Урок по алгебре "Разность квадратов"

• 1 слайд

  «У математиков существует свой язык-это ФОРМУЛЫ»
  С. В. КОВАЛЕВСКАЯ
  (1850-1891)
  

• 2 слайд

  История создания страны формул:
  Еще в глубокой древности было замечено, что некоторые многочлены можно умножать быстрее, чем все остальные. Так, древнегреческими математиками еще до нашей эры (более 2000 лет назад) геометрическим способом были выведены некоторые формулы, которые получили название формулы сокращенного умножения.
  Диофант Александрийский
  (III век н. э.) — древнегреческий математик.
  

• 3 слайд

  Возведите в квадрат:
  3; 4а; ; mn; 0,6в.
  
  2) Представьте в виде квадрата одночлена:
  9в2; 16m4; 0,09х10; 0,81m2n2; х4у6.
  
  3) Прочитайте выражение:
  c – m; 5х + 2у; (m + n)2; х2 + у2; (а – в)2; c2 – d2; (2х + 3у)(2х – 3у).
  

• 4 слайд

  Письменно в тетради:
  Разложите на множители:
  а) 5а – 15;
  б) ав – в2;
  в) р2х + рх2;
  г) х2 + 6ху + 9у2;
  д) а(а + в) – 5в(а + в);
  е) ху + хz + 6у + 6z;
  ж) х2 – 100;
  з) 9 – 4х2.
  

• 5 слайд

  Р
  а
  з
  н
  о
  с
  т
  ь
  
  квадратов
  
  Левую и правую части можно поменять местами, тогда получаем:
  
  
  
  Формула «разность квадратов» очень удобна для разложения многочленов на множители.
  
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.
  а ² - Ƅ² = ( а - Ƅ)(а – Ƅ)
  

• 6 слайд

  Геометрический способ доказательста
  

• 7 слайд

  Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов выражение:
  
  а) а² - 16d²;
  б) 25с² + 9s²;
  в) 100t²- 25c²;
  г) -64 +а¹⁰
  д) -а¹² - 49с⁸
  е) – 0,01а⁴ +0,04k⁴
  ПРОВЕРЯЕМ :
  а) да
  б) нет
  в) да
  Г) да
  Д) нет
  е) да
  

• 8 слайд

  Первичное закрепление
  нового материала
  Каким из данных произведений многочленов тождественно равен многочлен а²-144
  
  (а –12)(а+12)
  (12-а)(12+а)
  1
  2
  3
  (12-а)(-12-а)
  4
  ( а – 12)²
  

• 9 слайд

  Первичное закрепление
  нового материала
  Какое из данных равенств является тождеством :
  1
  2
  3
  -49+в²=(в-49)(в+ 49)
  4
  -49+в²=(в-7)(в+ 7)
  
  -49+в²=(7-в)²
  -49+в²=(7-в)(7+в)
  

• 10 слайд

  Первичное закрепление
  нового материала
  Разложи на множители:
  1) b² - d²
  2) х² - 1
  3) - х² +1
  4) 36 - с²
  5) 4 – 25а²
  6) 49а² -100
  7) 900 – 81k²
  8)с²р² - 1
  9) 16х²- 121у²
  
  Проверяем :
  (b – d)(b + d)
  (х-1)(х+1)
  (1-х)(1+х)
  (6-с)(6+с)
  (2-5а)(2+5а)
  (7а-10)(7а+10)
  (30-9k)(30+9k)
  (ср-1)(ср+1)
  (4х-11у)(4х+11у)
  

• 11 слайд

  Первичное закрепление
  нового материала
  Решите уравнение :
  а) х² - 49 = 0
  б) ¼ -z² = 0
  в) х² + 36 = 0
  г) х² - 0,01 = 0
  д) 9х² - 4 = 0
  е) 0,04х² + 1=0
  Проверяем :
  а) х₁= 7; х₂= - 7
  б) z₁ = ½; z₂ = - ½
  В) нет корней
  Г) х₁= 0,1; х₂= - 0,1
  д) х₁= ²/₃ ²/₃; х₂= - ²/₃
  е) нет корней
  
  

• 12 слайд

  «Вылечи» равенство:
  а) 9b2 – 1 = (9b – 1)(9b + 1);
  б) 25х2 – 4у2 = (5х2 – 2у2)(5х2 +2у2);
  в) m2 + 16n2 = (m + 4n)(m – 4n).
  
