Урок по геометрии в 8 классе на тему "Теорема Пифагора и площадь четырехугольника"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 36»

Урок по геометрии в 8 классе

Тема: «Теорема Пифагора и площадь четырехугольника»

Автор:

Глотова Надежда Сергеевна, учитель математики 

г. Подольск, 2022

Методическая разработка по геометрии для учащихся 8 классов по теме

«Теорема Пифагора и площадь четырехугольника»

Цель урока заключается в применении знаний учащимися по темам «Теорема Пифагора», «Площадь четырехугольника» для решения задач, моделирующих реальные ситуации.

Задачи урока

Предметные – работать с текстом, применять математическую терминологию для выражения мысли, владеть понятийным аппаратом, интерпретировать результаты решения задач.

Метапредметные: 

Регулятивные – планировать пути достижения цели, выбирать наиболее рациональные способы решения задач, составлять план действий, осуществлять самоконтроль.

Познавательные – осуществлять смысловое чтение, умение составлять математическую модель задачной ситуации, использовать средства наглядности (рисунки) для интерпретации и аргументации, использовать приемы решения задач, устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения, уметь различать математическую задачу в окружающей реальности.

Коммуникативные – организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, распределять функции и роли, работать в группе, находить общее решение, формулировать, аргументировать и отстаивать свою позицию.

Личностные – готовность и способность к саморазвитию и самообразованию, умение грамотно, аргументированно излагать свои мысли устно и письменно, критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.

Тип урока: урок-практикум.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая (в парах).

Оборудование: компьютер, электронная доска, мобильные телефоны учащихся с возможностью сканировать qr-код.

Дидактические материалы: презентация, веревка с тринадцатью узлами (узлы завязаны на равном расстоянии друг от друга), фрагмент (один на парту) рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно», листы А4.

Ход урока

Организационный этап

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрически период. Все вокруг – геометрия» – Лю Корбюзье, французский архитектор.    Какое практическое       применение          геометрия   находит      в окружающем нас мире? 

Мотивационный этап

Чтобы построить прямой угол на местности в настоящее время существует множество способов, например, используя геодезический прибор экер (Рис. 1). Но какие старинные, известные нам способы построения прямого угла на поверхности земли, использовали люди? В древнем

Рис. 1

Египте строили прямой угол с помощью обычной веревки и колышков, вбитых в землю. Колышки вбивали на одинаковом расстоянии друг от друга, затем вокруг них узлами завязывали веревку так, чтобы они

делили     веревку    на    двенадцать    равных                    Рис. 2

отрезков. Обсудите в парах, в чем состоит этот «веревочный» способ.

Продемонстрируйте результат на веревке с тринадцатью узлами (Рис.2).  

Предложить         учащимся сформулировать    цель урока          на основании выполненного      задания 

(Рис. 3).

                                                                    Рис. 3

Этап актуализации знаний

Для решения задач урока понадобится вспомнить некоторые теоремы и формулы.

Задание 1. Сравните пары утверждений. Выберите верное утверждение и подчеркните в обоих утверждениях те слова, которые помогают отличить верное утверждение от неверного. Ответ в Приложении 2.

1.      Треугольник является прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон.

Треугольник является прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен разности квадратов двух других сторон.

2.      В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 60°, равен половине гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3.      Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции.

Площадь трапеции равна произведению суммы длин оснований на высоту трапеции.

Задание 2. Исправьте ошибку в описании формул для измерения площади треугольников так, чтобы оно стало верным. Запишите формулы, о которых идет речь в описании. Обменяйтесь в парах выполненным заданием и проверьте друг друга. Ответ в Приложении 2.

«В геометрии встречаются несколько способов измерения площади треугольника. Наиболее часто мы используем следующий способ: площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону. Греческий математик Герон Александрийский (Рис. 4) предложил другую формулу для вычисления площади Рис. 4

треугольника через известные длины его сторон: площадь треугольника равна квадратному корню из произведения его полупериметра на разности полупериметра и каждой из его сторон».  

