять определённые интегралы, используя таблицу простейших интегралов, формулу Ньютона-Лейбница, метод подстановки и формулу интегрирования по частям.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 143-149, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Нижний предел интегрирования  обозначается буквой .
Верхний предел интегрирования  обозначается буквой .
Отрезок  называется отрезком интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла– вычисление площади криволинейной трапеции.

Как решить определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница:

Этапы решения определенного интеграла:

1) Сначала находим первообразную функцию F(x) (неопределенный интеграл, константа C в определенном интеграле никогда не добавляется).

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(a).

4) Рассчитываем разность F(b)-F(a), то есть, находим число.

Свойства определённого интеграла:

В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:

Порядок работы:

Задание: Вычислить определенныe интегралы:

1)

Решение:

2)

Решение:

3)
Решение:

4)

Решение: Для решения используем табличный интеграл и замену

5)

Решение: Интегрируем по частям:

Задание для самостоятельного выполнения: Вычислить определенныe интегралы:

1)

2)

3)

4)

5) (использовать замену переменной t=cos x)

6) (использовать интегрирование по частям)

Контрольные вопросы:

1.В чём заключается геометрический смысл определённого интеграла.

2.Формула Ньютона-Лейбница, алгоритм решения определённого интеграла.

3. Алгоритм решения определённого интеграла методом замены переменной.

4. Алгоритм решения определённого интеграла методом интегрирования по частям.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 5-ти заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение заданий 1-4 части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование), Москва 2013г.

Практическая работа №9

Приложение определённого интеграла

Цель работы: Закрепить умения применять определённые интегралы для вычисления плоских фигур и объёмов тел вращения.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 151-159, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Геометрический смысл определенного интеграла– вычисление площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции , осью  и прямыми , :

Формулы Ньютона-Лейбница:

Алгоритм вычисления площади плоской фигуры:

1. Построить чертёж

2. Определить подынтегральную функцию и пределы интегрирования.

3. Вычислить площадь используя формулу Ньютона-Лейбница.

Вычисление объёма тела вращения:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной

кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми , вычисляется по формуле

.

Порядок работы:

Задание 1:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение

у=х²+2 – квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вверх.

Ответ: 

2) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение

у=2х-х² – квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вниз.

Искомая фигура ограничена параболой у=2х-х² сверху и прямой 

у=-х снизу.

В рассматриваемом примере на отрезке [0;3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из  2х-х²  необходимо вычесть -х

Ответ: 

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  , .

Решение:

1) На отрезке  над осью  расположен график прямой ;

2) На отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Пощади нужно приплюсовать, поэтому:

Ответ: 

Задание для самостоятельного выполнения

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²+1, y=0, x=-1, x=2

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x², y=x-2

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4, у=х, x=4 и осью OX.

4) Найти объём тела, образованного вращением окружности x²+y²=4 вокруг оси Ох.

5) Фигура ограниченная линиями y²=4х, х=0, у=0, х=4 вращается вокруг оси Ох. Найдите объём полученного тела.

Контрольные вопросы:

1.В чём заключается геометрический смысл определённого интеграла.

2.Формула вычисления площади криволинейной трапеции.

3.Алгоритм вычисления площади плоской фигуры.

4. Алгоритм вычисление объёма тела вращения:

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 3 заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование), Москва 2013г.

Практическая работа №10

Решение дифференциальных уравнений

Цель работы: Закрепить умения решать простейшие дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 206-209, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

1) Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка:

-Уравнения с разделёнными переменными: f(x)dx + g(y)dy = 0

Метод решения: интегрирование:

-Уравнения с разделяющимися переменными:

Метод решения: разделение переменных, интегрирование

Записываем уравнение в форме: , разделяем переменные

затем интегрируем

2) Простейшие дифференциальные уравнения 2-го порядка:

Метод решения: повторное интегрирование.

Порядок работы:

Задание: 1) Найти общее решение дифференциального уравнения у^/(х)- 4х³=0

Решение: интегрируем у(х)= , -общее решение Ответ: у(х)=х⁴+С

2) Решить дифференциальное уравнение 

Решение: заменяем производную в виде:

Разделяем переменные и интегрируем

, (используем свойство суммы логарифмов )

у=Сх- общее решение Ответ: у=Сх

3) Решить дифференциальное уравнение 

Решение: заменяем производную в виде:

, разделяем переменные
, интегрируем обе части:

Интеграл левой и правой части находим методом подведения функции под знак дифференциала,

(Используем свойства логарифма  )

Ответ: общий интеграл: 

4)Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение:  Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции (2х) под знак дифференциала:

используем:( )

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо х подставляем ноль, а вместо у натуральный логарифм 2:
Подставляем найденное значение константы  в общее решение.

Ответ: частное решение: 

5) Найти общее решение дифференциального уравнения 

Решение:  Понижаем степень уравнения до первого порядка:

Или  , где  – константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

Ответ: общее решение: 

6) Решить дифференциальное уравнение 

 Решение: Преобразуем уравнение: 
Данное ДУ имеет вид . Дважды интегрируем правую часть:


Ответ: общее решение: 

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание

1) Найти общее решение дифференциального уравнения у^/(х)- 5х⁴=0

2) Решить дифференциальное уравнение xy^/=2y

3) Решить дифференциальное уравнение y^/-(3y+1)tgx=0 

4) Найти частное решение дифференциального уравнения  , удовлетворяющее начальному условию у(0)=ln3 

5) Найти общее решение дифференциального уравнения  y^//=х³-3х

6) Решить дифференциальное уравнение y^//-cos2x=x²

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.

2. Что называют общим и частным решением дифференциального уравнения.

3. Методы решения простейших дифференциальных уравнений.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение любых 5-ти заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование), Москва 2013г.

Практическая работа №11

Решение задач на сходимость рядов

Цель работы: Закрепить умения и навыки исследовать числовые ряды на сходимость.

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 161-168, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: .
– математический значок суммы;  – общий член ряда; – переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с любого натурального числа.

Любой ряд можно расписать развёрнуто: 

Сходимость числовых положительных рядов Необходимый признак сходимости ряда

Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость. 1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: . Например: .

2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Например: .

В подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда затруднительно, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Необходимый признак сходимости ряда

Если , то ряд расходится. Если , то ряд сходится.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов

Признак Даламбера: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. 

Признак используется в тех случаях, когда в общий член входит показательная функция.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а)При  ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При  ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При  признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак

Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени,

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Порядок работы:

Задание1: Записать первые три члена ряда: а) б)

Решение: а) б)

Задание 2: Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
а) б)
Решение: а)
б) 

Задание 3: Используя необходимый признак сходимости ряда, исследовать ряд на сходимость:  

Решение:

Исследуемый ряд расходится.

Задание 4: Используя достаточный признак Даланбера, исследовать ряд на сходимость

Решение

Иисследуемый ряд сходится.

Задание 5: Используя радикальный признак Коши, исследовать ряд на сходимость

Решение

Исследуемый ряд расходится.
Задание 6: Используя интегральный признак Коши, исследовать ряд на сходимость

Решение

Исследуемый ряд расходится

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1: Записать первые три члена ряда.

а) б)

Задание 2: Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда
а) б)

Задание 3: Используя необходимый признак сходимости ряда, исследовать ряд на сходимость 

Задание 4: Используя достаточный признак Даланбера, исследовать ряд на сходимость

Задание 5: Используя радикальный признак Коши, исследовать ряд на сходимость

Задание 6: Используя интегральный признак Коши, исследовать ряд на сходимость

Контрольные вопросы:

1.Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда.

