Урок в 8 классе по алгебре по теме "Решение квадратных уравнений"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Переслегинская гимназия

Великолукский район Псковская область

Урок алгебры в 8-б  классе.

Обобщение и систематизация знаний по теме    

 «Квадратные уравнения».

Самоанализ-мониторинг.

Учитель математики

Клименков О.А.

Тема: «Решение квадратных уравнений»                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

Цели урока:
Образовательные:

-систематизация и обобщение знаний учащихся по теме; 

-прививание навыков устного решения квадратных уравнений;

-расширение круга знаний образовательного уровня обучения учащихся.

Развивающие:

-развитие логического мышления, памяти, внимания, умения сравнивать и обобщать.

Воспитательные:

-воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры учеников;

-повышение интереса учащихся к истории математики;

-повышение уровня мотивации обучения и, как следствие, уровня их качества знаний;

-становление и укрепление нравственного облика через русские народные пословицы и поговорки;

-активизация связей родителей со школой.

Оборудование: экран, компьютер, карточки с заданиями на 3 варианта,  карточки для проведения самоанализа своих знаний, таблицы с формулами и рекомендациями.

Фамилия, Имя, отчество	1. Коэффи-циенты a, b, c	2. Решение по теореме Виета	3. Проверка по т. Виета	4. Решение по формулам	5. Решение выделением квадрата двучлена	6. Составление уравнения к задаче	7.    Дискрими-нант
Клименков Олег Александрович	0	1	1	0	0	1	1

                                                           План урока:
1. Организационный момент. (2 мин)
2. Работа со слайдами. Устная работа. (15 мин)
3. Самостоятельная работа. (15-18  мин)

4. Исторические сведения (5-7 мин)
5. Подведение итогов урока. Домашнее задание.(3-5 мин)

            На этом уроке ученики проверяют и показывают свои умения и навыки по этой теме, делают для себя определенные выводы. Это урок повторения, обобщения и закрепления всего материала темы через индивидуальные задания каждому ученику, который стремиться убедить окружающих, и, прежде всего себя, в том, что он может решать квадратные уравнения (КУ) быстро, правильно и красиво. 

            Контроль усвоенных знаний основан на самоконтроле и осуществляется через индивидуальные оценочные листы путём разноуровневых заданий, дифференцированных в соответствии с посильностью и доступностью индивидуальных возможностей учеников. Выполняя практическую работу, ребята сами распределяют между собой задания, выбирая их «по вкусу». Таким образом, на уроке создаются условия для работы на различных уровнях сложности с учетом индивидуальных возможностей. Такая организация учебной деятельности на уроке – лучший способ организовать внимание школьников, у которых нет ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться. Каждый из них участник учебного процесса.

            На протяжении всего урока наблюдается высокая активность ребят. Учитель имеет возможность опросить всех. Плохих оценок на уроке нет. Это урок сотрудничества: ученик – учитель, ученик – ученик.

            Соответственно содержанию урока и особенностям класса выбраны следующие формы обучения: 

• общеклассная (на определенных этапах урока ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса);
• групповая (практические задания рассчитаны на группу ребят);
• индивидуальная (учащиеся работают по своему желанию и своим возможностям).

Для того чтобы ребята восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач к выполнению следующей творческой домашней работы исследовательского характера.

Для успешности урока используются следующие технические средства и наглядность:
-компьютер и мультимедийный проектор;
-опорные таблицы;
-различный учебно-методический и дидактический материал;
-листы учета индивидуальных знаний (для самоконтроля и оценки знаний ребят). 

Ход урока:

1)      Организационный момент .

2)      Устная работа (с элементами самостоятельного письменного решения):

СЛАЙД 2: дайте определение квадратного уравнения

СЛАЙД 3: давайте определимся с видами квадратных уравнений

СЛАЙД 4: определите коэффициенты квадратного уравнения

СЛАЙД 5. Вспомним, какие способы решения неполных квадратных уравнений мы знаем?

СЛАЙД 6: Выберите наиболее удобный вариант для вас и решите уравнения

СЛАЙД 7: Какими способами мы научились решать полные квадратные уравнения?

СЛАЙД 8: Решите выбранный вами вариант способом выделения квадрата двучлена.

СЛАЙД 9: Итак, дискриминант. Зависил ли количество корней в уравнении от знака дискриминанта? Если зависит, то как?

СЛАЙД 10: Решите выбранный вами вариант с помощью формул корней квадратного уравнения.

СЛАЙД 11: Давайте вспомним, о чём нам говорит теорема Виета?

СЛАЙД 12: Некоторые исторические сведения.

СЛАЙД 13: Решение задачи Бхаскары.

3)      Самостоятельная работа.