Этап обобщения и систематизации знаний

Задание 3. В художественной литературе часто встречаются геометрические задачи, рассмотрим одну из них. В рассказе Л.Н. Толстого

«Много ли человеку земли     нужно»

крестьянин Пахом, одержимый страстью к        стяжательству,

хочет купить землю у башкира за бесценок (Приложение 1). 

                                                                                   Рис. 5

«Загибы» в повествовании указывают на поворот в 90°. Будем считать, что до первого поворота Пахом прошел 14 верст. Определите, какой площади участок обошел крестьянин Пахом (Рис. 5). Ответ в Приложении 2.

Этап закрепления знаний

Для того, чтобы вычислить площадь земельного участка, имеющего форму четырехугольника, современному человеку достаточно воспользоваться онлайн-калькулятором «Расчет площади участка сложной формы». Необходимо измерить несколько величин и ввести полученные значения в специальную форму (Рис. 6):

http://raschet.online/raschet-ploshhadi-uchastka-slozhnoj-formy.html

 

Рис. 6

Задание 4. Предположите, как программа производит расчет по представленному набору значений. Площадь каких четырехугольных участков земли нельзя вычислить с помощью этого калькулятора и почему?

Ответ в Приложении 2.

Этап подведения итогов занятия

Каждая пара получает лист А4. 

Задание 5. Необходимо записать на одной стороне листа основную мысль урока в несколько предложений. Затем сложить лист пополам. Снова повторить задание, но сократив текст, оставив главное. Лист складывается до тех пор, пока это возможно. С каждым разом мысль становится более емкой.

В приложении https://www.mentimeter.com/, отсканировав qr-код, учащиеся (один из пары, либо каждый отдельно, если работали индивидуально) вбивают получившееся слово или словосочетание. На электронной доске отображается результат – ключевые словосочетания по теме урока. Учитель совестно с учащимися анализирует полученные результаты. Пример ответа учащихся в Приложении 2.

Домашнее задание

В задаче по рассказу Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» определите, прогадал ли Пахом от того, что участок оказался не прямоугольной формы? Ответ в Приложении 2.

Список использованных источников

1.                  Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. [и др.] Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.:

Просвещение, 2018. – 384 с.

2.                  Глазков Ю.А., Егупова М.В. Рабочая тетрадь по геометрии: 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7 – 9 классы». ФГОС – М.: Экзамен, 2017. – 80 с.

3.                  Глазков Ю.А., Егупова М.В. Тренажер по геометрии: 8 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. «Геометрия. 7 – 9 классы». – М.: Экзамен, 2019.

– 80 с.

4.                  Толстой Л.Н. Много ли человеку земли нужно // Толстой Л.Н.

Собрание сочинений в 22 тт. – М.: Художественная литература, 1982. Т. 10. С. 357—369.

5.                  Расчет площади участка сложной формы: сайт – URL: http://raschet.online/raschet-ploshhadi-uchastka-slozhnoj-formy.html (дата обращения: 25.04.2022).

6.                  Mentimeter: сайт – URL: https://www.mentimeter.com/ (дата обращения: 25.04.2022).

Приложение 1

Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно»

«— А цена какая будет? — говорит Пахом.

— Цена у нас одна: тысяча рублей за день.

— Какая же это мера — день? Сколько в ней десятин будет?

— А мы за день продаем: сколько обойдешь в день, то и твое, а цена дню тысяча рублей. … Только один уговор: если назад не придешь в день к тому месту, с какого возьмешься, пропали твои деньги.

Только брызнуло из-за края солнце, вскинул Пахом скребку на плечо и

пошел в степь. Пошел Пахом ни тихо, ни скоро. Верст пять прошел. Согреваться стал, снял поддевку, вскинул на плечо, пошел дальше.

Отошел еще верст пять. 

