Урок по математике в 10 классе "Метод математической индукции при доказательстве делимости чисел"

Тема урока: «Метод математической индукции»

Тип урока: изучение нового материала.

Планируемые результаты:

Предметные:

·         знакомство со способами рассуждения;

·         знакомство с основными принципами метода математической индукции;

·         применение метода математической индукции для доказательства делимости чисел.

Личностные:

·         формирование научного мировоззрения;

·         формирование интереса к исследовательской деятельности;

·         формировать умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта.

Метапредметные:

·         развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

·         развивать умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

·         развивать умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Ход урока:

1) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Просмотр фрагмента фильма «Шерлок Холмс и доктор Ватсон».

Вопрос учителя: Как автор произведений о Шерлоке Холмсе называл метод рассуждений, который применял великий сыщик?

Вероятный ответ: дедуктивный.

Учитель: Посмотрим в толковом словаре, как трактуется слово «дедукция».

Один из обучающихся читает: «Дедукция — способ рассуждения от общих положений к частным выводам».

Учитель: Так ли обстоит дело в представленном эпизоде? Вывод: Автор произведений о Шерлоке Холмсе, а вслед за ним и вы, ребята, допустили в этом вопросе ошибку. Продемонстрированный метод рассуждений имеет другое название. Вы его узнаете, решив ребус.

В толковом словаре: «Индукция - способ рассуждения от частных фактов, положений к общим выводам».

В математике мы будем использовать такой способ рассуждений для доказательства некоторых утверждений.

Тема урока: Метод математической индукции.

2) Актуализация знаний.

Учитель: Прежде, чем мы начнем знакомиться с основными принципами данного метода, немного поиграем.

Обучающиеся по одному выходят к интерактивной доске.

Игра в онлайн-режиме «Ханойская башня».  Имеются три стержня. На одном находится пирамида из нескольких колец (уменьшающихся снизу вверх). Эту пирамиду нужно переложить на другой стержень, соблюдая правила игры: нельзя переносить сразу несколько колец и нельзя класть большее кольцо поверх меньшего.

Пусть в пирамиде сначала три кольца.

Один из обучающихся у доски перекладывает пирамиду из трех колец. По завершению все вместе повторяем последовательность шагов.

Затем надо переложить пирамиду из четырех колец. Воспользуемся тем, что уже научились перекладывать пирамиду из трех колец. При перекладывании пирамиды из пяти колец воспользуемся пирамидой из четырех колец и т.д.

Рассмотрев несколько примеров, можно предположить, что возможно перемещение на другой стержень пирамиды из любого числа колец с соблюдением правил игры. При этом при переносе 𝑛 + 1 колец можно использовать умение переносить 𝑛 колец, так что каждое из утверждений цепочки опирается на предыдущее.

3) Введение новых знаний.

Учитель: Метод доказательства, при котором проверяется утверждение для конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называют полной индукцией. Этот метод применим сравнительно редко, поскольку математические утверждения касаются, как правило, не конечных, а бесконечных множеств объектов. Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция). При этом, неполная индукция порой может привести к ошибочным результатам. В этом случае можно обратиться к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции.

Принцип математической индукции

Пусть имеется какое-то утверждение, зависящее от натурального числа n. Если это утверждение истинно при n = 1 и из истинности его при каком-то произвольном натуральном n = k следует его справедливость и при следующем n , равном k +1, то данное утверждение верно для всех натуральных n.

Доказательство математических утверждений с помощью метода математической индукции включает в себя выполнение следующей последовательности шагов:

1. Проверяют истинность утверждения при конкретных значениях n или конечном числе шагов (базис индукции).

2. Допускают, что утверждение справедливо при n = k , где k – произвольное натуральное число (предположение индукции).

3. Доказывают, что утверждение верно и при n = k +1 (индукционный переход).

4. Делают вывод, что если все этапы доказательства проведены, то на основании принципа математической индукции утверждение истинно для всех натуральных n.

Методом математической индукции можно решать задачи, параметризованные некоторой переменной, которая называется переменной индукции. С помощью метода математической индукции можно решать различные задачи, например, на доказательство равенств и тождеств, доказательство неравенств, нахождение суммы и произведения и др. Этот урок будет посвящен рассмотрению задач на доказательство кратности и делимости натуральных чисел.

Примеры:

1)   Доказать, что для любых натуральных значениях n число  кратно 3.

Доказательство:

1.   Если n = 1, то = 1 + 3 + 5 = 9 – кратно 3.

2.   Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. число  кратно 3.

3.   Докажем, что при n = k + 1 число  делится на 3.

Первое слагаемое кратно 3 по индуктивному предположению, второе слагаемое кратно 3, т.к. один из множителей равен 3.

На основании принципа математической индукции можно сделать вывод о том, что при любом натуральном значении n число  кратно 3.

2)   Докажите, что при всех натуральных значениях n число делится на 133.

Доказательство:

1.   Если n = 1, то  делится на 133.

2.      Предположим, что утверждение верно при n = k, т.е. число  делится на 133.

3.      Докажем, что при n = k + 1 данное число делится на 133.

 .

Первое слагаемое делится на 133 по индуктивному предположению, второе слагаемое делится на 133, т.к. один из множителей равен 133.

На основании принципа математической индукции можно сделать вывод о том, что при любом натуральном значении n число  делится на 133.

4) Первичное закрепление.

Решение упражнений из учебника № 257(1,2) (Математика: алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова) в парах, с последующей проверкой у доски.

Самостоятельное выполнение задания по вариантам:

Вариант 1	Вариант 2
Доказать, что	Доказать, что

5) Рефлексия (подведение итогов занятия)

Учитель задает обучающимся вопросы: Что узнали нового? Что следует запомнить?

Каждый ученик выбирает по 1-2 предложения и заканчивает их.

Сегодня я узнал...
Было трудно…
Я понял, что…
Я научился…
Я смог…
Мне захотелось…

Краткое описание документа:

Данная разработка содержит конспект урока математики в 10 классе по теме "Метод математической индукции при доказательстве делимости чисел". Сформулированы основные этапы метода математической индукции, рассмотрены примеры применения данного метода при решении задач на делимость.