  Первичное закрепление
  нового материала
  

• 13 слайд

  Первичное закрепление
  нового материала
  Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов :
  а) (х+2)²-49 =
  б) (х-10)² - 25у²=
  в) 25- (у-3)²=
  г) (а-4)²- (а+2)²=
  д) (8у+4)² - (4у-3)²=
  
  Проверяем :
  а) (х+9)(х-5)
  б) (х-10+5у)(х-10-5у)
  В) (8-у)(2+у)
  Г) -6 (2а-2)
  д) (12у+1)(4у+7)
  
  
  

• 14 слайд

  Используя формулу разности квадратов, вычисли :
  Решение:
  Как в числителе так и в знаменателе будем использовать формулу разности квадратов.
  В результате получим :
  
  53² - 27² = (53 + 27)(53-27) = 80•26 = 8•13 = 4•1 = 4
  79² - 51² (79 +51)(79-51) 130 •28 13•14 1•7 7
  
  
  53² - 27²
  79² - 51²
  

• 15 слайд

• 16 слайд

  Рефлексия
  я научился …
  я запомнил …
  я разобрался …
  я наконец-то запомнил…
  

• 17 слайд

  
  Спасибо за урок !
  

Елоева Оксана Нугзаровна,  ГБОУ «Республиканский физико- математический лицей-интернат», РСО-Алания, г. Владикавказ, учитель математики

Конспект урока по алгебре «Формула разности квадратов двух выражений» с презентацией для учащихся 7 класса.

                                   Урок математики в 7 классе по теме

                                   «Формула разности квадратов»

Цель урока: познакомить  учащихся с формулой разности квадратов.
Задачи урока: 
1.  создать условия для актуализации ранее полученных знаний  о разложении  многочленов на множители;

2. способствовать приобретению навыков разложения многочленов на множители с помощью формулы  a²– b²= (a– b)(a+ b)

3. способствовать развитию познавательного интереса учащихся.

4. развивать умение анализировать, обобщать, делать выводы, развивать математическую речь учащихся (устную и письменную); формировать навыки самоконтроля, взаимоконтроля.

Оборудование (оснащение урока): компьютер, мультимедийный проектор, презентация

1. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности

Образовательные задачи этапа. Обеспечение мотивации познавательной деятельности учащихся. Актуализация опорных знаний и умений. Создание условий для самостоятельной формулировки учащимися темы и целей урока. Форма организации обучения – фронтальная. Метод обучения – репродуктивный.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!». Давайте будем следовать совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.   Актуализация опорных знаний. 1)    Возведите в квадрат: 3; 4а; ; mn; 0,6в. 2)  Представьте в виде квадрата одночлена: 9в2; 16m4; 0,09х10; 0,81m2n2; х4у6. 3) Прочитайте выражение: c – m; 5х + 2у; (m + n)2; х2 + у2; (а – в)2; c2 – d2; (2х + 3у)(2х – 3у). Что мы изучаем на последних уроках алгебры? Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете? Письменно в тетради: Разложите на множители: а) 5а – 15; б) ав – в2; в) р2х + рх2; г) х2 + 6ху + 9у2; д) а(а + в) – 5в(а + в); е) ху + хz + 6у + 6z; ж) х2 – 100; з) 9 – 4х2. Создание проблемной ситуации и поиск путей выхода из нее. При обращении к заданию ж) и з)  возникает проблемная ситуация. Учащиеся не могут выполнить это задание. Почему?  Вопрос учителя о том, что представляет собой это выражение? Объявление темы урока. Какая задача стоит сейчас перед нами?	Учащиеся   встают,  приветствуя учителя,  садятся за свои рабочие места, проверяют наличие на рабочем месте всех необходимых учебных принадлежностей.  выполняют действия и показывают результаты  Повторяют способы разлагать на множители многочлены. - вынесение общего множителя за скобки; - способ группировки; Работают самостоятельно, затем объясняют, какими способами воспользовались в каждом случае, при выполнении заданий ж) и з) возникло затруднение, ни один из известных способов не годится. Не хватает знаний, опыта, нового способа действий, поэтому необходимо узнать новый способ, правило, формулу. Разность квадратов двух чисел. Формулируют тему урока, записывают ее в тетради. Формулировка цели урока. Вывести формулу разности квадратов,  разработать алгоритм разложения разности квадратов на множители.	Личностные: самоопределение, самоорганизация Личностные: осознание своих возможностей, фиксация индивидуального затруднения, смыслообразование Коммуникативные: умение слышать, умение правильно выражать свои мысли Познавательные: логические действия и операции (анализ объектов, сопоставление, построение логической цепи рассуждений, выдвижение гипотез и их обоснование) Регулятивные: целеполагание, планирование, волевая саморегуляция в ситуации затруднения Познавательные (проблемные): (формулируют проблему, ищут пути ее решения)

