Урок занимательной математики для 6-8 класса "Удивительный мир чисел"

Удивительный мир чисел.

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами.

Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей.

Приглашаем совершить экскурсию по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Фигурные числа.

О числах первым начал рассуждать грек Пифагор, который родился на острове Самосе в VI веке до нашей эры. Поэтому его часто называют Пифагором Самосским. 

Пифагор очень много сделал для развития науки. Сначала он занялся музыкой. Ему  удалось установить связь между длиной струны музыкального инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел. «Числа правят миром!» - провозгласил он.

Во времена Пифагора на человека, сказавшего, что неизвестное число можно обозначить буквой, посмотрели бы с удивлением. И Пифагор придумал замечательный способ доказывать общие утверждения о числах: он стал изображать числа точками. Например, число 5 изображается так: ..... , а число 8 так: ........ . Картинки получались двух видов – у одних была средняя точка (как у числа 5), а у других такой точки не было ( как у числа 8). Первые числа были нечётными, а вторые чётными.

Но потом Пифагор стал усложнять свои фигуры из точек. Он стал строить квадраты и треугольники. При этом получились числа 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т. д. Они получили имя треугольных. Рисунки квадратов имеют 1, 4, 9, 16 и т. д. точек. Такие числа получили название квадратные, и этим названием мы пользуемся до сих пор. Точно так же  изображаются точками пятиугольные числа (1, 5, 12, 22 …) и шестиугольные числа (1, 6, 15 …).  Разрезая и складывая фигуры, которыми Пифагор изображал числа, он устанавливал свойства этих чисел. Например, из рисунка видно, что всякое квадратное число является суммой двух соседних треугольных чисел (квадрат разрезан на два треугольника, большой и меньший).

Пифагор не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал складывать пирамиды, кубы и другие тела  и изучать пирамидальные, кубические и другие числа. К слову сказать, названием куб числа мы тоже пользуемся и сегодня.

Совершенные и дружественные числа.

Но числами, получившимися из различных фигур, Пифагор не удовлетворился. Ведь он провозгласил, что числа правят миром. Поэтому ему пришлось придумывать, как с помощью чисел  изображать такие понятия, как справедливость, совершенство, дружбу.

Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел. Все делители числа он  складывал, и если сумма оказывалась меньше числа, оно объявлялось недостаточным, а если больше – то избыточным. И только в случае, когда сумма в точности равнялась числу, его объявляли совершенными. Похожим образом изображали числами дружбу – два числа называли дружественными, если каждое из них равнялось сумме делителей другого числа. Например, число 6 совершенно. Ведь его делителями являются 1, 2 и 3, а сумма этих чисел как раз равна 6. Найти дружественные числа сложнее. Например, дружественные числа 220 и 284.

Теперь занятия Пифагора кажутся нам ненужными забавами. Но нельзя забывать, что с этих забав началось серьёзное знакомство людей с числами. Числа стали не только применять, но и изучать. Уже во времена Пифагора были найдены такие совершенные числа, как 6, 28, 496.

Четвёртое – 8128 – стало известно в I в. до н. э. Пятое –                33 550 336 – было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные  совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

 Было даже обнаружено правило, как искать чётные совершенные числа (ни одного нечётного совершенного числа не найдено до сих пор). Это правило следующее: если число 2ⁿ – 1 – простое, то число 2^{n – 1} (2ⁿ – 1) – совершенное.

О дружественных или совершенных числах современная математика вспоминает с улыбкой как о детском увлечении. А введение Пифагором понятия простого и составного чисел являются до сих пор предметом серьёзных исследований, за которые математики получают высокие научные награды.

Из опыта вычислений люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей  нашёл доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа.

Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних  частях ряда их больше, в других  - меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «Начала» доказал, что простых чисел бесконечно много.

Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел. Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто, но решение этих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят столетия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. Почти 250 лет назад член Петербургской академии  наук Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечётное число, большее5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Например: 

21 = 3 + 7 + 11,  23 = 5 + 7 + 11.

Доказать это предположение сумел лишь 200 лет спустя замечательный русский математик, академик Иван Матвеевич Виноградов. Но утверждение «Любое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например:                       28 = 11 + 17,  56 = 19 + 37,  924 = 311 + 613) до сих пор не доказано.   