Каждый ученик самостоятельно выбирает вариант самостоятельной работы, опираясь на свои знания по данной теме.

1 вариант. Нужно решить любые 4 уравнения любыми доступными способами.

2 вариант. Нужно решить любые 4 уравнения, обязательно для 2-ух из них применив теорему Виета, после решения выполнить проверку.

3 вариант. Решаем любые 4 уравнения, причём нужно использовать все три способа решения.

Самостоятельная работа.

Ученикам предлагается самостоятельная работа в трёх вариантах различного уровня сложности. Каждый может выбрать любой вариант и его решать. После проведения самостоятельной работы ученикам раздаются правильные ответы на заранее приготовленных листах, они проверяют правильность выполнения работы, после чего работы собираются учителем на более тщательную проверку и анализ успеваемости класса (подготавливается учителем к следующему уроку в виде таблицы)

Трёхуровневая самостоятельная работа.

1 уровень. Выберите и решите любые 8 уравнений любым способом	2 уровень. Выберите и решите любые 7 уравнений.  4 решите по формулам корней и 3 решите по теореме Виета. Выполните проверку.	3 уровень. Выберите и решите любые 6 уравнений, используя 3 способа.
5x2 − 11x + 2 = 0 4 − x2 = 0 35x2 + 2x − 1 = 0 x2 − 9x + 14 = 0 9y2 + 30y + 25 = 0 2x2 − 11x + 9 = 0 −3x2 + 7x + 10 = 0 0,5x2 − 3,5x = 0 13x − 8x2 = 10 −7x2 = −12x	9y2 − 30y + 25 = 0 35x2 + 2x − 1 = 0 х2 + 7х – 8 = 0 х2 – 5х + 6 = 0 х2 – х – 6 = 0 x2 + x – 42=0 2х2 – 11 х + 15 = 0 5х2 – 9х – 2 = 0 4х2 + 7х – 2 = 0 х2 – 6х + 9 = 0	х+ 6х - 112 = 0  х- 6x + 8 = 0 у- 4у - 12 = 0 х- 11x  + 18 = 0 у- 12у + 36 = 0 4х+ 4x - 15 = 0 6у- 13у + 6 = 0 8 = 3у + 5у х2 + 7х – 8 = 0 9y2 + 30y + 25 = 0

4. Исторические сведения

Один ученик готовится заранее к выступлению на 5-7 минут с докладом в произвольной форме (лекция, презентация, сообщение).

5. Подведение итогов урока. Разбор домашнего задания.

Домашняя работа

План работы:
Решить квадратное уравнение

Меньшее значение корня обозначить х, большее значение корня обозначить х

В скобках после каждого уравнения указан код: (х, х) или (х, х) – координаты точек координатной плоскости

Отметить на координатной плоскости 8 точек и последовательно их соединить, последнюю точку замкнуть с первой

Должен получиться рисунок, соответствующий названию 

Задание «Катер»

1. х² – 16х = 0; (х₂,х₁);
2. х² - 14х – 15 = 0; (х₁,х₂);
3. х² + х = 0; (х₁,х₂);
4. х² + 3х = 0; (х₁,х₂);
5. х² + 7х – 98 = 0; (х1,х₂);
6. х² + 14х = 0; (х₁,х₂);
7. x² – 15x = 0; (х₁,х₂);
8. х² – 15х + 56 = 0; (х₁, х₂);
9. x² – x – 56 = 0 (x₂, x1)
10. –5х² + 80х = 0; (x₂,x₁).

Задание «Ваза»

1. х² – 4х – 21= 0; (х₁, х₂);
2. х² – 10х + 21 = 0; (х₁, х₂);
3. х² – 7х + 12 = 0; (х₁, х₂);
4. x² – 6x = 0; (x₂,x_x)\
5. х² + 4х – 32= 0; (x₂,x_l);
6. х² + 6х – 55 = 0; (x₂,x_l);
7. х² + 16х + 55 = 0; (x₂,x_l);
8. х² + 12х + 32 = 0; (x₂,x_l);
9. x² + 6x = 0; (х₁, х₂);
10. х² – 11х – 12 = 0; (х₁, х₂);

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИСТ 1.

Задание №1. Определение коэффициентов в уравнении

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Задание №2. Решение неполных квадратных уравнений

Вариант №_____

А)                                                                      Б)

Задание №3. Реши уравнение выделением квадрата двучлена

Вариант №_____

Задание №4. Реши уравнения с помощью формулы корней. Вариант №_____

А)                                                                       Б)

Фамилия,  Имя	1. Коэффи-циенты a, b, c	2. Решение по теореме Виета	3. Проверка по т. Виета	4. Решение по формулам	5. Решение выделением квадрата двучлена	6. Составление уравнения к задаче	7.    Дискрими-нант

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИСТ 2. Самостоятельная работа со взаимопроверкой.