2. Необходимый признак сходимости числового ряда.

3. Достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 5-ти заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №12

Множества и отношения

Цель работы: Закрепить умения и навыки решения задач с использованием кругов Эйлера

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 227-235, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Множество-совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Способы задания множеств:

Примеры множеств:

-множество студентов в группе;

-множество четырёхугольников (квадрат, ромб…)

-множество чётных чисел (2,4,6,8….)

Обозначения некоторых числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Виды множеств:

1) Равные (Пр: А = {3; 9; 12} и В = {13; 12; 9}.

2) Конечные (Пр: Множество дней в году)

3) Бесконечные (Пр. Множество действительных чисел

4) Пустые (Пр. Множество детей до 5 лет в 5 классе)

Операции над множествами:

1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В. Пересечение множеств А и В обозначают так: А∩В.

2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначают так: АUВ.

3) Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В. Разность А и В обозначают так: А\ В.

4) Дополнение множества А обозначают так: Ā. Дополнение множества до множества К: Ā = К\А.

Например, если А = {3; 6; 9; 12} и К = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, то Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}.

Порядок работы:

Задание1: Даны два множества. Найти пересечение этих множеств.

а) А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}. б) А = {10; 20; …; 100} и В = {6; 12; 18;…}

Решение: а)А∩В = {3; 9}; б) А∩В = {30; 60; 90}.

Задание 2: Даны два множества. А={3; 9; 12}и В={1; 3; 5; 7; 9; 11. Найти объединение этих множеств

Решение: АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}.

Задание 3: Даны два множества: А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}. Найдите: А\ В

Решение: А\ В={2; 4; 6; 8}.

Задание 4:Решить задачу с помощью кругов Эйлера.

На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

Решение

Задание 5: Решить задачу с помощью кругов Эйлера.

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Решение

Задание 6: Решить задачу с помощью кругов Эйлера.

На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4.

Сколько ребят побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Решение

В кино: 25-(11-х)-(10-х)-х=4+х

Театр: 15-(11-х)-х-(4-х)=х

Цирк: 17-(10-х)-х-(4-х)=3+х

Всего: 36-2=34 уч-ся посетили

(4+х)+(11-х)+х+(4-х)+х+(10-х)+(3+х)=34

32+х=34

Х=2

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1:

а) Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: 1) А∩В; 2) А∩С; 3) С∩В.

б) Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

В) Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (А∩В)∩С.

Задание 2:

а)Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}. Найдите: АUВ; АUС; СUВ.

б) Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}. Найдите (АUВ)UС.

Задание 3: Даны два множества: А = {3; 6; 9; 12; 15} и В = {5; 10; 15; 20}. Найдите: А\ В

Задание 4: Решить задачу с помощью кругов Эйлера.

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Задание 5: Решить задачу с помощью кругов Эйлера.

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

Задание 6: Решить задачу с помощью кругов Эйлера.

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

Контрольные вопросы:

1.Перечислите способы задания множеств.

2. Перечислите виды множеств.

3. Перечислите операции над множествами.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 5-ти заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»-верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред.проф. образования. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование), Москва 2013г.

Практическая работа №13

Элементы математической логики

Цель работы: Закрепить умения и навыки решения логических задач с помощью алгебры логики

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 237-244, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

• Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями.

• Высказывание — это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.

• Объектами алгебры логики являются высказывания.

• Высказывание – это предложение какого-либо языка, содержание которого можно определить как истинное или ложное.

• Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:

А = {Аристотель — основоположник логики};

В = {На яблонях растут бананы}.

• Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

• Высказывания могут быть простыми и составными. Составные высказывания образуются из простых с помощью логических операций:

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):

• в естественном языке соответствует союзу и;

• в алгебре высказываний обозначение &;

• Конъюнкция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение):

• в естественном языке соответствует союзу или;

• обозначение v ;

Дизъюнкция — это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание):

• в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не;

• обозначение А;

Отрицание — это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):

• в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;

• обозначение => .

Импликация — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность):

• в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае;

• обозначения <=>.

Эквиваленция — это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Порядок работы:

Задание1: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном языке алгебры высказываний

1. 45 кратно 3 и 42 кратно 3

2. 45 кратно 3 и 12 не кратно 3

3. 2 ≤ 5

4. если 212 делится на 3 и на 4, то 212 делится на 12

5. 212 – трехзначное число, которое делится на 3 и на 4

Решение:

1. А Ù В, где А = «45 кратно 3», В = «42 кратно 3»

2. А Ù ¬В, где А = «45 кратно 3», В = «12 кратно 3»

3. А Ú В, где А = «2 < 5», В = «2 = 5»

4. (A Ù В) → С, где А = «212 делится на 3»,
   В = «212 делится на 4» и С = «212 делится на 12»

5. А Ù В Ù С, где А = «212 – трехзначное число», В = «212 делится на 3» и С = «212 делится на 4»

Задание 2: Даны значения: x = 0, y = 1, z = 1.Определите логические значения высказываний

1. x Ù (y Ù z)

2. x → (y → z)

3. ((x Ú y) Ù z) Û ((x Ù z) Ú (y Ù z))

Решение:

1) x Ù (y Ù z)

x Ù (1 Ù 1)

x Ù 1

0 Ù 1

0 (ложь)

2)x → (y → z)

x → (1 → 1)

x → 1

0 → 1

1 (истина)

3)((x Ú y) Ù z) Û ((x Ù z) Ú (y Ù z))

((0 Ú 1) Ù z) Û ((0 Ù 1) Ú (1 Ù 1))

(( 1 ) Ù z) Û (( 0 ) Ú ( 1 ))

(1 Ù 1) Û (0 Ú 1)

1 Û 1

1 (истина)

Задание 3: Решите задачу методом рассуждений:

Митя, Сережа, Толя, Костя и Юра пришли в музей до открытия и встали в очередь в кассу. Митя пришел позже Сережи, Толя раньше Кости, Митя раньше Толи, Юра позже Кости. В каком порядке ребята стояли в очереди?

Решение

С М (Митя пришел позже Сережи), Т(Митя раньше Толи)

Т (Толя раньше Кости) К Ю(Юра позже Кости)

Ответ: Первый – Серёжа, второй – Митя, третий – Толя, четвёртый – Костя, пятый – Юра.

Задание 4. Решите задачу используя формулы алгебры логики:

Составить расписание занятий так, чтобы математика была первым или вторым уроком, информатика первым или третьим уроком, а физика – вторым или третьим.

В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить?

Решение

Пусть:

М1 = «Математика первым уроком»

М2 = «Математика вторым уроком»

И1 = «Информатика первым уроком»

И3 = «Информатика третьим уроком»

Ф2 = «Физика вторым уроком»

Ф3 = «Физика третьим уроком»

Тогда расписание можно свести к выражению:

(М1 Ú М2) Ù (И1 Ú И3) Ù (Ф2 Ú Ф3)=

(М1ÙИ1 Ú М1ÙИ3 Ú М2ÙИ1 Ú М2ÙИ3) Ù (Ф2 Ú Ф3)=

М1·И1·Ф2 Ú М1·И3·Ф2 Ú М2·И1·Ф2 Ú М2·И3·Ф2 Ú
Ú М1·И1·Ф3 Ú М1·И3·Ф3 Ú М2·И1·Ф3 Ú М2·И3·Ф3

Выбираем только непротиворечивые комбинации:

Ответ:1 вариант – Математика, Физика, Информатика 2 вариант – Информатика, Математика, Физика

Задание 5 . Решите задачу используя таблицу истинности

По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено:

1.Если Иванов виновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.

