Учебное занятие по теории вероятностей по теме: "Плотность распределения непрерывной случайной величины" для студентов СПО, 1 курс

Тема: «Плотность распределения непрерывной случайной величины»

План

1.        Определение плотности распределения

2.        Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

3.        Свойства плотности распределения

4.        Решения типовых примеров

1. Определение плотности распределения

Непрерывную случайную величину можно  задать с помощью функции распределения. Этот способ задания не является  единственным. Непрерывную случайную величину можно  задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.  Эту функцию называют также дифференциальной функцией.

Вспомним,  что функцию распределения называют также  интегральной функцией.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию  - первую производную от функции распределения

.

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теперь объяснимо, почему функцию распределения называют интегральной функцией, а плотность распределения – дифференциальной функцией.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

2.  Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от  до

Геометрический смысл попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал: вероятность того, что непрерывная случайная величина  примет значение, принадлежащее интервалу   равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью  кривой распределения  и прямыми  и

Пример 1. Задана плотность вероятности случайной величины

Найти вероятность того, что в результате испытания  примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. Искомую вероятность вычислим по формуле:

Подставим в эту формулу величины:

Ответ:

3. Свойства плотности распределения

Свойство 1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

Доказательство. Функция распределения – неубывающая функция, следовательно, ее производная  – неотрицательная.

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью , либо на этой оси.

График плотности распределения называется кривой распределения рис.1, рис.2.

Рис.1.  График функции плотности вероятности для равномерного распределения	Рис.2.  График функции плотности вероятности для нормального распределения

Свойство 2. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу то

Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины  задана функцией распределения:

а) Найти коэффициент

б) Найти плотность распределения  .

в) Найти вероятность попадания величины в интервал

Решение.

а) Так как функция распределения величины    непрерывна, то при  получим ,  откуда .

 Тогда функция распределения непрерывной случайной величины  запишется в следующем виде:

б) Найдем плотность распределения  по формуле: .

1) при имеем

 имеем  ;

 имеем .

Плотность распределения величины   выражается формулой:

в) Найдем вероятность попадания величины в интервал ,
по формуле