Уравнения с модулем, содержащие параметр. 7 класс.

         Уравнения с модулем, сводящиеся к линейным и содержащие параметр.

         7класс (методические рекомендации).

                                                                   Солодовникова Галина Николаевна, учитель  математики                      

                                                                   МБОУ Школа №16 г. Саров Нижегородской области.

«Задачи с параметрами незаменимое средство для тренировки логического мышления».

 Данный материал можно использовать на уроках алгебры в 7 классе, на занятиях математического кружка общеобразовательной школы, для самостоятельного ознакомления с данной темой учениками 7-ого класса.

Занятие 3.

На втором занятии были рассмотрены и решены уравнения:

1)  ах-3х= -1.        Ответ. Если а=3,то корней нет; если а≠3, то х= .

2)  тх-7т=5х-6.     Ответ. Если т=5, то корней нет; если т≠5, то х =  .

3)  х-3m= 12-4mх.    Ответ. Если m=0,то корней нет; если m=-4, то х-любое число;

если m≠0, m≠ -4,то х =  .

4)  =   .      Ответ. Если а=0,то корней нет; если а≠0, то х=   .

5)   + 1= .     Ответ. Если а=0, то корней нет; Если а≠0, то х = .

На 3-ем занятии мы рассмотрим уравнения с модулем, содержащие параметр.

**При решении будем использовать определение модуля, которое было дано ученикам в 6классе.

(Математика 6. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Глава 4.Рациональные числа и действия над ними. §32.

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

«Ключевое слово» в этом определении расстояние.

Модуль числа принимает только неотрицательные значения (расстояние не может быть отрицательным)*.

1.Решите уравнение    |х|=а.

Решение.

В данном уравнении х-неизвестное, а-параметр, который может принимать любые значения.

Если  а<0, то корней нет;

если а=0, то х=0;

если а>0, то х=±а.

Ответ. Если а<0,то корней нет; если а≥0, то х=±а.

2.Решите уравнение а∙|х|=0.

Решение.

Если а=0,то уравнение примет вид   0∙|х|=0 , х-любое число.

Если а≠0, то х=0.

Ответ. Если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=0.

3.Решите уравнение  а∙|х|=1.

Решение.

1.Если а=0, уравнение примет вид 0∙|х|=1. Данное уравнение корней не имеет.

2.Если а≠0, то |х|=  

    1)если а<0, то      принимает отрицательные значения и уравнение корней не имеет;

   2)если а>0, то    принимает положительные значения  и   х=±

Ответ. Если а≤0, то корней нет; если а>0, то х = ±.

4.Решите уравнение  (а-2)∙|х|=0.

Решение.

Если  а-2=0, т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙|х|=0, х-любое число.

Если а≠2, то |х|=0 или х=0.

Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=0.

5.Решите уравнение (а-2)∙|х|=5∙(а-2).

Решение.

Если а-2=0, т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙|х|=5∙0 или  0∙|х|=0 , х-любое число.

Если а≠2, то |х|= , |х|=5 или х=±5.

Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а≠2, то х=±5.

6.Решите уравнение (а-2)∙|х|=(а-2)∙(а+3).

Решение.

1.Если а-2=0,т.е. а=2, то уравнение примет вид 0∙|х|=0∙5 или 0∙|х|=0, х-любое число.

2.Если а≠2, то |х|=а+3.

 1)если а+3<0, т.е. а< - 3 ,уравнение корней не имеет;

2)если а=-3, то х=0;

3)если а+3>0, т.е. а> -3,то х=±(а+3)

Ответ. Если а=2, то х-любое число; если а< -3, то корней нет; если а≥-3,а≠2,то х=±(а+3).

7.Решите уравнение(7-а)∙(а+2)∙|х| = а-7.

Решение.

1.Если   7-а=0,т.е. а=7, то уравнение примет вид 0∙9∙|х|=0 или 0∙|х|=0, х-любое число.

2.Если  а+2=0, т.е. а=-2,то уравнение примет вид   9∙0∙|х|= - 9 или 0∙|х|= - 9 ,данное уравнение корней не имеет.

3.Если а≠7, а≠-2, то |х|=-  

 1)если а< -2, то правая часть данного уравнения  (- принимает положительные значения и х=± (- ),   т.е.         х=±

2) если а>-2,то правая часть данного уравнения (- ) принимает отрицательные значения и уравнение корней не имеет.

Ответ. Если а=7, х-любое число;

              если а ≥ -2, а≠7, то корней нет;

              если а< - 2, то х=±   .

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнение.

1)2∙|х|=а;

2)а∙|х-1|=0;

3)|х+4|=а;

4)(а+3)∙|х+2|=0;

5)а∙|х+4|=3а;

6)а∙|х-1|=а∙(а-1);

7)(2-а)(а+2)∙|х|= а+2.

Ответ.1)если а<0, то корней нет; если а≥0, то х=±;

2)если а=0, то х-любое число; если а≠0, то х=1;

3)если а<0,то корней нет; если а=0, то х= - 4; если а>0, то х=а-4 или х= - а – 4;

4)если а= - 3, то х-любое число; если а≠ -3,то х= -2;

5)если а=0,х-любое число; если а≠0,то х= - 1или х= -7;

6)если а=0, то х-любое число; если а=1, то х=1;

если а<1,а≠0,то корней нет;если а>1,то х=- а +2 или х=а;

7)если а=-2, то х-любое число; если а≥2, то  корней нет; если а<2,а≠- 2,то х=±

 На следующем занятии рассмотрим дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр в знаменателе дроби.

 Используемая литература.

1.Алгебра 6 класс. А.Г. Мерзляк, В.П.Полонский, М.С.Якир. Москва,»Вентана-Граф» 2015.