Урок алгебры в 11 классе по теме "Решение показательных уравнений и систем уравнений"

УРОК АЛГЕБРЫ В 11 КЛАССЕ (подготовка к ЕНТ). 

Тема: Решение показательных уравнений и систем уравнений. 
Цель: 1) Продолжить работу по систематизации знаний учащихся о способах решения показательных уравнений. 
2) Развивать логическое мышление, математическую зоркость, память, внимание. 
3) Воспитывать математическую культуру, умение работать в группе. 

Ход урока. 
I. Повторение изученного материала. 
1. Опрос по теории (фронтальный). 
Закончить формулу: 
a^m * aⁿ =;     a^m : aⁿ =;     (a^m)ⁿ = 
(ab)ⁿ =;       (a/b)ⁿ =;      a⁰ =;          a^-n = 
2. Решить устно: 
29 * 16 ^¼ - 15 = 
2 * 125^1/3 – 0,90 = 
b^5,6 * 11b^0,4 = 
с^4,5 : 1/13 с^-0,5 = 
7с^5/6 – 2(с^1/6)⁵ = 
3. Решить задания на действия со степенями (у доски): 
63a³b : 18a²b = 
    c 
3⁶ * 9^-2 * 5⁴ – 9 *125 * (1/5)^-1 = 
4. Вспомнить способы решения показательных уравнений: 
1) Приведения обеих частей уравнения к одному основанию. 
2) Разложение на множители. 
3) Введение новой переменной. 
4) Логарифмирование обеих частей (о нем разговор позже). 
5) Искусственные приемы. 
Из предложенных уравнений выбрать те, которые соответствуют обозначенным способам решения (устно): 
1) 5^{х + 1} = 125        2) 4^{3 – 2х} = 2^{2(х - 1)} 
3) 2^х + 2^{х + 1} = 12             4) 5^{х – 2} – 5^{х – 1} + 5^х = 21 
5) 2 * 9^х – 3^{х + 1} – 9 = 0             6) 25^х – 26 * 5^х + 25 = 0 
(далее предложить эти уравнения для домашней работы). 

II. Решение показательных уравнений (работа в группах). 
В зависимости от состава групп уровень сложности уравнений нарастает. Каждая группа решает по 3 уравнения, потом представляет свое решение (отчитывается о проделанной работе). 
Две слабые группы работают с листами самопроверки, на которых предложен ход решения заданий. Остальным группам предложить карточки с ответами, которые они должны получить. 
I, II группы (слабые) 
1. 3^{2х + 1} = 9^2х 
2. 7^{х + 2} – 7^х = 336 
3. 2 * 2^2х – 3 * 2^х – 2 = 0 
Дополнительное уравнение: 9^х – 3^х – 6 = 0 
III группа (средние) 
1. 2^{х2 – 6х + 0,5} =   1__ 
                         16√2 
2. 4^{х – 1} + 4^х + 4^{х + 1} = 84 
3. 3^4√х – 4 * 3^2√х + 3 = 0 
IV, V группы (сильные) 
1. 4 ^{(√(3х2 – 2х))} + 1 + 2 = 9 *2√(3х2 – 2х) 
2. 3 * 16^х + 2 * 81^х = 5 * 36^х 
3. 5^{2х – 1} + 2^2х = 5^2х – 2^2х + 2 

III. Искусственный прием решения показательных уравнений (разобрать у доски). 
1) (4 + √15)^х + (4 - √15)^х = 8 
Числа 4 + √15 и 4 - √15 являются сопряженными. 
Действительно (4 + √15)(4 - √15) = 16 – 15 = 1. 
Поэтому 4 - √15 =  1______ 
                                 4 + √15 
Введем новую переменную (4 + √15)^х = t > 0 
Получим: t + 1/t = 8 
t² – 8t + 1 = 0 
t₁ = 4 + √15; t₂ = 4 - √15 
(4 + √15)^х = 4 + √15; (4 + √15)^х = 4 - √15 
x = 1 (4 + √15)^х = 1______
                              4 + √15 
(4 + √15)^х = (4 + √15)^-1 
x = -1 
2) Пробуют по аналогии решить самостоятельно (на обороте доски – решение для проверки). 
(2 + √3)^х + (2 - √3)^х = 4 

IV. Решение систем показательных уравнений. 
1. Метод приведения к одному основанию. 
1) 8^{2х + 1} = 32 * 2^{4у – 1}                
 {                                           
   5 * 5^х-у = √25^{2у + 1}                 

2) 3^х * 9^у = 3                                    
  {                                           
   2^{у - х} =  1                               
    2^х      64 

2. Метод введения новых переменных. 
1) х + 5^{у + 2} = 9      5 ^у+2 = t
 {                                  
   2х – 5^{у + 3} = 11   

2) 3 * 7^х – 3^у = 12                    7^x = a
  {                                           
   7^х * 3^у = 15                           3^y = b

Итог урока: Обобщить различные способы решения показательных уравнений и систем уравнений. 

Домашнее задание (дифференцированное, выборка из сборников тестов подготовки к ЕНТ). 
«-» 1) 5^{х + 1} = 125 
2) 4^{3 – 2х} = 2^{2(х - 1)} 
3) 2^х + 2^{х +1} = 12 
4) 5^{х – 2} – 5^{х – 1} + 5^х = 21 
5) 2 * 9^х – 3^{х + 1} - 9 =0 
6) 25^х – 26 * 5^х + 25 = 0 

«+» 1) 2^{х + 2} - 2^{х + 3} – 2^{х+ 4} = 5^{х + 1} – 5^{х + 2} 
2) (√(6 – х)) (5^{х2 – 7,2х + 3,4} - 25) = 0 
3) 2 * 25^х – 5 * 10^х + 2 * 4^х = 0 
4) 5^(sinx)2 – 25^cosx = 0 
5) 2 * 4^х + 3 * 5^у = 11 
  { 
    5 * 4^х + 4 *5^у = 24 
6) 27^х = 9^у 
  { 
   81^х : 3^у = 243 

Оценки выставить учащимся сильных и средней групп. 

Замечание: Отчет о работе групп провести следующим образом: 1) учащиеся одной слабой группы отправляются в три другие группы и рассказывают им, как решили свои уравнения: оставшаяся слабая группа решает дополнительное уравнение уже без подсказки; 2) затем учащиеся средней группы расходятся по группам и защищают свои уравнения; 3) учащиеся сильной группы показывают свои решения на доске.

Краткое описание документа:

Конспект урока содержит задания на применение различных подходов к решению показательных уравнений и систем показательных уравнений с опорой на правила действий со степенями. Предлагаются задания различного уровня сложности, в том числе и нестандартные. Предполагается дифференцированный подход к обучению учащихся.