Урок математики "Применение производной к исследованию функции"

Урок математики в 11 классе

Тема: «Применение производной к исследованию функций».

Тип  урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Форма проведения урока: урок-практикум

Участники: 11 А класс

Цели урока:

·        Обучающие : сформировать умение комплексного применения знаний, умений, навыков и их перенос в новые условия;  проверить знания,  умения, навыки учащихся по данной теме, продолжить подготовку учащихся к ЕГЭ по математике.

·         Развивающие: содействовать развитию мыслительных операций: анализ, синтез, обобщение; формированию умений  самооценки и взаимооценки.

·         Воспитательные: содействовать формированию навыков и потребности умственного труда, убежденности в научных методах исследования; воспитанию чувства ответственности и инициативности; формированию способности к позитивному сотрудничеству; формированию творческой деятельности учащихся.

·         Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД:

1)    предметные: обучающиеся должны знать основные формулы и правила дифференцирования, уметь применять производную к исследованию функции, нахождению наибольшего и наименьшего значения функции,  ; анализировать, осмысливать и составлять план применения геометрического смысла производной;

2)    метапредметные: учащиеся должны обнаруживать и формулировать учебную проблему ; осуществлять  самооценку и самокоррекцию учебной деятельности, саморефлексию; уметь понимать точку зрения другого, слушать;

3)    личностные: обучающиеся должны уметь  объяснять самому себе свои отдельные ближайшие цели саморазвития, понимать и осознавать социальную роль ученика; проявлять положительное отношение к урокам математики, интерес к способам решения новых учебных задач, понимать причины успеха или неуспеха в своей учебной деятельности.

Познавательные УУД: уметь ориентироваться в своей системе знаний; добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя  свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).

Коммуникативные УУД: уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им; выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Регулятивные УУД:  уметь  определять и формулировать цель на уроке; проговаривать последовательность действий на уроке;  работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать свое предложение; регулировать свою волю в ситуации затруднения.

Личностные УУД: уметь  осуществлять  самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности; формировать учебную мотивацию;     понимать необходимость приобретения новых знаний; уметь аргументировать свою точку зрения; стремиться к усвоению общественных норм и правил поведения, моральных ценностей.

Основные понятия:

производная, основные формулы и правила дифференцирования, геометрический смысл производной, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значения функции.

Ресурсы:

учебник «Алгебра и начала математического анализа»  10-11 классы, Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Издательство «Просвещение»,

 раздаточные материалы, тетрадь, доска, проектор.

Ход урока.

1.Организационный этап (слайд1).

Задачи этапа: создать благоприятный психологический настрой на работу.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей: " Посмотрите, друг другу в глаза, улыбнитесь глазами, пожелайте друг другу удачи, хорошего настроения на весь учебный день".	Дети соприкасаются пальчиком с соседом по парте и говорят: -желаю (большой) -успеха (указательный) -большого (средний) -во всем (безымянный) -и везде (мизинец -Здравствуй (вся ладонь). Включаются в деловой ритм урока.	1 мин.	Коммуникативные:   планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: организация своей учебной деятельности. Личностные: мотивация учения.

2. Актуализация знаний (слайд 2). 

Задачи этапа: актуализация опорных знаний и способов действий.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Организация устного счёта и повторения основных типов заданий на применение производной. 1.Функция определена на отрезке [-4;4]. На рисунке изображён её график. а). Найдите точку минимума этой функции на интервале(-3;3). б) В какой точке она принимает своё наименьшее значение? 2. Тело движется по закону x(t)=2t3 -2,5t2 + 3t +1. Найти скорость тела при t=1c. (4 с.) 3. Количество  электричества,  протекающего  через  проводник начиная  с  момента  t = 0,  задаётся  формулой  q = 3t2 + t + 2.  Найдите  силу  тока  в  момент  времени  t = 3 (19 А) 4. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).  На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.  Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)? Вопросы:  Геометрический и физический смыслы производной? Какие приемы помогают быстрее вычислять?	Участвуют в работе по повторению: - выполняют вычисления устно; - отвечают на вопросы учителя  (на доске вывешиваются таблицы: «Определение производной», «правила дифференцирования»)	3 мин.	Познавательные: структурирование собственных знаний. Коммуникативные: организация и планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками. Регулятивные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Личностные: оценивание усваиваемого материала

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся(слайды 3-5).

Задачи этапа: обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Мотивирует учащихся, вместе с ними определяет тему и цель урока, акцентирует внимание учащихся на значимость темы. 1)      Решить задачу: Из прямоугольного листа жести размером 25 х 40 см надо изготовить открытую коробку наибольшего объема. Для изготовления коробки надо вырезать квадратные уголки. В зависимости от длины вырезаемого квадрата получаются коробки, имеющие различные объемы. Поэтому необходимо рассчитать размеры вырезаемых квадратов, при которых коробка имеет наибольший объем 2)Какова тема нашего урока? Его цели? (слайд 4) 3)  Согласны ли вы со словами Н.И. Лобачевского «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»?	Решают задачу практического содержания. Отвечают на вопросы учителя. Записывают в тетрадь дату, определяют тему и цели урока: "Применение производной".	5 мин	Познавательные: умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме. Личностные: самоопределение, формирование нравственных суждений. Регулятивные: целеполагание. Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

4. Физкультминутка (слайд 6).

