Урок "Основные правила комбинаторики"

• 1 слайд

  Основные правила комбинаторики
  

• 2 слайд

  План:
  Историческая справка.
  Правило суммы.
  Правило произведения.
  Основные комбинаторные соединения:
  Перестановки
  Размещения
  Сочетания
  
  
  

• 3 слайд

  Историческая справка
  Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время казалось, что комбинаторика лежит вне основного русла развития математики и ее приложений. Положение изменилось после появления вычислительных машин и связанного с этим расцвета конечной математики. Сейчас комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике, биологии, планировании экспериментов, расшифровке кодов ДНК и т.д.
  
  

• 4 слайд

  Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами. Если n(А)=а, n(В)=b и А∩В=Ø, то n(АUВ)=а+b.
  
  Правило суммы
  

• 5 слайд

  Пример: В классе 16 девочек и 11 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать старосту класса?
  
  Правило суммы
  

• 6 слайд

  Правило суммы
  Решение:
  n(A)=16
  n(B)= 11
  
  
  

• 7 слайд

  Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами. Если n(А)=а и n(В)=b, то n(А×В)=аb.
  
  Правило произведения
  

• 8 слайд

  Пример: Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое пар туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?
  
  Правило произведения
  

• 9 слайд

  Правило произведения
  Решение:
  n(A)=4
  n(B)= 5
  n(С)= 3
  
  

• 10 слайд

  Основные комбинаторные соединения
  Перестановки
  Размещения
  Сочетания
  
  

• 11 слайд

  Размещение
  Размещением из k по n называется n-элементное упорядоченное подмножество k-элементного множества
  
  

• 12 слайд

  Размещение без повторения
  Важен порядок и состав!
  

• 13 слайд

  Размещение с повторениями
  Важен порядок, состав и повторение!
  

• 14 слайд

  Размещение
  Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить: сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
  
  

• 15 слайд

  Размещение
  Решение. 
  Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет 
  
  Если цифры не повторяются, то 
  
  

• 16 слайд

  Перестановки
  Перестановкой из п элементов называется п-элементное упорядоченное множество
  

• 17 слайд

  Перестановки без повторений
  Важен порядок!
  

• 18 слайд

  Перестановки с повторением
  Важен порядок, повторение!
  

• 19 слайд

  Перестановки
  Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
  
  

• 20 слайд

  Перестановки
  Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет 
  А три книги можно переставлять между собой   способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно:
    * =3!*28!
  
  

• 21 слайд

  Сочетания
  Сочетанием из п по k называется k-элементное подмножество п-элементного множества.
  
  

• 22 слайд

  Сочетания без повторений
  Важен состав!
  

• 23 слайд

  Сочетания с повторениями
  Важен состав, повторения!
  
  

• 24 слайд

  Сочетания
  Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
  
  

• 25 слайд

  Сочетания
  Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа
  сочетаний: