Урок "Пирамида. Правильная пирамида" 10 кл.

• 1 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  геометрия
  10 класс
  Тема урока: Пирамида.
  Правильная пирамида.
  
  2021
  Учитель: Рогачева Татьяна Викторовна
  

• 2 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Пирамида
  Многогранник, составленный из n-угольника А1А2А3…Аn и n треугольников РА1А2, РА2А3, … , РАnА1 называется пирамидой.
  Точка Р – называется вершиной пирамиды.
  Отрезки РА1, РА2, … , РАn называются боковыми рёбрами пирамиды.
  

• 3 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием пирамиды.
  Многоугольник А1А2А3…Аn называется основанием пирамиды.
  

• 4 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Треугольники РА1А2, РА2А3, … , РАnА1 называются боковыми гранями пирамиды.
  

• 5 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Четырехугольная пирамида
  Треугольная пирамида
  Шестиугольная пирамида
  

• 6 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Высота пирамиды
  Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
  
  

• 7 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Площадь поверхности пирамиды
  Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.
  Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней, то есть основания и боковых граней
  

• 8 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Правильная пирамида
  Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
  

• 9 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Правильная пирамида
  Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
  

• 10 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Теорема:
  Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
  Доказательство.
  Докажем на примере правильной треугольной пирамиды SABC.
  Рассмотрим треугольники SMA, SMC и SMB.
  АМ=ВМ=СМ (как радиусы описанной окружности), SМ – общая высота, значит, треугольники равны по двум катетам.
  Следовательно, AS=BS=CS.
  2) Рассмотрим треугольники SCA, SCB и SAB.
  По доказанному выше AS=BS=CS (значит, они являются равнобедренными), с другой стороны АС=ВС=АВ (так как в основании правильный треугольник), следовательно, треугольники SCA, SCB и SAB равны по трём сторонам.
  ЧТД.
  

• 11 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Апофема правильной пирамиды
  Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.
  
  

• 12 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
  Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
  Росн – периметр основания,
  l – апофема.
  

• 13 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Доказательство.
  Докажем на примере произвольной пирамиды РА1А2…Аn.
  
  1) Рассмотрим боковую грань РА1А2. Это равнобедренный треугольник с основанием А1А2. Площадь этого треугольника равна:
  где РК – апофема,
  А1А2 – сторона основания.
  
  Аналогично будут вычисляться площади других граней
  
  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
  

• 14 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
  Доказательство (продолжение)
  ЧТД
  

• 15 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Плоскость, проведенная через боковое ребро и высоту правильной треугольной пирамиды перпендикулярна ребру основания и содержащей его боковой грани.
  Доказательство
  Пусть SABC – правильная треугольная пирамида.
  Тогда ΔАВС – равносторонний, ΔВSС- равнобедренный.
  АМ и SМ – высоты и медианы этих треугольников.
  АМ ⊥ВС и SМ ⊥ВС, следовательно ВС ⊥(АМS) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
  Тогда, (ВSС)⊥(АМS) по признаку перпендикулярности плоскостей.
  

• 16 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Задача
  
  В треугольной пирамиде DАВС АВ=АС=13 см, ВС=10 см, ребро АD перпендикулярно плоскости основания и равно 9 см .
  Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
  

• 17 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Задача
  Дано: DABC – пирамида,
  АВ=АС=13см, ВС=10см,
  АD⊥(АВС), АD=9см.
  Найти: Sбок.
  Решение
  DА⊥ (АВС), поэтому ΔDАВ и ΔDAC прямоугольные.
  ΔDАВ = ΔDAC, т.к. АВ=АС по условию, АD – общая сторона.
  ВD=DС как соответствующие стороны равных треугольников, поэтому ΔВDC – равнобедренный.
  

• 18 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Решение (продолжение)
  3. ΔАВН – прямоугольный.
  АН²=АВ²-ВН²=13²-5²=144, АН=12см.
  4. ΔАDН – прямоугольный,
  DН²=АН²+АD²=12²+9²=225, DН=15см.
  SΔВDС =0,5⋅ ВС⋅DН=0,5⋅10⋅15=75cм²
  
   
   
   
  
  
  
  SΔАВD=0,5⋅ АВ⋅АD=0,5⋅13⋅9=58,5cм²
  Sбок.=2⋅ SΔАВD+ SΔВDС=2⋅58,5+75=192см²
  
  Ответ: 192см².
  

• 19 слайд

  ГБОУ школа №103 Выборгского района Санкт-Петербурга
  Что такое пирамида?
  Что может лежать в основании пирамиды?
  Какая пирамида называется правильной?
  Что называется апофемой пирамиды?
  Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?
  Как найти площадь полной поверхности пирамиды?
  Вопросы для самопроверки:
  

Краткое описание документа:

Авторская презентация с озвучиванием (видеоурок).Тема "ПИРАМИДА. ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА" 10 кл. Геометрия.