2. Если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен. Виновен ли Иванов?

Решение

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) подсчитать количество переменных п в логическом выражении;

2) определить число строк в таблице, которое равно т = 2";

3) подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций;

4) ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5) заполнить столбцы входных переменных наборами значений;

6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п.4 последовательностью.

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание 1: Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите высказывания на формальном языке алгебры высказываний

1. 40 кратно 5 и 33 кратно 3

2. 45 кратно 5 и 18 не кратно 3

3. 13 6

4. если 100 делится на 5 и на 4, то 100 делится на 20

5. 200 – трехзначное число, которое делится на 5 и на 4

Задание 2:

(x Ù y) Ù z

x Ù y → z

(x Ù y) Û (z Ú ¬y)

Задание 3: Решите задачу методом рассуждений:

Четыре подруги — Маша, Полина, Ольга и Наташа - участвовали в соревнованиях по бегу и заняли первые четыре места. Установите, кто какое место занял, если известно, что в каждом из приведенных ниже ответов, которые дали девушки на вопрос опоздавшего к финишу корреспондента, кто какое место занял, верной является лишь половина ответа.

Наташа: «Ольга была второй, а Полина — первой».

Маша: «Нет, Наташа. Ольга была первой, а второй была ты».

Ольга: «Да что вы, девочки! Третьей была Маша, а Полина — четвертой».

Задание 4: Решите задачу используя формулы алгебры логики:

Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1. Сергей - первое, Роман – второй

2. Сергей – второй, Виктор – третий

3. Леонид – второй, Виктор четвёртый.

Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?

Задание 5: Решите задачу используя таблицу истинности

Три подразделения – А,В,С- торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предложения:

1.А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С.

2.Либо А и В получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат.

3.Для того чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершении года оказалось, что одно из трёх предложений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

Контрольные вопросы:

1. Что изучает алгебра логики?

2. Как образуются составные высказывания?

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 4-ти заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование), Москва 2013г.

Практическая работа №14

Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку

Цель работы: Закрепить умения и навыки решение задач на определение вероятности случайного события и выборку

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 276-284, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Результат произведенного испытания называется событием.

Событие называется достоверным, если в результате данного испытания оно обязательно произойдет.

Пример. Извлечение белого шара из урны, содержащей только белые шары.

Событие называется невозможным, если в результате данного испытания оно произойти не может.

Пример. Выпадение 7 очков при однократном бросании игрального кубика.

Событие называется случайным, если в результате данного испытания оно может произойти или не произойти.

Пример. Попадание в цель при выстреле из орудия.

Задачей теории вероятностей является не предсказание того, произойдет .или нет случайное событие, а установление закономерностей многократно наблюдаемых при одних и тех же условиях случайных событий.

Виды случайных событий

Два события А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример. В урне находятся белые и черные шары. Вынимаем один шар. Событие А — шар белый, событие В — шар черный. События А и В несовместны.

Два события А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого.

Пример. Бросаются два игральных кубика. Событие А — выпадение шестерки на первом кубике, событие В — выпадение шестерки на втором кубике. События А и В совместны.

События А_ъ А₂, ...,А_п называют единственно возможными, если при испытании неизбежно произойдет хотя бы одно из этих событий.

Пример. Монету подбросили два раза. Единственно возможными будут события: А₁ — ГГ, А₂ — РР, А₃ — ГР, Д, — РГ (Г — выпадение герба, Р — выпадение решки).

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех простых, попарно несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов испытания:

Примеры. 1. Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность появления шестерки?

2. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Случайным образом вынули один шар. Какова вероятность того, что он белый?

3. Бросили один раз два игральных кубика. Какова вероятность того, что на обеих гранях в сумме выпадет 7 очков?

Комбинаторика. Выборки элементов

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Правило суммы. Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а объект В - k способами (не такими, как для объекта А), то объект «либо А, либо В» можно выбрать (т + k) способами.

Пример. В одном ящике т шаров, в другом — k шаров. Произвольно из какого-нибудь ящика извлекаем шар. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: (т + К) способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать т способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать k способами (независимо от выбора объекта А), то пары объектов А и В можно выбрать mk способами.

Пример. Из первого ящика, в котором т шаров, берем один шар и независимо от этого из второго ящика, в котором k шаров, берем один шар. Сколько различных пар шаров при этом образуется? Ответ: mk пар.

Размещениями из п элементов по т называют такие выборки, которые, имея по т элементов, выбранных из числа данных п элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т элементов вычисляется по формуле:

Примеры. 1. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

2. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

Если размещения из п элементов взяты по п (т.е. отличаются только порядком расположения элементов), то такие размещения называются перестановками.

Число перестановок вычисляется с помощью соотношения:

Пример. Сколькими способами можно разместить 12 лиц за столом, на котором поставлено 12 приборов?

Если из всех размещений, которые можно составить из п элементов по т, отобрать только те, которые одно от другого отличаются, по крайней мере одним элементом, то получим выборки, которые называются сочетаниями.

Свойства числа сочетаний

Свойства числа сочетаний можно выразить следующими формулами:

Примеры. 1. В спортивной секции занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?

2. Из группы, насчитывающей 25 человек, выбирают троих для поездки на соревнование. Сколькими способами это может быть сделано?

Задание для самостоятельного решения:

1. Германн из повести А.С.Пушкина «Пиковая дама» вынимает 3 карты из колоды в 52 листа. Найдите вероятность того, что это будут: тройка, семерка, туз.

2. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?

3. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?

4. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные?

5. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?

6. Коллектив, включающий четырех женщин и троих мужчин, разыгрывает 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

7. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Определите вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

8. В урне 6 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают 5 шаров. Найдите вероятность того, что среди них окажутся 1 черный и 2 белых шара.

Контрольные вопросы:

1. Понятие достоверного, невозможного, случайного события

2. Понятие совместные и несовместные события

3. Задача теории вероятностей.

4. Классическое определение вероятности события.

5. Комбинаторика. Правило суммы. Правило произведения.

6. Размещения, перестановки, сочетания.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение любых 5 заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №15

Решение задач на применение теорем суммы и произведения событий

Цель работы: Закрепить умения и навыки решения задач на применение теорем суммы и произведения событий

Средства обучения: учебник С.Г. Григорьев Математика стр. 285-291, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Сумма и произведение событий

Суммой А + В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе.

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + + Р(В).

Примеры. 1. В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из нее вынимается наугад один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

Решение. Пусть событие А — вынутый шар не белый.

2. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «неуд.» равна 0,1; «уд.»— 0,6; «хор.»— 0,2; «отл.»— 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?

Решение. Пусть событие А — студент получит на экзамене положительную оценку. Дадим два способа решения задачи.

Первый способ. Р(А) = Р(3) + Р(4) + Р(5), где Р(3) — вероятность получить на экзамене оценку «уд.» и т.д. Р(А) = 0,6 + 0,2 + 0,1 = 0,9.

Второй способ. Р(А) = 1 - Р(2), так как событие А и событие 2 — получить на экзамене оценку «неуд.» — являются противоположными. Р(А)= 1-0,1 = 0,9.

3. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — с вероятностью 0,2, в восьмерку — с вероятностью 0,5. Сделан один выстрел. Какова вероятность следующих событий:

Произведением АВ двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении и события А, и события В.

Условная вероятность

Произведением АВ двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении и события А, и события В.

Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступления другого события В, называется условной вероятностью события А по отношению к событию В (обозначение Р_В(А)).

Т Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них (того, которое происходит первым) на условную вероятность другого:

Событие В называется независимым по отношению к событию А, если вероятность события В не зависит от того, произошло событие А или нет. В противоположном случае событие В называется зависимым от события А.

Пример. В урне 7 белых и 3 черных шара. Подряд извлекают два шара. Какова вероятность того, что они оба черные?

Решение. Первый способ. Пусть событие А — первый шар черный, событие В — второй шар черный, тогда

где Ра(В) — вероятность того, что второй вынутый шар черный, при условии, что первый вынутый шар также черный.

Вероятность произведения независимых событий

Математически условие независимости события В от события А записывается в виде: Р_А (В) = Р(В). Для независимых событий формула вероятности произведения двух событий принимает вид:

Примеры. 1. Монету подбросили два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет герб.

2. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй - 3 белых и 7 черных шаров. Из каждой урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что оба вынутых шара белые?

Решение. Обозначим события: А — вынутый из первой урны шар белый; В — вынутый из второй урны шар белый. События A и В — независимы, поэтому

3. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым — 0,8; третьим — 0,9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) все три стрелка промахнутся; 3) только один стрелок попадет в цель;

Решение. 1) Пусть событие А — все три стрелка попадут в цель.

Обозначим вероятность того, что первый стрелок попадет в цель Р(1) = 0,7; второй — Р(2) = 0,8; третий — Р(3) = 0,9. Тогда

Р(А) = Р(1)Р(2)Р(3) = 0,7 0,8 0,9 = 0,504.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Примеры. 1. Производится два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,6, при втором — 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение. . Рассмотрим события: А — попадание в мишень при первом выстреле Р(А) = 0,6; В — попадание в мишень при втором выстреле Р(В) = 0,8. События А и В являются совместными и независимыми, следовательно,

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = = 0,6 + 0,8-0,6 0,8 = 0,92.

Задачи для самостоятельного решения

1. Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определите вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, отвечает стандарту.

2. Брак в продукции завода из-за дефекта А составляет 5 %, причем среди этого количества брака в 10 % случаев встречается дефект В. В продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1 % случаев. Найдите вероятность того, что дефект В не встретится во всей продукции.

3. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, перемешал буквы и разложил их вновь в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что снова получится слово «ананас».

4. Абонент забыл две последние цифры номера и набрал их наудачу, помня только, что эти числа нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер набран правильно.

5. В лифт семиэтажного дома вошло три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найдите вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.

6. В ящик, содержащий три детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найдите вероятность того, что извлечена стандартная деталь. Первоначальный состав деталей в ящике неизвестен.

7. В один прекрасный весенний вечер Дюпон и Дюран играли в кости на террасе кафе. Они по очереди бросали две кости. Если сумма оказывалась равной семи, то очко выигрывал Дюран, если сумма равнялась восьми, то выигрывал Дюпон. На кого из них вы бы поставили, если бы вам пришлось держать пари?

8. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает его наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем две неудачные попытки.

Контрольные вопросы:

1. Понятие суммы и произведения двух событий.

2. Понятие условной вероятности.

3. Вероятность произведения независимых событий

4. Теорема сложения вероятностей дл совместных событий

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение любых 5 заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 4-х заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №16

Вычисление определителей 2 и 3 порядков

Цель работы: Закрепить умения и навыки вычисления определителей 2 и 3 порядков

Средства обучения: учебник А.А. Дадаян Математика стр. 92-102, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами 

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов.

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например:  – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец  или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Пример: вычислить определитель матрицы

Определителем третьего порядка называется следующее выражение:

Этот способ вычисления определителя называют правилом треугольника.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Пример: минор элемента b1

Основные свойства определителей. Знание этих свойств поможет упрощать вычисления и находить определители произвольного порядка.

С помощью операций, не изменяющих определителя, матрицу определителя преобразуют к треугольному виду. То, что матрица имеет треугольный вид, означает, что все элементы матрицы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. Такую матрицу называют еще треугольной. Определитель треугольной матрицы равен произведению всех элементов, стоящих на главной диагонали. Такой метод вычисления определителей называется методом приведения к треугольному виду.

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание1: Вычислите определители 2-го порядка следующих матриц:

Задание 2:

Вычислите определители 3-го порядка следующих матриц:

Задание 3:

Вычислите определители используя метод приведения к треугольному виду

Задание 4. Вычислите определители используя метод разложения на сумму произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Контрольные вопросы:

1. Понятие матрицы, элементы матрицы, размер матрицы.

2. Правило вычисления определителя 2 порядка.

3. Правило вычисления определителя 3 и 4 порядков.

4. Свойства определителей.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение всех заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 3-х заданий части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение любых 2-х заданий части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №17

Действия с матрицами

Цель работы: Закрепить умения и навыки выполнения действий с матрицами

Средства обучения: учебник В.П Григорьева Сборник задач по высшей математике стр. 7-10, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Задание1:

Решение:

Задание 2

Решение:

Задание 3

Решение:

Задание 4

Решение:

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание1

Задание 2

Задание 3

Найдите следующие матрицы

Задание 4

Найдите произведение АВ следующих матриц

Задание 5

Контрольные вопросы:

1. Понятие матрицы, элементы матрицы, размер матрицы.

2. Правило сложения, вычитания матриц.

3. Правило умножение матрицы на определённое число.

4. Правило умножения двух матриц.

5. Правило нахождение обратной матрицы для данной матрицы.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение заданий 1-3, 4(1), 4(3), 4(4), 5(2), 5(3) ( части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение заданий 1-3, 4(1), 4(3), 4(4), 5(2); части самостоятельно, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение заданий 1-3, 4(2), 5(1) части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №18

Решение систем линейных уравнений

Цель работы: Закрепить умения и навыки решения систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса и методом обратной матрицы.

Средства обучения: учебник В.П Григорьева Сборник задач по высшей математике стр. 13-15, раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Методы решения систем линейных уравнений:

Порядок работы

Задание1: Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

Решение:

Задание 2 Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решение:

Задание 3 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Задание для самостоятельного выполнения:

Задание1: Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

Задание 2 Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Задание 3 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Контрольные вопросы:

1. Понятие матрицы, элементы матрицы, размер матрицы.

2. Правило умножения двух матриц.

3. Правило нахождение обратной матрицы для данной матрицы.

4.Алгоритм решения линейных уравнений методом Гаусса.

5.Алгоритм решения линейных уравнений методом Крамера

6.Алгоритм решения линейных уравнений методом нахождения обратной матрицы.

Подведение итогов работы: Анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение заданий 1-3 (части самостоятельно, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение заданий 1 (метод обратной матрицы и метод Крамера) и 3 (части самостоятельно, ответы на вопросы).

«3»- верное выполнение задания 3 (метод Крмара и метод Гаусса) части самостоятельно.

Список рекомендованной литературы

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительные источники

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

Практическая работа №18

Действия с комплексными числами

Цель работы: Закрепить умения и навыки решения заданий с комплексными числами.

Средства обучения: раздаточный материал, рабочая тетрадь по математике.

Форма проведения: индивидуальная

Справочный материал

Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексных чисел.

Неразрешимость уравнения x² + 1 = 0 на множестве действительных чисел привела к введению так называемой мнимой единицы , т.е. мнимого (придуманного) числа, обладающего свойством: .

Тогда x² + 1 = 0 имеет два решения: .

Числа, вида , где , – мнимая единица, называют мнимыми числами.

