Урок алгебры 9 класс "Методы замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными"

Методы замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными

На предыдущих уроках для решения систем уравнений мы научились применять графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сегодня рассмотрим метод введения новых переменных.

Метод замены переменной мы использовали в 8 классе при решении уравнений. Замена переменной помогает свести решение данного уравнения к решению более простого уравнения. Этот метод применяют и при решении систем уравнений. Разберем его на примерах.

1.

Рассмотрим первое уравнение: пусть,

Тогда

, найдем корни уравнения: . Так как , значит t = -13 не удовлетворяет условию и

Получаем систему:

Каждую систему удобнее решить сложением:

(1)

(2)

Ответ: (11; -14), (14; -11)

Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Давайте вспомним основные сведения о них:

Квадратное уравнение – уравнение вида , где х – переменная, а, b и с – некоторые числа, а ≠ 0.

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице.

Корень квадратного уравнения – значение переменной х, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Дискриминант квадратного уравнения – число

Формула корней через дискриминант

2.

Используя второе уравнение, под корнем выражение х + у можно заменить на 12,

Рассмотрим первое уравнение: пусть, тогда второе слагаемое можно заменить

Тогда  / *15t

, найдем корни уравнения: .

Получаем систему:

(1)

(2)

Ответ: (

3.  

Пусть ,

Ответ: (-6; -2), (6; 2)

4.

Рассмотрим первое уравнение: пусть . Тогда

, корни , t = -2 не удовлетворяет условию.

Ответ: (2/3; -2)

5.

Рассмотрим первое уравнение:

пусть  и 0 .

Тогда , .

.

Значит левую часть второго уравнения можно представить в виде:

Получаем систему:

(1)

 

 (2)

 

Ответ: (12; 24), (-2; 3)

6.

Пусть ,

Ответ: (-2; -3), (-2; 3), (2; -3), (2; 3)

Однородные системы уравнений – это системы уравнений, в которых все слагаемые, содержащие переменные, имеют одинаковую степень.

Для решения систем с однородными многочленами используют замену .

7.

Алгоритм решения таких систем:

Получить однородное уравнение, в левой части которого будут все переменные, а в правой – ноль.

Перед тем, как ввести замену, избавимся от 2 и 5 в правых частях. Домножим первое уравнение на -5, второе – на 2 и сложим, чтобы в правой части нового уравнения получился 0:

Разделить обе части полученного уравнения на

Так как у = 0 не является решение этого уравнения, то разделим данное уравнение на :

Ввести замену  и решить полученное квадратное уравнение

Пусть , тогда .

Ответ: ((

8.

Пусть

Разделим первое уравнение на второе:

Ответ: (-1; -3), (1; 3), (-3; -1), (3; 1)

Если равенство  является тождеством, то многочлен  называют симметрическим

Для решения систем с симметрическими многочленами используют замены            .

9.

Пусть , тогда значит

Ответ: (2; 1), (1; 2)

10.

Пусть

Ответ: (