Урок "Теорема о площади треугольников и теорема синусов"

Тема Теорема синусов

9 класс геометрия

Цели урока:

а) образовательная

• познакомить с формулировкой и доказательством теоремы синусов;
• выработать у учащегося навыки решения задач с использованием тригонометрических функций;
• развить умение решать треугольники.

б) развивающая:

• развитие внимания, мышления, наблюдательности, активности;
• развитие устной и письменной речи;
• развитие умений применять полученные знания на практике.

в) воспитательная:

• воспитание самостоятельности, эстетичности;
• воспитание интереса к предмету математики.

Метод урока: объяснительно-иллюстративный.

Тип урока: урок изучения и усвоения нового материала.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Структура урока:

1. Мотивация к учебной деятельности – 1 мин.
2. Актуализация знаний – 5 мин.
3. Проблемная ситуация – 7 мин.
4. Изучение нового материала – 10 мин.
5. Закрепление изученного материала – 10 мин.
6. Самостоятельная работа – 10 мин.
7. Рефлексия – 1 мин.
8. Домашнее задание – 1 мин.

Ход урока

1-й этап. Мотивация к учебной деятельности.

– Здравствуйте, я рада вас видеть.

– Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади треугольника)

– Какие задачи вы учились решать? (задачи на вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними)

– Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания о нем.

– Я уверена, что на этом уроке мы с вами будем так же дружно и успешно работать, как и на предыдущих занятиях.

– Желаю вам новых открытий и успешных ответов.

2-й этап. Актуализация знаний.

1) Решение домашней задачи № 1020(в), ученик комментирует решение задачи.

S= ½∙14∙7∙sin48°=7∙7∙0,7347=36 (см²)

– Как вы определили значение синуса угла 48 градусов? (пользуясь таблицей Брадиса, с помощью калькулятора...)

2) Доказать теорему о площади треугольника .

3) Домашняя задача № 1021.

(Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними)

4) Ученик решает задачу из сборника по данной теме.

Дано: 

Найти: 

Решение:

 

Правильность решения задачи проверяется.

Фронтальный опрос:

(повторение формул для вычисления площади треугольника).

а) формулы площади треугольника

 

 

б) формулы приведения

 


 

в) определение sin, cos, tg острых углов прямоугольного треугольника.

Устные упражнения:

Найдите площадь треугольника АВС.

Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Найдите высоту параллелограмма АВСD.

3-й этап. Проблемная ситуация.

1) Предлагается решить устно задачу.

Верно ли для прямоугольного треугольника равенство:?

c=c=c

После того, как учащийся убедился, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: «Верно ли это утверждение для любого треугольника?».

Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов.

Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты – отношения равны.

Карточка план – реализации проекта

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3).
2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).
3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство. отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.
4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.
5. Сделайте вывод.

– Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и докажите, что они равны.

– Чем отличается это задание от предыдущего? (нам нужно доказать, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– Что вам придется доказывать? (равенство отношений)

– Как называется утверждение, которое требуется доказать? (теорема)

– Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

– В геометрии эта теорема называется теоремой синусов.

Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях

«Теорема синусов».

Попробуйте доказать теорему.

На выполнение задания отводится 2 мин.

Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства.

1. Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2), (3).
2. Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на (½ВС).
3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.
4. Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.
5. Сделайте вывод.

4-й этап. Объяснение нового материала.

1) Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

 Дано: Пусть в AB = c, BC = a, AC = b.

Доказать: .

Доказательство.

По теореме о площади треугольника

Из первых двух равенств получаем значит, аналогично, из второго и третьего равенств следует  Итак, . Теорема доказана.

Теорему можно записать и в другом виде: 

(Выступление ученика с историческим сообщением по теме)

А где мы можем проверить правильность нашего решения?

Откроем учебники на стр. 256.

Итак, мы доказали теорему синусов.

1) Запишите теорему синусов для треугольников:

ΔМНР: 
ΔОКТ: 

2) В теореме синусов в том виде, в каком мы ее получили, присутствует недоговоренность: мы узнали, что отношения сторон к синусам противолежащих им углов равны между собой, но чему же именно равны эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к задаче №1033.

Вывод: если в треугольнике против сторон a, b, c лежат углы α, β, γ соответственно, то .

где R – радиус окружности, описанной около треугольника.

Таким образом, мы получили дополнительное правило отыскания радиуса описанной около треугольника окружности.

5-й этап. Закрепление материала. 

Чем вы сейчас будете заниматься? (будем выполнять задание, где используется теорема синусов)

1) Работа с учебником

№1025 а,б.

6-й этап. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Работа по вариантам.

На экране эталон решения.

Выяснить у кого какие результаты.

Кто и где допустил ошибку.

1 ВАРИАНТ

Выразите х и у через синусы острых углов.

Решение:

 

Ответ: 

2 ВАРИАНТ

Выразите х и у через синусы острых углов.

Решение:

Ответ: ; 

7-й этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

– Какую цель вы ставили перед собой на уроке?

– Вы достигли поставленной цели?

– Что помогало выполнять задание?

– Проанализируйте свою работу на уроке, заполнив карточку.

Карточка для этапа рефлексии.

Ответьте на вопросы:

1. Данная тема мне понятна.
2. Я хорошо понял теорему синусов.
3. Я знаю, как пользоваться теоремой синусов.
4. В самостоятельной работе у меня все получилось.
5. Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки при вычислении ...
6. Я доволен своей работой на уроке ..

8-й этап. Домашнее задание.

§98; №1025 (г), №1026.

9-й этап. Подведение итогов.