Например, , , , , и т.п.

Числа, вида , где , – мнимая единица, называют комплексными числами.

Например, , , , , и т.п.

Форма записи называется алгебраической.

– действительная часть: Re(z) – мнимая часть: Im(z)

Такая запись позволят записывать не только комплексные числа, но и чисто мнимые и действительные, например:

Действительные числа

Мнимые числа

Во множестве комплексных чисел нет понятий «больше», «меньше», «положительное», «отрицательное».

Числа и называются равными, если и .

Числа и называются противоположными.

Числа и называются сопряженными.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Решением квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда будут два сопряженных комплексных числа.

Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме

Сумма

Разность

Произведение

Частное

Рекомендуется для упрощения вычислений при делении, вывести формулу для умножения двух сопряжённых комплексных чисел:

Натуральная степень мнимой единицы i

_{Найдем первый четыре степени i:}

, , , _.

Учитывая, что , найдем старшие степени:

, ,

,

Очевидно, что все остальные степени i будут равны одному из предыдущих четырех значений.

Что бы возвести i в натуральную степень, надо показатель степени разделить на 4, и возвести i в степень, равную остатку от деления.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точки плоскости с координатами , причем, это соответствие взаимно-однозначное (рис. 1).

Ось называется действительной осью, т. к. на ней расположены точки, соответствующие числам, у которых .

Ось называется мнимой осью, т. к. на ней расположены точки, соответствующие числам, у которых .

Таким образом, любое комплексное число можно изобразить на плоскости точкой с координатами , причем взаимно однозначно.

С каждой точкой комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки (рис. 1).

Рисунок 1

Сложение и вычитание комплексных чисел можно выполнить по правилу параллелограмма (правило сложения и вычитания векторов), которое заключается в следующем: нужно построить параллелограмм на векторах, полученных при геометрическом представлении этих чисел. Результату суммирования будет соответствовать вектор-диагональ этого параллелограмма. При выполнении вычитания нужно учитывать, что разность и будет соответствовать сумме и . Т.е. .

Длина вектора, соответствующего комплексному числу называется модулем комплексного числа и обозначается .

Угол , образованный радиус-вектором с положительным направлением оси , называется аргументом комплексного числа и обозначается (рис. 3).

Рисунок 2

Рассматривая на рис. 3 выделенный прямоугольный треугольник, получаем соотношения: _.

;

;.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Заменив в алгебраической форме записи комплексного числа и соотношениями , получим: , т.е. тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Тригонометрическая форма:

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Умножение

Деление

Возведение в степень (формула Муавра)

Извлечение корня

Порядок работы:

Задание 1: Решить квадратное уравнение .

Решение.

Вычислим дискриминант

.

Представляем отрицательное число как произведение (–1) и положительного числа и заменяем (–1) на :

.

Найдем .

Находим корни уравнения:

;

.

Ответ: два сопряженных комплексных числа: и .

Задание2. Выполнить арифметические действия над комплексными числами и .

Решение.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ. ;

Задание 3: Найти _{, , , .}

Решение.

;

;

;

.

Ответ. _{, , , .}

Задание 4. Даны два комплексных числа: и .

Изобразить их на комплексной плоскости и результаты их сложения и вычитания (рис. 2).

Решение.

Задание 5: Задано комплексное число . Найти и .

Решение.

, значит, ;

;

;

Ответ: ; (рис. 4)

Задание 6. Перевести в тригонометрическую форму комплексное число .

Решение.

, значит, ;

;

Таким образом, тригонометрическая форма данного комплексного числа имеет вид:

.

Ответ. _.

Задание 7. Перевести в алгебраическую форму комплексное число, заданное в тригонометрической форме .

Решение.

, значит, ,

,

.

Таким образом, алгебраическая форма данного комплексного числа имеет вид:

.

Ответ. .

Задачи для самостоятельного выполнения.

Задание 1. Решить уравнение:

1)

2)

3)

4)

Задание 2. Даны два комплексных числа и .

Найти , , ,

1)

2)

3)

Задание 3. Вычислить:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

9) 10)

11) 12)

_{13) 14)}

Задание 4 Изобразите на комплексной плоскости числа

1) 2) 3) 4)

Задание 5 Задано комплексное число . Найти и .

1) 2) 3) 4)

Задание 6. Перевести в тригонометрическую форму комплексное число

1) 2) 3) 4)

5) 6)

Задание 7 . Перевести в алгебраическую форму комплексное число

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулы для вычисления модуля и аргумента комплексного числа.

2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запишите её.

3.. Показательная форма комплексного числа. Запишите её.

4.. Алгебраическая форма комплексного числа. Запишите её

Подведение итогов работы: анализ выполненных заданий.

Критерии оценки:

«5»- верное выполнение любых 6 заданий, ответы на вопросы.

«4»- верное выполнение любых 5 заданий, ответы на вопросы.

«3»- верное выполнение заданий любых 4 заданий.

5. Перечень учебно-методического, информационного обеспечения и технических средств

Наличие кабинета - лаборатории информатики и вычислительной техники в соответствии с СанПин 2.4.2 №178-02, с возможностью свободного доступа в Интернет.

Оборудование учебного кабинета:

-компьютеры на рабочих местах студентов с системным программным обеспечением для

операционной системы Windows, системами программирования и прикладным программным обеспечением по каждой теме программы учебной дисциплины «Информатика»;

-локальная сеть кабинета.

Библиотечный фонд:

Основные источники:

Григорьев С.Г. Математика. М., Академия, 2013.

Дополнительная литература:

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с

-Богомолов Н.В. Математика: учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

1

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ
«МУРМАНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Методические указания

к выполнению внеаудиторных самостоятельных работ

по дисциплине «Математика»

Курс: II

Профиль: технический

Специальности:13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования

Мурманск

2016г.

методической комиссией

общеобразовательных дисциплин

Протокол №___ от_____ 2015 г.

Руководитель

____________Парфёнова О.И.

«_____» ______________ 2015г.

Методические указания к выполнению внеаудиторных самостоятельных работ составлены в соответствии с рабочей программой по учебной дисциплине «Информатика» для подготовки специальностей среднего звена технического профиля ГАПОУ МО «МИК».

Авторы:

Петухова Аксана Константиновна, преподаватель информатики ГАПОУ МО «Мурманский индустриальный колледж».

Лукьянчук Виктория Васильевна, преподаватель математики ГАОУ МО СПО «Мурманский индустриальный колледж».

Внутренний

рецензент:

Селютина Ольга Валентиновна, преподаватель математики ГАПОУ МО «Мурманский индустриальный колледж».

Внешний

рецензент:

Лисина Майя Витальевна, преподаватель математики ГАОУ МО СПО «МСК им. Н.Е. Момота»

Содержание

1. Пояснительная записка

Методические указания к выполнению внеаудиторной самостоятельной работы студентов по учебной дисциплине «Математика» предназначены для подготовки специальностей среднего звена технического профиля:

13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования

Цель методических указаний: оказание помощи студентам в выполнении самостоятельной работы по учебной дисциплине «Математика».

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят студентам самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности по специальности, опытом творческой и исследовательской деятельности.

Описание каждой самостоятельной работы содержит: тему, задания, основной теоретический материал, ссылку на литературные источники, алгоритм выполнения типовых задач, порядок выполнения работы, вопросы для самоконтроля, требования к выполнению и оформлению заданий. Для получения дополнительной, более подробной информации по изучаемым вопросам, приведено учебно-методическое и информационное обеспечение.