2. Усвоение нового материала

Образовательные задачи этапа. Организация деятельности учащихся по выводу формулы разности квадратов двух чисел, алгоритма разложения разности квадратов на множители. Восприятие, осмысление, первичное запоминание способа действий. Форма организации обучения – индивидуальная, дифференцированная. Метод обучения – репродуктивный, частично-поисковый.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
Выводим формулу разности квадратов. Запишите разность квадратов с помощью букв а и в. Какая задача стоит перед нами? Идет поиск выхода из проблемной ситуации. Можно сделать фокус или так называемый «искусственный прием»: прибавить к двучлену какой-нибудь одночлен и вычесть его.  Каким способом тогда можно будет воспользоваться? Тогда подумайте, какой одночлен можно использовать? Задание по группам: Каждый ученик 1 группы работает со схемой (по карточке), а 2 группа выводит формулу самостоятельно в тетради, один на доске. Какую формулу мы получили? Прочитайте ее. Откройте учебник поработайте с определением.	Записывают в тетради выражение а2 – - в2 Представить это выражение в виде произведения или разложить на множители. Способом группировки. Подбирают такой одночлен, который позволит применить способ группировки: ab. 1 группа: a2 – b2 = a2 – b2 + ab – ab = (a2 + ab) – (   ) = a(        ) – b(          ) = (a – b)(      ). 2 группа: a2 – b2 = a2 – b2 + ab – ab = (a2 + ab) – (b2 + ab)  = a( a + b) – b(a + b) = (a – b)(a + b) Формулу разности квадратов. Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы. Работают с учебником, запоминают формулу и определение.	Коммуникативные (планируют сотрудничество): ведение дискуссии, полное и точное выражение своих мыслей, учет разных мнений Познавательные: логические действия и операции (анализ объектов, синтез самостоятельным восполнением недостающих компонентов, построение логической цепи рассуждений) Регулятивные (контролируют результат деятельности, оценивают) Познавательные