Задачи этапа: смена деятельности.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся. Давайте немного отдохнём. Видео-ролик "Веселая зарядка"	Учащиеся поднимаются с мест и повторяют действия. Учащиеся сменили вид деятельности и готовы продолжить работу	1 мин.	Регулятивные: умение соотносить свои действия с действиями учителя. Личностные: умение применять  способы снятия напряжения, концентрации внимания, умение включаться в общую деятельность, развивать творческий потенциал.

5. Применение знаний и умений при решении практической задачи (слайды 7-10).

Задачи этапа: показать разнообразие применения производной в различных сферах деятельности человека.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Организация и контроль за процессом решения (слайд 7): - повторить алгоритм применения производной к исследованию функции; - самостоятельно решить практические задачи (задания разноуровневые) (Приложение 2) Проверка работы (слайды 8-10): 1 вариант – базовый уровень 2 вариант – профильный уровень Учащиеся получают "информационные листовки" (Приложение 3).	Работают  в группах над поставленными задачами Можно пользоваться Памяткой (Приложение 1)  На конкретных примерах совершенствуют навыки их применения. Пользуются "Памятками" (Приложение 1) Проверяют свои работы. Знакомятся с информацией о применении производной в физике, химии, географии.	10 мин.	Познавательные: формирование интереса к данной теме. Личностные: формирование готовности к самообразованию. Коммуникативные: умение оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других. Регулятивные: планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата.

Дополнительно для 2 группы:   Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.(слайд11)

Задачи этапа: дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок. Проверка практической работы.	Учащиеся анализируют свою работу, выражают в слух свои затруднения и обсуждают правильность решения практических задач. Обсуждают проблему. Находят объяснение.	8 мин.	Личностные: формирование позитивной самооценки, умения принимать причины успеха (неуспеха), навыков морального поведения. Коммуникативные: планируют сотрудничество, используют критерии для обоснования своих суждений. Регулятивные: умение самостоятельно адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы.

8. Рефлексия.(слайд 12)

Задачи этапа: дать количественную оценку работы учащихся.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Подводят итоги работы групп и класса в целом. Организуют обсуждение: ·         Какова была тема урока? ·         Какую задачу ставили? ·         Каким способом решали поставленную задачу?	Учащиеся подводят итоги своей работы: - На сегодняшнем уроке я узнал… - На этом уроке я похвалил бы себя за … - После урока мне захотелось… - Сегодня я сумел…	3 мин.	Регулятивные: оценивание собственной деятельности на уроке.

9.Информация о домашнем задании.(слайд 13)

Задачи этапа: обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Время	Формируемые УУД
Даёт комментарий к домашнему заданию.	Учащиеся получают  домашнее задание (выбор: базовый уровень, профильный уровень). (Приложение 4)	2 мин.

Приложение 1.

Алгоритм

исследования функции с помощью производной

1.	Найти производную функции.
2.	Приравнять производную к нулю и найти стационарные точки  ( решить уравнение
3.	Отметить стационарные точки на числовой прямой и определить знак производной на каждом интервале. Снизу стрелками показать поведение функции.
4.	Если сли
5.	Если  меняет знак с «-» на «+» при переходе через стационарную точку , то  - точка минимума. Если  меняет знак с «+» на «-» при переходе через стационарную точку , то  - точка максимума.

Алгоритм

нахождения наибольшего и наименьшего значений функции 

на отрезке [a; b]

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка этого отрезка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой эта функция принимает наименьшее значение.

1.	Найти область определения функции	хϵ(-∞;+∞)
2.	Найти производную функции
3.	Найти стационарные точки функции: решить уравнение
4.	Определить, какие из найденных точек принадлежат данному отрезку.
5.	Найти значения функции в стационарных точках, принадлежащих данному отрезку.
6.	Найти значения функции на концах отрезка, т. е.
7.	Среди найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Приложение 2.

Базовый уровень

1.     Определите размеры открытого бассейна объемом V = 32 м³ , имеющего форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, на облицовку стен и дна которого уйдет наименьшее количество материала.

2.     Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трёх сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь его при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

3. Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000 кв. м боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной 1000 м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?

Профильный уровень

1. Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x³ + 600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

2. Опытным путем установлены функции спроса q= (𝑝+8):( 𝑝+2) и предложения s = p+0,5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p - цена товара.

3. Электронагревательный прибор потребляет мощность от источника тока, ЭДС которого равна 3В, а внутреннее сопротивление равно 2Ом. Какое сопротивление должен иметь прибор, чтобы в нем выделялась максимальная мощность?

4. Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К=х³ +98 х² +200 х .

5. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U0 с начальной высоты h0, меняется по закону h =h0+U0*t-gt2 /2, где g » 10м/c – ускорение силы тяжести. Покажите, что энергия камня Е=тv2 / 2 + mgh, где т – масса снежка, не зависит от времени.

Приложение 3.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

         Производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Еще Гете сказал: "Просто знать - ещё не всё, знания нужно использовать".

1. Производная в физике

·        Скорость и ускорение. Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости. Скорость произвольно движущейся точки является векторной величиной, так как она определяется с помощью вектора — перемещения точки за промежуток времени.

·        Работа. Если сила F постоянна, то работа А равна произведению F на длину пути. Если сила меняется, то ее можно рассматривать как функцию от х, т. е. F = F(x). Приращение работы ∆ А на отрезке [x; x + ∆ x] нельзя точно вычислить как произведение F(x)dx, так как сила меняется на этом отрезке. Однако при маленьких dx можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет собой главную часть ∆ А, т. е. является дифференциалом работы: dA = F(x)dx. Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

·        Заряд.Пусть q – заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока I постоянна, то за время dt ток перенесет заряд, равный Idt. При силе тока, изменяющейся со временем по некоторому закону I = I(t) произведение I(t)dt дает главную часть приращения заряда на маленьком отрезке времени [t; t + ∆t], т. е. является дифференциалом заряда: dq = I(t)dt. Снова получаем, что сила тока является производной заряда по времени.

·        Масса тонкого стержня. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки l по некоторому закону ρ=ρ(l). Если на маленьком отрезке стержня [l; l + dl] мы будем считать плотность постоянной и равной ρ(l), то произведение ρ(l)dl дает нам дифференциал массы – dm. Это значит, что линейная плотность – это производная массы по длине.

·        Теплота.Рассмотрим процесс нагревания какого-либо вещества и будем вычислять количество теплоты Q(T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0° до T° (по Цельсию). Считая на малом отрезке [T; T + dT] удельную теплоемкость постоянной, мы получим дифференциал теплоты dQ как c(T)dT. Поэтому теплоемкость – это производная теплоты по температуре.

·        Работа как функция времени. При работе с постоянной мощностью N работа за время dt равна Ndt. Это выражение представляет собой дифференциал работы, т. е. dA = N(t)dt и мощность выступает как производная работы по времени.

2. Производная в электротехнике

Двадцатый век называют по-разному. И ядерным веком, и ракетным, и космическим. Но самым точным было и остается название: век электричества. Доказывать это не нужно. Достаточно посмотреть вокруг. В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени I = q΄(t).

3. Задачи на максимум и минимум

 Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставят вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Наиболее важной для приложений ситуацией является следующая: функция f задана на отрезке [a;b] и имеет производную во всех точках этого отрезка. Тогда для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции надо поступить так: Найти критические точки (в данном случае корни производной), вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, из найденных значений найти наибольшее и наименьшее.

4. Экономическое приложение производной.

Экономическая интерпретация производной В экономической теории активно используется понятия связанные с производной. Производная является мощным средством решения прикладных задач. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: 

·        Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; 

·        Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;

·        Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

5. Применение производной в химии и биологии

 Производная характеризует в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда у + ∆у = x(t+∆t)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+∆t, а ∆y + x(t + ∆t )- x(t) - изменение числа особей организмов. Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции.

6.  Применение производной в медицине.

Применение дифференциального исчисления в медицине сводится к вычислению скорости. Например, скорости восстановительных реакций и скорости релаксационного процесса. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, изменении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. С помощью производной можно вычислить, при какой дозе лекарства реакция организма максимальна. С помощью второй производной можно определить условия, при которых скорость процесса наиболее чувствительна к каким-либо воздействиям

7. Применение производной в алгебре

1. Применение производной к доказательству неравенств. Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной.

2. Применение производной в доказательстве тождеств. Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться одним очевидным замечанием: Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее производная на этом интервале постоянно равна нулю.

 3. Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений.

4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений. С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций.

Приложение  4.

Базовый уровень 1.       Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/ 2 + 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. 2.       Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки? 3.       Михаил решил сделать своей маме подарок к 8 Марта и заказал другу юности Денису шкатулку из драгоценного металла. В мастерскую он принес кусок листа из этого металла размером 80 Х 50 см. Требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и загибая оставшиеся кромки. 4.       Периметр прямоугольника равен 60 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей? 5.       С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полета стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле h = -5tˆ2 + 50t + 20 (приближенное значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/сˆ2). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

Профильный уровень 1.       Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y = 50x – 0,05 x3 . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 10 ед. 2.       Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия с помощью производной. 3.        На странице книги печатный текст занимает 384 см 2 . Верхнее и нижнее поле страницы – по 3 см, правое и левое – по 2 см. Если принять во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть выгодные размеры страницы? 4.        Требуется огородить прямоугольный участок земли площадью 294 м² и разделить этот земельный участок забором на 2 равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется минимальной? 5.       Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20.

Краткое описание документа:

рассматриваются задачи практического применения производной в различных сферах жизни человека