«Одна упряжка прошла, — думает Пахом. — А их четыре в дню, рано еще заворачивать». Думает: «Дай пройду еще верст пяток, тогда влево загибать стану». Пошел еще напрямик. «Ну, — думает Пахом, — в эту сторону довольно забрал; надо загибать». 

Прошел еще и по этой стороне много. Загнул второй угол.

По третьей стороне всего версты две прошел. И до места верст пятнадцать. «Нет, думает, хоть кривая дача будет, а надо прямиком поспевать.»

Бежал из последних сил, солнце к краю подходит. Успел добежать, и упал без сил.

— Ай, молодец! — закричал старшина. — Много земли завладел!».

Приложение 2

Ответы на задания урока-практикума

Задание 1

1.                  Треугольник является прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон.

2.                  В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

3.                  Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции.

Задание 2

Решение: Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

𝑆 = 0,5 ∙ ℎ ∙ 𝑎 , h – высота, 𝑎 – сторона, к которой проведена высота.

Формула Герона: 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) , p – полупериметр, 𝑎, 𝑏, 𝑐 – стороны треугольника.

Задание 3

1.                 Работа над условием задачи.

Рассмотрим математическую модель задачной ситуации. Пусть А – точка, из которой Пахом начал свой путь. Дважды Пахом делал «загибы», следовательно, два угла – прямые, другие два – острые. Полученный четырехугольник – прямоугольная трапеция. 

2.                 Поиск пути решения.

Чтобы найти площадь трапеции, необходимо знать ее высоту. Высота трапеции разделит четырехугольник на прямоугольный треугольник и прямоугольник. По теореме Пифагора найдем высоту.

3.                 Запись решения.

1)                 Проведем высоту ВН к основанию АD трапеции АВСD; ВСDH – прямоугольник;

2)                 ВН = CD, НD = BC = 2 версты,  

АН = AD – HD = AD – BC = 14 – 2 = 12 верст;

3)                 ΔАВН – прямоугольный, по теореме Пифагора: 

ВН² = АВ² – АН² = 225 – 144 = 81; ВН = 9 верст;

4)                 S = 0,5 · (2 + 14) · 9 = 72 кв. версты.

                4.      Анализ найденного решения.

Для решения задачи потребовались знания теоремы Пифагора и площади трапеции.

Задание 4

1.                 ∆АСD – прямоугольный, по теореме Пифагора найдем АС:

АС² = АD² + DC² = 31² + 39² = 2482, АС ≈ 50 м.

2.                 S_∆ACD = 0,5 · 31 · 39 = 604,5 м².

3.                 р_∆АВС = 0,5 · (46 + 45 + 50) = 70,5 м.

4.                 S_∆ABC ≈ √70,5 · (70,5 − 50)(70,5 − 45)(70,5 − 46) ≈ 950 м².

5.                 S_∆ACD + S_∆ABC ≈ 604,5 + 950 ≈ 1554,5 м².

Для того, чтобы вычислить площадь такого земельного участка, необходимо, чтобы один угол участка был прямой. Тогда возможно найти диагональ четырехугольника, используя теорему Пифагора. Площадь участка будет равна сумме площадей двух треугольников.

Задание 5

 

Домашнее задание

1.                  P_ABCD = 14 + 9 + 2 + 15 = 40 верст.

2.                  Рассмотрим прямоугольники, периметр которых равен 40 верстам, и сравним площади таких прямоугольников с площадью полученной трапеции:

1 · 19 = 19 кв. верст	6 · 14 = 84 кв. верст
2 · 18 = 36 кв. верст	7 · 13 = 91 кв. верст
3 · 17 = 51 кв. верст	8 · 12 = 96 кв. верст
4 · 16 = 64 кв. верст	9 · 11 = 99 кв. верст
5 · 15 = 75 кв. верст	10 · 10 = 100 кв. верст

3.                  Не все из полученных площадей больше 72 кв. верст, значит однозначно дать ответ на вопрос задачи нельзя, он зависит от длины и ширины рассматриваемых прямоугольных участков земли.