Перечень видов самостоятельной работы

№ п/п темы

Наименование темы

Наименование внеаудиторной самостоятельной работы

Кол-во часов

1.

Математический

анализ

1.Элементарные функции и их графики

2

2.Функции в экономике.

2

3.Производственные функции

2

4.Первый и второй замечательный предел.

2

5.Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.

2

6.Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям

2

7. Производные высших порядков

2

8. Решение прикладных задач, использующих понятие экстремума.

2

9. Эластичность функции как один из примеров использования понятия производной при решении прикладных задач.

2

10. Геометрические приложения определённого интеграла

2

2

Основы дискретной математики

11.Диаграммы Эйлера-Венна при решении задач.

2

12.Решение логических задач с использованием таблиц истинности

2

3

Основы теории вероятностей.

13.Классическое и статистическое определение вероятности.

2

14. Сумма и произведение событий.

2

15.Формула Бейеса.

2

16. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

2

4

Линейная алгебра

17.Геометрический метод решения систем линейных уравнений и неравенств

2

18.Тригонометрическая форма комплексного числа.

2

ИТОГО:

36ч.

Исходные требования к реферату

1. Структура реферата

По структуре реферат подразделяется на:

• Титульный лист

• Введение

• Оглавление с указанием соответствующих страниц;

• Разделы и подразделы;

• Заключение;

• Библиография;

• Приложения.

Во введении автор должен показать актуальность избранной проблемы, степень ее разработанности и сформулировать те задачи, которые будут решаться в работе. Введение должно быть кратким (1-2 страницы).

В основной части излагается содержание темы. Эту часть рекомендуется разделить на 2 - 4 вопроса, раскрывающих сущность проблемы. Увеличивать число вопросов не следует, так как это приведет к их поверхностной разработке или значительному превышению объема реферата. Изложение каждого вопроса надо четко ограничивать с тем, чтобы можно было ясно видеть, где начинается и где кончается их освещение. Основная часть работы может быть изложена на 18-20 страницах.

Третья часть работы - заключение, содержит краткие выводы, которые излагаются на 1-2 страницах. В заключении студент также может изложить собственные впечатления и мнения, указать те проблемные вопросы, которые остались невыясненными и заслуживают дополнительного исследования.

Любые цитаты, статистика и другие данные должны быть снабжены сноской с указанием номера и страницы источника, название которого находится в библиографии. В качестве приложений в реферате можно привести образцы используемых документов.

2. Этапы работы над рефератом

Выполнение реферата целесообразно разделить на 6 следующих этапов:

• выбор темы;

• подбор и изучение литературы;

• составление плана работы;

• собрание и обработка фактического и статистического материала;

• написание реферата;

• защита реферата.

Тему реферата следует выбирать из тех разделов учебной дисциплины, которые являются наиболее сложными для понимания или вызывают у студента научный интерес. Написание работы по таким темам поможет студентам более глубоко разобраться в сложных и трудных проблемах изучаемой дисциплины, ликвидировать пробелы, углубить знания по интересующей его научной проблеме и написать реферат творчески, высказав свое мнение по существу.

После выбора темы необходимо составить список необходимой литературы, подобрать ее и изучить. Начинать эту работу следует с исследования перечня рекомендованной литературы, При составлении библиографического указателя рекомендуется пользоваться источниками библиотеки учебного заведения: библиографическими каталогами, тематическими библиографиями, перечнями статей за год, опубликованных в последнем номере того или иного журнала. При этом главная задача студента - из огромной массы российской и зарубежной литературы отобрать только те книги, журналы и статьи, в которых освещаются вопросы, относящиеся к выбранной теме реферата.

Изучение периодической литературы следует начинать с работ, опубликованных в последние годы и наиболее полно раскрывающих вопросы реферата, а затем уже переходить и к более ранним изданиям. Такая последовательность изучения литературы обусловлена не только глубоким реформированием всех сторон нашей жизни в последнее десятилетие, но и тем, что любая наука не может стоять на месте, постоянно развивается и обогащается новыми теоретическими положениями, выводами, концепциями.

При изучении литературы можно рекомендовать делать выписки из книг и статей основных положений, теоретических выводов, определений, доказательств, статистических данных и т. п.

После подбора и изучения литературы студент должен составить тщательно продуманный план реферата, который призван способствовать более полному раскрытию основных ее вопросов. План работы тесно связан с её структурой. Но раз дана структура работы, состоящая из введения, основного раздела и заключения, то задача студента состоит в том, чтобы определить 3-4 вопроса основной ее части, соблюдая их взаимосвязь и последовательность изложения.

Для написания реферата нужны не только литературные источники, но и статистические, нормативные материалы, на основе которых можно сделать обоснованные выводы о происходящих процессах и явлениях.

3. Требования к оформлению реферата

Объем реферата не ограничивается, однако в среднем должен составлять 10-15 страниц машинописного текста.

• Размер бумаги - А4;

• поля: верхнее, нижнее, правое - 1,5 см; левое - 2,5 см;

• ориентация - книжная

• шрифт - Times New Roman; размер шрифта - 14;

• междустрочное расстояние - полуторное;

• выравнивание по ширине

4. Порядок подготовки и защиты реферата

После утверждения темы реферата преподавателем студенты приступают к работе над рефератом, подготовка которого должна быть завершена до начала зачетной недели с учетом возможной доработки замечаний преподавателя.

Защита реферата заключается в кратком изложении проделанной работы и ответах на вопросы преподавателя по указанной теме.

Оценку «отлично» получают работы, в которых делаются самостоятельные выводы, дается аргументированная критика и самостоятельный анализ фактического материала на основе глубоких знаний экономической литературы по данной теме.

Оценка «хорошо» ставится тогда, когда в работе, выполненной на достаточном теоретическом уровне, полно и всесторонне освещаются вопросы темы, но нет должной степени самостоятельности.

Оценку «удовлетворительно» имеют работы, в которых правильно освещены основные вопросы темы, но не проявилось умение логически стройного их изложения, самостоятельного анализа источников, содержатся отдельные ошибочные положения.

Оценку «неудовлетворительно» студент получает в случае, когда не может ответить на замечания рецензента, не владеет материалом работы, не в состоянии дать объяснения выводам и теоретическим положениям данной проблемы.

2. Самостоятельные работы

Самостоятельная работа №1

Тема: «Элементарные функции и их графики».

Задание: Заполнить таблицу

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 4-20)

Самостоятельная работа №2

Тема: «Функции в экономике»

Задание 1: Оформить конспект в котором описать экономические функции, их свойства и график

Задание 2: Законспектировать примеры решения задач на применение функции спроса, предложения и равновесия.

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 22-31)

Самостоятельная работа №3

Тема: «Производственные функции».

Задание: Законспектировать примеры решения задач на применение производственной функции.

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 32-33)

Самостоятельная работа №4

Тема: «Первый и второй замечательный предел».

Задание: Законспектировать примеры решения примеров на применение первого и второго замечательного предела .

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 54-57)

Самостоятельная работа №5

Тема: «Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя».

Задание:

1) Законспектировать примеры решения пределов на использование Правило Лопиталя.

2)Решить №21-№25

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 88-91)

Самостоятельная работа №6

Тема: «Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям».

Задание:

1) Законспектировать примеры применения дифференциала к приближённым вычислениям.

2)Решить №1-№4

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 93-95)

Самостоятельная работа №7

Тема: «Производные высших порядков».

Задание:

1) Оформить конспект в котором освятить следующие вопросы:

-Правило дифференцирования высших порядков.

-Теорема Лагранжа о конечном приращении.

