Урок по теме "Смежные углы. Свойства смежных углов"

Тема урока: Смежные углы. Свойства смежных углов

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие смежных углов;

                                    научить учащихся строить смежные углы;

                                    доказать теорему и следствия из нее;

                                    рассмотреть разные виды углов.

Развивающие:  развитие логического мышления;

                        Развитие геометрического воображения;

Воспитательные:  формирование математической культуры записи решения.

Тип урока: усвоение новых знаний;

Оборудование: модель смежных углов, таблица № 3 Е.П. Нелин

Ход урока

I  Организационный момент (приветствие, оглашение темы урока, цели урока учащиеся формулируют самостоятельно)

II Проверка домашнего задания. (разбор выявленных трудностей, выборочная проверка ответов  и решений)

III Актуализация опорных знаний и умений

Задание классу

Нарисуйте два дополнительных луча ОА и ОВ (по ходу решения вспомнить определение дополнительных лучей)

Какой угол образуют эти лучи?

Какова его величина?

Нарисуйте луч, проходящий между сторонами развернутого угла

Какой луч считается проходящим между сторон угла? (любой луч, выходящий из вершины угла, отличный от сторон угла)

Сформулируйте аксиому измерения углов (на рисунке изображается луч ОС, цифрами обозначаются углы и делается запись  ∠ 1+∠ 2=∠ AOB

 

IV Изучение нового материала

Введение понятий ведется таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно формулировали определение смежных углов, теорему и пробовали ее доказать.

·                    Введение понятия «смежные углы»

Задание классу (один учащийся работает у доски)

1.                 Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

2.                 Нарисуйте два угла, у которых одна сторона

первого из углов является дополнительным лучом стороны второго угла.

3.                 Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные лучи

Вывод: углы, изображенные на последнем чертеже,

являются смежными.

Формулирование определения смежных углов:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а

две другие – дополнительные лучи.

Устное первичное закрепление

Найти на чертеже смежные углы, и выписать их

а)                                                                               б)

Задание классу

Учитель на доске строит угол.

Необходимо построить угол, смежный данному. Сколько решений имеет данная задача. Какой вывод можно сделать из рассмотренной задачи?

·                    Свойство смежных углов

Задание классу:

Задача: Даны два смежных угла ∠ BCD и ∠ ACD, причем ∠ BCD= .

Найдите ∠ ACD.

Вариант рассуждений: ∠ ACВ развернутый, следовательно, его градусная мера равна 180^о . Луч CD проходит между сторонами этого угла, поскольку он выходит из его вершины и отличен от его сторон. По аксиоме  ∠ ACD+∠ BCD=∠ ACВ, т.е. ∠ ACD+∠ BCD=180^о . следовательно, ∠ ACD=180^о -∠ BCD=180^о -30^о =150 ^о .

Какое свойство смежных углов можно заметить?

Вывод: Сумма смежных углов равна 180^о .

·                    Доказательство теоремы.

Теорема: Сумма смежных углов равна 180^о .

Дано: ∠1 и ∠2 – смежные углы

Доказать: ∠1 и ∠2=180^о

Доказательство:

1.                 По условию, ∠1 и ∠2 – смежные углы, следовательно, СА и СВ – дополнительные лучи (определение смежных углов). Тогда ∠АСВ-развернутый (определение развернутого угла).

2.                 ∠АСВ=180^о (аксиома).

3.                 Луч CD проходит между сторонами развернутого угла ( по определению). Итак,  ∠1 и ∠2=∠АСВ, т.е. ∠1 и ∠2=180^о

Теорема доказана.

Во время изучения некоторых следствий из теоремы и видов углов удобно использовать простую модель смежных углов. Она изготовлена так: к подвижной стороне, закрепленной в вершине смежных углов, с обеих сторон прикреплены сектора. Во время вращения общей стороной оба сектора передвигаются в пазах, проделанных вдоль двух других сторон. С помощью шкал, нанесенных на сектора, демонстрируются смежные углы различной величины.

Следствия из теоремы:

ü    Если два угла равны, то смежные с ними углы равны

Доказательство

Обозначим градусную меру равных углов через х, тогда величина каждого из смежных углов, будет равна 180^о-х, т.е. эти углы будут равны.

ü    Если угол неразвернутый, то он меньше 180^о

Доказательство

Пусть дан произвольный неразвернутый угол ∠(ab), следовательно,  ∠(ab) не равен 180^о . Построим луч а_1, дополнительный к лучу а. По определению, углы (ab) и (а₁ b) будут смежными. По теореме ∠ (ab) +∠ (а₁ b)= 180^о или ∠ (а₁b) =180^о -∠ (аb). Предположим, что угол (ab) не меньше 180^о . Если , что противоречит аксиоме. Это означает, что . Значит, .

ü    Угол, смежный с прямым, является прямым

Доказательство

Угол, равный , называется прямым. Пусть один из смежных углов прямой, т.е. равен . Поскольку, сумма смежных углов равна , то второй угол равен , следовательно, он прямой.

ü    Виды углов ( учащиеся уже знают, обобщить по таблице)

V Закрепление новых знаний и умений

Решение задач

1.    Сумма двух углов равна , докажите, что они не являются смежными.

2.    Один из смежных углов, равен  , найдите второй угол.

3.    Один из смежных углов на  больше, чем второй. Найдите эти углы.

Решение (алгебраическим способом)

Пусть градусная мера меньшего из двух углов равна х. Тогда больший угол будет равен (х+), а их сумма (х+(х+20)) или ( по теореме).

Составим и решим уравнение

х+(х+20)=;

;

;

;

Значит, меньший из смежных углов, равен , а больший .

Ответ:  и .

4.      Один из смежных углов в 3 раза больше, чем второй. Найдите эти углы.

5.    Один из смежных углов больше, чем второй на . Найдите эти углы.

Замечание: последние две задачи решить двумя способами: с помощью уравнения и без составления уравнения.

6.      Величины смежных углов относятся как 2:3. Найдите эти углы.

Решение (алгебраическим способом)

Пусть градусная мера смежный углов равна х. Тогда больший угол будет равен 3х, а меньший 2х. Их сумма 2х+3х=5х или ( по теореме).

Составим и решим уравнение

5х=;

;

;

;

Значит, меньший из смежных углов, равен , а больший .

Ответ:  и .

VI Подведение итогов урока. Рефлексия

Является ли верным утверждение: если сумма двух углов равна 180, то они смежные? (Нет, уместно привести контрпример)

Может ли разность двух смежных углов быть равной прямому углу (Да, )

VII Домашнее задание

1.      Две прямые пересекаются. Сколько при этом пар смежных углов образовалось? (ответ: 4)

2.      Найти градусные меры смежных углов, если:

a.   они относятся как 7:29 (ответ );

b.    их разность равна ? (ответ );

Выучить определение смежных углов, уметь доказывать теорему о смежных углах и следствия из нее.