1 уровень. Выберите и решите любые 8 уравнений любым способом	2 уровень. Выберите и решите любые 7 уравнений.  4 решите по формулам корней и 3 решите по теореме Виета. Выполните проверку.	3 уровень. Выберите и решите любые 6 уравнений, используя 3 способа.
5x2 − 11x + 2 = 0 4 − x2 = 0 35x2 + 2x − 1 = 0 x2 − 9x + 14 = 0 9y2 + 30y + 25 = 0 2x2 − 11x + 9 = 0 −3x2 + 7x + 10 = 0 0,5x2 − 3,5x = 0 13x − 8x2 = 10 −7x2 = −12x	9y2 − 30y + 25 = 0 35x2 + 2x − 1 = 0 х2 + 7х – 8 = 0 х2 – 5х + 6 = 0 х2 – х – 6 = 0 x2 + x – 42=0 2х2 – 11 х + 15 = 0 5х2 – 9х – 2 = 0 4х2 + 7х – 2 = 0 х2 – 6х + 9 = 0	х+ 6х - 112 = 0  х- 6x + 8 = 0 у- 4у - 12 = 0 х- 11x  + 18 = 0 у- 12у + 36 = 0 4х+ 4x - 15 = 0 6у- 13у + 6 = 0 8 = 3у + 5у х2 + 7х – 8 = 0 9y2 + 30y + 25 = 0

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛИСТ 3. Домашняя работа

План работы:
Решить квадратное уравнение

Меньшее значение корня обозначить х, большее значение корня обозначить х

В скобках после каждого уравнения указан код: (х, х) или (х, х) – координаты точек координатной плоскости

Отметить на координатной плоскости 10 точек и последовательно их соединить, последнюю точку замкнуть с первой

Должен получиться рисунок, соответствующий названию 

Задание «Катер»

1. х² – 16х = 0; (х₂,х₁);
2. х² - 14х – 15 = 0; (х₁,х₂);
3. х² + х = 0; (х₁,х₂);
4. х² + 3х = 0; (х₁,х₂);
5. х² + 7х – 98 = 0; (х1,х₂);
6. х² + 14х = 0; (х₁,х₂);
7. x² – 15x = 0; (х₁,х₂);
8. х² – 15х + 56 = 0; (х₁, х₂);
9. x² – x – 56 = 0 (x₂, x1)
10. –5х² + 80х = 0; (x₂,x₁).

Задание «Ваза»

1. х² – 4х – 21= 0; (х₁, х₂);
2. х² – 10х + 21 = 0; (х₁, х₂);
3. х² – 7х + 12 = 0; (х₁, х₂);
4. x² – 6x = 0; (x₂,x_x)\
5. х² + 4х – 32= 0; (x₂,x_l);
6. х² + 6х – 55 = 0; (x₂,x_l);
7. х² + 16х + 55 = 0; (x₂,x_l);
8. х² + 12х + 32 = 0; (x₂,x_l);
9. x² + 6x = 0; (х₁, х₂);
10. х² – 11х – 12 = 0; (х₁, х₂);

• 1 слайд

  Основные цели урока:
  1. Обобщить и систематизировать знания по теме
  2. Развитие умения применять различные способы при решении уравнений
  3. Выработать умение выбирать наиболее рациональный способ решения
  4. Провести контроль знаний по теме (самопроверка и взаимопроверка)
  
  МОУ «Переслегинская гимназия»
  ТЕМА УРОКА
  «Решение квадратных уравнений»
  
  
  

• 2 слайд

  
  
  уравнение вида ах2 + вх +с = 0,
  
  где х –переменная,
  
  а, в и с некоторые числа,
  
  причем а 0.
  
  
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
  
  Квадратным уравнением называется
  

• 3 слайд

  ПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  НЕПОЛНЫЕ
  КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
  а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0
  а ≠ 0, в = 0, с = 0
  2х2+5х-7=0
  6х+х2-3=0
  Х2-8х-7=0
  25-10х+х2=0
  3х2-2х=0
  2х+х2=0
  125+5х2=0
  49х2-81=0
  

• 4 слайд

  а) 6х2 – х + 4 = 0
  б) 12х - х2 + 7 = 0
  в) 8 + 5х2 = 0
  г) х – 6х2 = 0
  д) - х + х2 = 15
  
  
  а = 6, в = -1, с = 4;
  а = -1, в = 12, с = 7;
  а = 5, в = 0, с = 8;
  а = -6, в =1, с = 0;
  а = 1, в =-1, с = -15.
  Определите коэффициенты
  квадратного уравнения:
  

• 5 слайд

  РЕШЕНИЕ
  НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  в=0
  ах2+с=0
  с=0
  ах2+вх=0
  в,с=0
  ах2=0
  1.Перенос с в правую часть уравнения.
  ах2= -с
  2.Деление обеих частей уравнения на а.
  х2= -с/а
  3.Если –с/а>0 -два решения:
  х1 = и х2 = -
  
  Если –с/а<0 - нет решений
  Вынесение х за скобки:
  х(ах + в) = 0
  2. Разбиение уравнения
  на два равносильных:
  х=0 и ах + в = 0
  3. Два решения:
  х = 0 и х = -в/а
  1.Деление обеих частей уравнения на а.
  х2 = 0
  2.Одно решение: х = 0.
  
