Урок математики в 10 классе по теме:"Синус, косинус, тангенс и котангенс".

Урок алгебры и начала анализа в 10 классе (физико-математический профиль).

Тема урока: Синус и косинус. Тангенс и котангенс.

Цели:

1)      Совершенствовать умения работать с числовой окружностью. Ввести новые понятия.

2)      Развивать умение анализировать, умение общаться.

3)      Воспитывать внимательность, любознательность.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Повторение

На доске построены 2 макета числовой окружности, где R=1.

Вопросы классу:

1.       Какова длина окружности?

2.       Назовите точку, которой соответствует число t=0? (точка А)

3.       Каков смысл числа t, соответствующего какой-то точке M единочной окружности? (длина дуги АМ)

4.       Назовите число t, соответствующее каждой выделенной точке на макете ., на макете2.

5.       Вывод: M (t) = M (t+2πk), k Є Z

6.       Назовите декартовые координаты всех отмеченных точек на J

Макет 1                                                                                             Макет 2

(1 ученик                                                                                          (2-ой ученик

записывает)                                                                                    записывает)

Вывод:  Для точек  М_1, М₂, М₃, М₄ 1-го макета получили числа  и -; для 2 макета: ±; ±.

7.       Покажите на предложенной модели точку М (1), между какими точками она находится?

III Основная часть.

1) Из курса геометрии вам знакомы понятия: синус угла, косинус угла, тангенс угла и котангенс угла треугольника.

В технической практике встречается много периодических процессов на основе простейших механизмов, где круговое движение преобразуется в прямолинейное, работают многие машины и станки.

Так пусть колесо К насажено на ось О и соединено посредством пальца М с рамкой N (рисунок )

При вращении колеса вокруг его оси палец М совершает круговое движение, увлекая за собой рамку; последняя скользит вдоль направляющих ее станин F и совершает колебательное периодическое движение.

Если рамку N соединить посредством штока Е с какой-нибудь деталью (например, с поршнем насоса), то последняя будет совершать такое же движение, которое совершает рамка, то есть прямолинейное [Андронов и к]

Задача. Пусть колесо вращается равномерно против часовой стрелки, делая за 40 секунд полный оборот. Тогда угловая скорость вращения  =  рад/с, следовательно, палец М опишет за t секунд дугу  ∙ t рад. Найти расстояние ОQ пройденное штоком за 5 секунд.

Решение. В каждый момент времени расстояние от рамки до оси абсцисс будет равно расстоянию пальца М от этой оси, то есть ординате точки М. Вспомнив, каким образом связана с осями координат числовая окружность, можно считать, что точка М движется по окружности, описывая ее в течение 20 секунд. Задача сводится к нахождению катета МР прямоугольного треугольника ОРМ. Находим МОР = , тогда МР = sin = . При движении колеса меняется положение точки М(), а вместе  с ней изменяется и ее ордината у = ОQ = МР = sin(). Переменная величина у зависит от переменной , а именно: каждому значению величины  соответствует определенное значение величины у. Таким образом, функция sin() ставит в соответствие числу  ординату М.

Сегодня мы будем говорить о синусе числа t, косинусе числа t, тангенсе числа t.

На единичной окружности возьмем точку М, которой соответствует число t.

Знаем, что М(t) = M (x;y),  тогда  абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

Примеры.

1)      Используя макеты 1 и 2 найдите sin t и cos t, если

а)  t=, найдем на макете 2 точку М().

                                                    

Решение:

Так как t=, а sin t = у_м, то sin=,

cos t = х_м, то cos =-

б) t =

Знаем, что М ( ) = М (  + 2*5) = М (), найдем эту точку на макете 1.

Так как  sin t = у_м, то sin = - ,

cos t = х_м, то cos = -.

2)      Решение уравнений

а) sin t = -

Покажем на числовой окружности точку с ординатой у = - .

Это точки М₁ и М₂, они соответствуют числам  -  (точка М₁) и -  (точка М₂)

Тогда решение уравнения

sin t = -  имеет вид:

t = -  + 2 k, t = -  + 2 k, k Є Z.

3)      Сравнение sin1 и sin2.

Знаем, что <1<,

Тогда 2 ·  < 2 < 2 · ,

                < 2 < .

С помощью числовой окружности заметим, что

sin1 < sin, а

sin2 < sin, но

sin =  sin = , тогда получим, что sin1 < sin2.

Знаем, что tgt = ,  cos t ≠0.

Тогда с помощью числовой единичной окружности это можно показать так:

Прямую,параллельную оси ординат и проходящую через т.А(1;0) назовем осью тангенсов.

Заметим, что tg t = tg (t+) =  tg (t+n),  n Є Z.

Видим, что невозможно найти tg t, если cost = 0, то есть при t = +n, n Є Z.

Вывод: говоря о tg t подразумеваем, что t ≠  + n, n Є Z.

Знаки tgt мы легко определяем, глядя на ось тангенсов.

Вопрос для д/з: Почему именно эту прямую мы приняли за ось тангенсов.

ctgt = ,  sint ≠ 0, то

с помощью числовой окружности это будет выглядеть так:

Прямую, параллельную оси абсцисс, проходящую через точку В (0;1) назовем осью котангенсов. ( Почему? Подумайте дома).

Тогда

ctg t = ctg (t+π) = ctg (t+ πn), n Є Z и t ≠ πk, k Є Z

Запишите домашнее задание:

1.       §13 – прочитайте и запишите некоторые свойства sint и cost, изложенные в параграфе.

2.       Выполнение

№ 13.5(б), 13.11, 13.23(а), 13.27(а,в), 13.33(а)

Оцениваем работу учащихся на данный момент.

Далее работаем самостоятельно или в парах.

№ 13.4(а,г), 13.15(а,б), 13.27(г), 13.28(а).

Проверяем в парах с записями на доске (скрыта информация).

Дополнительно (для тех, кто все выполнил верно) «13.36(а,в), 13.34(а).

Оцениваем работу учащихся, хорошо справившихся с заданием.