Рассмотреть и геометрический способ доказательства формулы разность квадратов

3. Первичная проверка понимания

Образовательные задачи этапа. Установление правильности и осознанности усвоения

алгоритма разложения разности квадратов на множители. Форма организации обучения – фронтальная. Метод обучения – репродуктивный.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
Возвращаемся к проблемным заданиям ж) и з): разложить на множители х2 – 100 и 9 – 4х2. По алгоритму выполняем задание з), проговаривая каждый шаг: А всегда ли можно разложить на множители разность одночленов, применив формулу разности квадратов? Выясните, какие из выражений можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов. Самостоятельная работа по алгоритму с последующей самопроверкой (задания дифференцированные) (слайд Разложите на множители: *         Разложи на множители: *         1) b² - d² *         2)  х² - 1 *         3) - х² +1 *         4) 36 - с² *         5) 4 – 25а² *         6) 49а² -100 *         7) 900 – 81k² *         8)с²р² - 1 *         9) 16х²- 121у² Когда я готовилась к этому уроку, я взяла старые тетради учащихся прошлых лет и посмотрела, а какие ошибки совершали они, изучая эту тему. - Я предлагаю провести исследование этих решений. (слайд Для чего необходимы умения раскладывать разность квадратов на множители? Как с помощью формулы разности квадратов можно упростить вычисления, - А также формулу разности квадратов используют справа налево, и тогда ее предназначение в другом – выполнять сокращенно умножение. В этом случае она пополнит список формул сокращенного умножения. Но об этом мы будем говорить на следующем уроке.	Разбирают пошагово: ж) х2 – 100 = х2 – 102 = (х – 10)(х + 10). Выводят алгоритм: 1) Каждый одночлен представить в виде квадрата; 2) Записать в одной из скобок разность первых степеней, а в другой их сумму. На доске и в тетрадях: 9 – 4х2 = 32 – (2х)2 = (3 – 2х)(3 + 2х). Нет, можно применить формулу тогда, когда каждый одночлен представлен в виде квадрата. Выполняют № 853 устно, подробно объясняя, аргументируя свой ответ. Выполняют по алгоритму, затем проверяют по готовым решениям (слайд  Выполняют задание: «Вылечи» равенство: а) 9b2 – 1 = (9b – 1)(9b + 1); б) 25х2 – 4у2 = (5х2 – 2у2)(5х2 +2у2); в) m2 + 16n2 = (m + 4n)(m – 4n). Исправляют ошибки, объясняют смысл допущенных ошибок (слайд Для сокращения дробей, решения уравнений и для вычислений. Выполняют в тетради, один – на доске: 53² - 27² 79² - 51²	Познавательные (логические, общеучебные) Познавательные: логические действия(анализ, синтез, аналогия), выполнение действий по алгоритму Познавательные: анализ, подведение под понятие Регулятивные: контроль, коррекция, самооценка, саморегуляция ? Познавательные (общеучебные действия): выбор наиболее эффективных способов действий в зависимости от конкретных условий

4. Домашнее задание

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
Комментирует содержание домашнего задания	Записывают с 17 вар 3,	Регулятивные

5. Подведение итогов урока

Образовательные задачи этапа. Анализ и оценка работы учащихся на уроке. Формулировка учащимися итогов урока: достижение цели, освоение навыков разложения многочлена на множители с помощью формулы разности квадратов.

Форма организации обучения – фронтальная, индивидуальная.

Метод обучения – репродуктивный.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
Вопросы о достижении цели урока. . - Какую задачу ставили? - Удалось ли решить поставленную задачу? - Каким способом? - Какие получили результаты? - Что на уроке у вас получилось хорошо? - Кого можно оценить за работу в классе? - Какие еще затруднения остались? - Над чем еще надо поработать? - Как вы думаете, каким будет следующий шаг? 7   Рефлексия. Подведение итогов урока.  А теперь ребята продолжите предложение: *        я научился … *        я запомнил … *        я разобрался … я наконец-то запомнил Итак, ребята, сегодня мы с вами познакомились с формулой сокращенного умножения – разность квадратов. Но сегодня был только первый урок знакомства. Завтра мы с вами попробуем применять эту формулу для упрощения выражений, решения уравнений. VIII.   Оценивание.	Выставление отметок в дневник.   Вспомнить поставленную цель, озвучивание результата работы на уроке. Формулировка алгоритма.	Познавательные: рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. Личностные: Адекватное понимание причин успеха или неуспеха. Коммуникативные: четкое выражение своих мыслей, аргументация своего мнения, учет разных мнений, планирование дальнейшего учебного сотрудничества.

Краткое описание документа:

Цель урока: познакомить учащихся с формулой разности квадратов.

Задачи урока:
1. создать условия для актуализации ранее полученных знаний о разложении многочленов на множители;

2. способствовать приобретению навыков разложения многочленов на множители с помощью формулы a²– b²= (a– b)(a+ b)

3. способствовать развитию познавательного интереса учащихся.

4. развивать умение анализировать, обобщать, делать выводы, развивать математическую речь учащихся (устную и письменную); формировать навыки самоконтроля, взаимоконтроля.

Оборудование(оснащение урока): компьютер, мультимедийный проектор, презентация

1. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности

Образовательные задачи этапа. Обеспечение мотивации познавательной деятельности учащихся. Актуализация опорных знаний и умений. Создание условий для самостоятельной формулировки учащимися темы и целей урока. Форма организации обучения – фронтальная. Метод обучения – репродуктивный.