  

• 6 слайд

  РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО УРАВНЕНИЯ :
  1 вариант:
  а)
  б) ( х + 2)2 + ( х -3)2 = 13
  
  2 вариант:
  а) 2х + х2= 0
  б) 49х2 – 81 = 0
  
  3 вариант:
  а) 3х2 – 2х = 0
  б) 125 + 5х2 = 0
  

• 7 слайд

  Способы решения
  полных квадратных уравнений
  
  Выделение квадрата двучлена.
  
  Формула: D = b2- 4ac, x1,2=
  
  
  Теорема Виета.
  
  

• 8 слайд

  РЕШИ УРАВНЕНИЯ
  способом выделения квадрата двучлена :
  
  
  1 вариант: - х + 3х2 – 70 =0
  
  2 вариант: 2х2 -9х + 10 = 0
  
  3 вариант: х2 – 8х -9 = 0
  
  
  
  

• 9 слайд

  От чего зависит количество корней квадратного уравнения?
  Ответ: От знака D.
  
  D=0
  D < 0
  D > 0
  1 корень
  
  Нет корней
  два корня
  Х=-в/2а
  Х=(-в+D)/2а
  

• 10 слайд

  РЕШИ УРАВНЕНИЯ
  с помощью формулы :
  
  
  1 вариант: а) -7х + 5х2 + 1 =0
  б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5)
  
  2 вариант: а) 2х2 + 5х -7 = 0
  б) –х2 = 5х - 14
  
  3 вариант: а) х2 – 8х + 7 = 0
  б) 6х – 9 = х2
  
  
  
  

• 11 слайд

  Теорема Виета
  Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
  х2+px+g=0- приведенное квадратное уравнение.
  П о теореме Виета: х1 + х2= -p
  х1* х2= g
  

• 12 слайд

  Исторические сведения:
  Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.
  Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.
  В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.
  ________________________________________________
  Вот задача Бхаскары:
  Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.
  Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.
  А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.
  Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?
  

• 13 слайд

  Решение задачи Бхаскары:
  Пусть было x обезьянок,
  тогда на поляне забавлялось – .
  Составим уравнение:
  
  + 12 = х
  Ответ: х1= 16 , х2= 48 обезьянок.
  

• 14 слайд

  
  СПАСИБО ЗА УРОК!
  

• 1 слайд

  О математика. В веках овеяна ты славой,
  Светило всех земных светил.
  Тебя царицей величавой 
  Недаром Гаусс окрестил.
  Строга, логична, величава, 
  Стройна в полете, как стрела,
  Твоя немеркнущая слава
  В веках бессмертье обрела.
  Мы славим разум человека, 
  Дела его волшебных рук,
  Надежду нынешнего века, 
  Царицу всех земных наук.
  Поведать я сегодня вам хочу
  Историю возникновения 
  Того, что каждый школьник должен знать – 
  Историю квадратных уравнений.
  
  

• 2 слайд

  Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача:
  
  «Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а –1 длины равны ширине». «Длина поля равна 4», – указано в папирусе.
  история квадратных уравнений
  

• 3 слайд

• 4 слайд

• 5 слайд

  Метод извлечения квадратного корня с помощью формулы квадрата суммы двух чисел получил название «тянь-юань» (буквально – «небесный элемент») – так китайцы обозначали неизвестную величину
  Математика в девяти книгах (начало)
  

• 6 слайд

  Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.
  

• 7 слайд

  Бхаскара (1114—1185, обычно называемый Бхаскарой II, чтобы отличить его от другого индийского учёного Бхаскары I) — крупнейший индийский математик и астроном XII века. Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя.
  

• 8 слайд

  1.Обезьянок резвых стая
  Всласть поевши, развлекалась.
  Их в квадрате часть восьмая
  на поляне забавлялась.
  А двенадцать по лианам...
  стали прыгать, повисая...
  Сколько ж было обезьянок,
  Ты скажи мне, в этой стае?
  задача Бхаскары:
  

• 9 слайд

  2. Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?
  задача Бхаскары:
  

• 10 слайд

  Решение:
  В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так
  
  как есть число отрицательное, то годится
  
  только первое решение».