Урок 10. Золотое отношение в прямоугольном треугольнике. Спецкурс "Математика Золотого Сечения"

10. Золотое отношение в прямоугольном треугольнике

№ 17. Высота СМ прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ в золотом отношении. Доказать, что для меньшего острого угла α данного треугольника выполняется равенство sin α= cos² α.

Решение. Если точка М ближе к В, чем к А, то меньшим углом является угол А данного треугольника (рис.36).

Пусть АВ = 1, тогда АМ = φ,  а  ВМ = φ².

Как среднее пропорциональное

По теореме Пифагора .

Итак, .

Отсюда следует, что sin α = cos² α. Ч.т.д.

№ 18. Диаметр АВ и перпендикулярная ему хорда СК пересекаются в точке М так, что АМ = ВС. Доказать, что точка М делит диаметр АВ в золотом отношении.

Решение. Точка М не может быть серединой диаметра АВ, так как в этом случае ВС > АМ. Ясно, что точка М ближе к В, чем к А (рис.37). Пусть ВС = АМ = а, ВМ = b (a > b).

Треугольники АВС, АСМ и ВСМ – прямоугольные. Высота СМ является средним пропорциональным между отрезками АМ и ВМ, тогда СМ² = АМ·ВМ = аb. По теореме Пифагора из треугольника АВС  АС² = АВ² – ВС² = (а + b)² – a² = b² + 2ab, а из треугольника АСМ   АС² = АМ² + СМ² = a² + ab.

Имеем:

b² + 2ab = a² + ab,

b² + ab - a² = 0,

Мы получили золотое уравнение относительно , положительным корнем которого является φ. Это значит, что  = φ, то есть точка М делит диаметр АВ в золотом отношении. Ч.т.д.