-Теорема Ролля о корнях производной.

-Теорема Коши.

2)Решить №1-№4

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 95-99)

Самостоятельная работа №8

Тема: «Решение прикладных задач, использующих понятие экстремума».

Задание:

1)Законспектировать примеры при решении которых используется понятие экстремума функции.

2) Решить №2-№4

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 104-107)

Самостоятельная работа №9

Тема: «Эластичность функции как один из примеров использования понятия производной при решении прикладных задач».

Задание:

1)Законспектировать решение задач на применение эластичности функции.

2) Решить №1,№3,№4

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 116-122)

Самостоятельная работа №10

Тема: «Геометрические приложения определённого интеграла».

Задание:

1)Законспектировать примеры применения определённого интеграла для вычисления:

-площади плоской фигуры

-длины дуги плоской кривой

-объёма тел вращения.

2) Решить №1(3), №2(9), №3(10)

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 151-159)

Самостоятельная работа №11

Тема: «Диаграммы Эйлера-Венна при решении задач».

Задание:

1)Законспектировать решение задач на применение диаграммы Эйлера-Венна.

2) Решить №3,№4,№5

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 229-236)

Самостоятельная работа №12

Тема: «Решение логических задач с использованием таблиц истинности»

Задание: Оформить реферат на заданную тему.

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 236-243)

Самостоятельная работа №13

Тема: «Классическое и статистическое определение вероятности».

Задание: Оформить конспект в котором освятить следующие вопросы:

-Классическое определение вероятности

-Статистическое определение вероятности

-Приближённое значение вероятности

2) Решить №5-№9

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр. 278-284)

Самостоятельная работа №14

Тема: «Сумма и произведение событий»

Задание:

1)Оформить конспект решения задач на применение теорем суммы и произведения событий.

2) Решить №1,№3,№5,№7

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр.285-291)

Самостоятельная работа №15

Тема: «Формула Бейеса»

Задание:

1)Оформить конспект решения задач на применение Формула Бейеса.

2) Решить №1,№3,№6,№7

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр.293-297)

Самостоятельные работы №16

Тема: «Повторные независимые испытания. Формула Бернулли»

Задание:

1)Оформить конспект решения задач на применение Формулы Бернулли.

2) Решить №1,№2,№3,№5,№7

Источник:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013г. (стр.301-305)

Самостоятельная работа №17

Тема: «Геометрический метод решения систем линейных уравнений и неравенств»

Задание:

1)Оформить конспект решения примера системы линейных уравнений и системы неравенств линейных уравнений.

2) Решить №4.25(а), №4.26, №4.27

Источник:

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013г. (стр.108-113)

Самостоятельная работа №18

Тема: «Тригонометрическая форма комплексного числа»

Задание:

1)Оформить конспект в котором освятить следующие вопросы:

- Тригонометрическая форма комплексного числа

-Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

2) Решить №16.19, №16.22

Источник:

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013г. (стр.292-298)

3. Учебно-методическое и информационное обеспечение

Основная литература:

Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования М.: Издательский центр Академия, 2013-416с.

Дополнительная литература:

Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с.

ГАПОУ МО «МИК»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ

«Мурманский индустриальный колледж»

УТВЕРЖДАЮ:

Директор ГАПОУ МО «МИК»

_______________Г.С. Шатило

«_____»____________ 2015г.

Рабочая программа

по учебной дисциплине «Математика»

Курс: II

Профиль: технический

Специальности: 13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

Регистрационный №______

Мурманск

2015

методической комиссией

общеобразовательных дисциплин

Протокол №___ от_____ 2015 г.

Руководитель

Начальник отдела по УР

____________Парфёнова О.И.

_________________ Головко Т.М

«_____» ______________ 2015г.

«_____» ______________ 2015г.

Авторы:

Петухова Аксана Константиновна, преподаватель информатики ГАПОУ МО «Мурманский индустриальный колледж».

Селютина Ольга Валентиновна, преподаватель математики ГАПОУ МО «Мурманский индустриальный колледж».

Внутренний

рецензент:

Лукьянчук Виктория Васильевна, преподаватель математики ГАОУ МО СПО «Мурманский индустриальный колледж».

Внешний

рецензент:

Лисина Майя Витальевна, преподаватель математики ГАОУ МО СПО «МСК им. Н.Е. Момота»

СОДЕРЖАНИЕ

4

3. условия реализации учебной дисциплины

12

4. Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины

13

1. паспорт РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Математика

1.1. Область применения рабочей программы

Рабочая программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по специальностям СПО, входящим в состав укрупненной группы профессий: Морская техника.

13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

1.2. Место учебной дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы: дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный цикл.

1.3. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

• Основные математические методы решения прикладных задач;

• Основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

• Основы интегрального и дифференциального исчисления;

• Роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

уметь:

• Решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

• Выполнять действия над комплексными числами;

• Решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

• Решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение рабочей программы учебной дисциплины:

максимальной учебной нагрузки студента 112 часов, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки студента 76 час;

самостоятельной внеаудиторной работы студента 36 час.

2. СТРУКТУРА И ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

(очное обучение)

Практические занятия

38

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

36

в том числе:

тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Итоговая аттестация в форме зачета

(вчерне обучение)

Практические занятия

16

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

16

в том числе:

тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Итоговая аттестация в форме зачета

(заочное обучение)

Практические занятия

10

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

10

в том числе:

тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Итоговая аттестация в форме зачета

2.2. Рабочий тематический план и содержание учебной дисциплины «Математика»

(очное обучение)

Тема 1. Матема-тический

анализ

42

1. Функции одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции. Графики элементарных функций. Свойства функции.

2

3

ПР № 1 Элементарные функции и их свойства.

2

3

2. Предел числовой последовательности. Предел функции. Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о конечных пределах. Понятие предела функции. Первый и второй замечательные пределы.

2

2

ПР №2 Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции.

2

3

3. Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.

2

2

ПР №3 Исследование функции на непрерывность.

2

3

4. Производная функции. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.

2

2

ПР №4 Вычисление производных элементарных функций.

2

3

5. Исследование функции методами дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

2

2

ПР №5 Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

2

3

ПР №6 Исследование функции и построение её графика.

2

3

6. Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределённых интегралов. Примеры вычисления неопределенных интегралов.

2

2

ПР №7 Вычисление неопределённых интегралов.

2

3

7. Понятие определенного интеграла и его свойства. Задачи, приводящие к понятию, понятие определенного интеграла и его свойств. Формула Ньютона-Лейбница, вычисление определенных интегралов.

2

2

ПР №8 Вычисление определенных интегралов.

2

3

8. Геометрические приложения определённого интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объёмов тел вращения.

2

2

ПР №9 Приложение определенных интегралов.

2

3

9. Дифференциальные уравнения. Понятие о дифференциальном уравнении. Простейшие дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

2

2

ПР №10 Решение дифференциальных уравнений.

2

3

10.Числовые ряды. Понятие ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

2

2

ПР №11 Решение задач на сходимость рядов.

2

3

Самостоятельная работа: выполнение домашних заданий по теме 1.

20

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Элементарные функции и их графики.

Функции в экономике.

Производственные функции

Первый и второй замечательный предел.

Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.

Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям.

Производные высших порядков.

Решение прикладных задач, использующих понятие экстремума.

Эластичность функции как один из примеров использования понятия производной при решении прикладных задач.

Геометрические приложения определённого интеграла.

Тема 2.

Основы дискретной математики

8

11. Множества и операции над ними. Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Основные тождества алгебры множеств. Разбиение множества на классы.