Приглашаем совершить экскурсию по галерее  числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.  Число 12.
Чем оно замечательно?  Это число месяцев в году и число единиц в дюжине.
Немногим известно, что 12-старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почётный пост основания системы счисления.
Культурнейший народ древнего Востока - вавилоняне и их предшественники, ещё более древние первонасельники Двуречья, - вели счет в двенадцатеричной системе счисления. И если бы не переселившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, весьма вероятно, унаследовали бы от Вавилона двенадцатеричную систему.
Кое в чем мы до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу десятичной.  Наше пристрастие к дюжинам, наше деление суток на две дюжины часов, деление часа на 5 дюжин минут, деление минуты на столько же секунд, деление круга на 30 дюжин градусов, наконец деление фута на 12 дюймов, - не свидетельствует разве все это о том, как велико в наши дни влияние древней системы?
Гораздо удобнее производить расчеты по двенадцатеричной  системе, нежели по десятеричной. Причина та, что число десять делится без остатка на 2 и 5,  между тем как 12 делится на 2 , на 3, на 4, на 6.  У 10 всего два делителя, у 12 - четыре.
Преимущества двенадцатеричной системы станут яснее, если принять в соображение, что в двенадцатеричной системе число, оканчивающееся нолем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6.
Подумайте, как удобно дробить число, когда  и 1/2  и  1/3  и  1/4  и 1/6  его должны быть  целыми числами.
В нашей системе только дроби вида  1/2,  1/4,  1/5, 1/20  и т.д. превращаются в конечные десятичные, в двенадцатеричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби. При таких преимуществах двенадцатеричной системы не удивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему.

Но мы чересчур тесно сжились с десятичной системой, чтобы решаться на такую реформу.  Такую реформу пытались провести во Франции, но она не привилась.

Видим, что число 12 имеет за собою длинную историю и не без основания очутилось в числе диковинок.

Число   13

Число 13 фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательно, а скорее, именно потому, что ничем не замечательно, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, ровно  ничем не выделяющееся число могло стать столь "страшным" для суеверных людей?

Как было распространено это суеверие  (зародившееся в древнем Вавилоне), видно из того, что царское правительство при устройстве электрического трамвая в Петербурге долго не решалось вводить маршрут номер  13  и пропустило его, перейдя сразу к номеру 14.

Власти думали, что публика не станет ездить в вагонах с таким роковым номером.

Любопытно и то, что в Петербурге было немало домов, где 13-ый номер квартиры пропущен...

В гостиницах также нередко отсутствовала комната номер 13, заменяемая на 12а.

Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием кое-где на Западе учреждались даже особые  "клубы числа 13".

Число  365

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году.

Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1;  эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имела большое значение для старого семидневного календаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365=10*10+11*11+12*12

т.е. 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел,  начиная c 10.

Но это еще не все, потому что сумма квадратов двух следующих чисел 13 и 14

13*13+14*14=169+196=365

На этом свойстве числа 365 основана задача С.А. Рачинского,  изображенная на известной картине "Трудная задача" Богданова-Бельского:

10*10+11*11+12*12+13*13+14*14 365+365

Число  999

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа.

Тогда получается шестизначное произведение:

первые три цифры его есть умножаемое число только уменьшенное на 1, а остальные три цифры (кроме последней) - дополнения первых до 9.

Например: 573*999=572427.

Зная эту особенность, можно мгновенно умножать трехзначное число на 999.

Можно устраивать перед непосвящёнными маленькие сеансы "мгновенного" умножения и деления на 999.

Число  1001  (число Шехерезады)

Вы вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками.

Чем замечательно число 1001?

C виду оно кажется весьма обыкновенным.  Оно даже не принадлежит к разряду простых чисел.

Оно делится без остатка на 7, на 11, на 13 - на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является.

Но диковинка не в этом.

Замечательно то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа только написанного дважды. Например:

873*1001=873873   или   207*1001=207207   и т.д.

Пользуясь свойством числа "Шехерезады", можно достичь совсем неожиданных результатов, кажущихся волшебными.

Литература:

1.                           Энциклопедический словарь юного математика, Москва, «Педагогика», 1989 г.

2.                           И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин «За страницами учебника математики», Москва «Просвещение», 1989 г.

3.                           Я. И. Перельман «Занимательная арифметика», Екатеринбург, «Тезис», 1994 г. Москва.