2

2

ПР №12 Множества и отношения.

2

3

12. Элементы математической логики. Понятие элементарных высказываний. Логические операции над высказываниями. Формулы алгебры логики.

2

2

ПР №13 Элементы математической логики. Понятие элементарных высказываний. Логические операции над высказываниями. Формулы алгебры логики.

2

3

Самостоятельная работа: выполнение домашних заданий по теме 2.

4

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Диаграммы Эйлера-Венна при решении задач.

Решение логических задач с использованием таблиц истинности

Тема 3.

Основы теории вероятностей.

8

13. Определение вероятности случайного события. Понятие события. Достоверное, невозможное, случайное событие. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности события. Общие правила комбинаторики. Выборки элементов. Свойства числовых сочетаний

2

2

ПР №14 Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку.

2

3

14. Сумма и произведение событий. Сумма и произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместимых событий. Формула полной вероятности.

2

2

ПР №15 Решение задач на применение теорем суммы и произведения событий.

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

8

Классическое и статистическое определение вероятности.

Сумма и произведение событий.

Формула Бейеса.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Тема 4. Линейная алгебра

12

15. Определители 2 и 3 порядков. Понятие определителя 2 и 3 порядков. Свойства определителей. Правило треугольника. Ранг определителя. Алгебраическое дополнение.

2

2

ПР №16 Вычисление определителей 2 и 3 порядков

2

3

16. Матрицы и действия над ними. Понятие прямоугольной матрицы. Квадратная матрица. Действия над матрицами. Обратная матрица. Транспонированная и союзная матрица.

2

2

ПР №17 Действия над матрицами.

2

3

17. Решение систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, Крамера.

2

2

ПР №18 Решение систем линейных уравнений с 3 неизвестными.

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

2

Геометрический метод решения систем линейных уравнений и неравенств

18.Комплексные числа. Определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

2

2

ПР №19 Действия с комплексными числами

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Тригонометрическая форма комплексного числа.

2

19. Зачёт.

2

3

ИТОГО

112ч.

Рабочий тематический план и содержание учебной дисциплины «Математика»

(вечернее обучение, 1 курс)

Тема 1. Матема-тический

анализ

22

1. Функции одной переменной. Понятие функции. Способы задания функции. Графики элементарных функций. Свойства функции.

2

3

ПР № 1 Элементарные функции и их свойства.

2

3

2. Предел числовой последовательности. Предел функции. Понятие числовой последовательности. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о конечных пределах. Понятие предела функции. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции

2

2

ПР №2 Вычисление предела числовой последовательности. Вычисление предела функции.

2

3

3. Производная функции. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.

2

2

ПР №3 Вычисление производных элементарных функций.

2

3

4. Исследование функции методами дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

2

2

ПР №4 Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

2

3

ПР №5 Исследование функции и построение её графика.

2

3

5. Интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределённых интегралов. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница, вычисление определенных интегралов

2

2

ПР №6 Вычисление интегралов.

2

3

Самостоятельная работа: выполнение домашних заданий по теме 1.

10

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Элементарные функции и их графики.

Функции в экономике.

Производственные функции

Первый и второй замечательный предел.

Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.

Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям.

Производные высших порядков.

Решение прикладных задач, использующих понятие экстремума.

Эластичность функции как один из примеров использования понятия производной при решении прикладных задач.

Геометрические приложения определённого интеграла.

Тема 2.

Основы теории вероятностей.

8

6. Определение вероятности случайного события. Понятие события. Достоверное, невозможное, случайное событие. Виды случайных событий. Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности события. Общие правила комбинаторики. Выборки элементов. Свойства числовых сочетаний

2

2

ПР №7 Решение задач на определение вероятности случайного события и выборку.

2

3

7. Сумма и произведение событий. Сумма и произведение событий. Условная вероятность. Вероятность произведения независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместимых событий. Формула полной вероятности.

2

2

ПР №8 Решение задач на применение теорем суммы и произведения событий.

2

3

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

6

Классическое и статистическое определение вероятности.

Сумма и произведение событий.

Формула Бейеса.

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

8. Зачёт.

2

3

ИТОГО:

48ч.

Рабочий тематический план и содержание учебной дисциплины «Математика»

(заочное обучение, 1 курс)

Содержание учебного материала, лабораторные работы и практические занятия, самостоятельная работа

обучающихся

Объем часов

Уровень освоения

Тема

Матема-тический

анализ

18

1. Предел функции. Непрерывность функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о конечных пределах. Понятие предела функции. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывность функции. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация

2

2

ПР №1 Вычисление предела функции. Исследование функции на непрерывность.

2

3

2. Производная функции. Определение производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции.

2

2

ПР №2 Вычисление производных элементарных функций.

2

3

3. Исследование функции методами дифференциального исчисления. Условия возрастания и убывания функции. Экстремумы функции. Необходимое и достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

2

2

ПР №3 Исследование функции средствами дифференциального исчисления.

2

3

ПР №4 Исследование функции и построение её графика.

2

3

4. Интеграл. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределённых интегралов. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница, вычисление определенных интегралов

2

2

ПР №5 Вычисление интегралов.

2

3

Самостоятельная работа: выполнение домашних заданий по теме.

10

Примерная тематика внеаудиторной самостоятельной работы

Элементарные функции и их графики.

Функции в экономике.

Производственные функции

Первый и второй замечательный предел.

Применение производной к вычислению пределов. Правило Лопиталя.

Применение дифференциала функции к приближённым вычислениям.

Производные высших порядков.

Решение прикладных задач, использующих понятие экстремума.

Эластичность функции как один из примеров использования понятия производной при решении прикладных задач.

Геометрические приложения определённого интеграла.

8. Зачёт.

2

3

ИТОГО:

30ч.

Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1. – ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств);

2. – репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции или под руководством)

3. – продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

3. условия реализации УЧЕБНОЙ дисциплины

3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация учебной дисциплины требует наличия учебного кабинета «Математика».

Оборудование учебного кабинета:

- посадочные места по количеству обучающихся-25;

- рабочее место преподавателя;

Технические средства обучения:

- мультимедиапроектор;

- принтер;

- сканер;

- интернет.

3.2. Информационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

-Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. Образоват. Учреждений сред. Проф. Образования М.: Издательский центр Академия, 2013-416с.

Дополнительные источники

-Богомолов Н.В. Математика : учеб. Для сузов . —М.: Дрофа, 2009. —395с.

-Дадаян А.А. Математика: учебник (Профессиональное образование) М.: Форум: ИНФРА-М, 2013-544с.

4.Контроль и оценка результатов освоения УЧЕБНОЙ Дисциплины

Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий и лабораторных работ, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

1

2

Умения:

решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчисления;

решение примеров и задач при выполнении тестовых заданий, самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

решать простейшие дифференциальные уравнения в частных производных;

решение примеров при выполнении тестовых заданий, самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

находить значения функций с помощью ряда Маклорена;

решение примеров и задач при выполнении самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

решать простейшие задачи, используя элементы теории вероятности;

решение задач при выполнении самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

находить функцию распределения случайной величины;

построение графиков изученных функций при выполнении самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

использовать метод Эйлера для численного решения дифференциальных уравнений;

определение свойств функции по графику при выполнении тестовых заданий, самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

находить аналитическое выражение производной по табличным данным;

решение примеров при выполнении самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы

решать обыкновенные дифференциальные уравнения.

решение задач при выполнении самостоятельной работы, контрольной работы, внеаудиторной самостоятельной работы