Варианты пробного ОГЭ по математике (март2017)

Инструкция по выполнению работы

                  Экзаменационная       работа        состоит       из       12       заданий,       из        которых 

10 заданий базового уровня сложности с кратким ответом и 2 задания повышенного уровня сложности с развѐрнутым ответом.

                 На      выполнение      экзаменационной      работы      по      математике      отводится 

3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. 

Ответы к заданиям 1–10 запишите в поля ответов в работе, а затем перенесите в бланк ответов. Для этого в бланке ответов запишите номера всех заданий в столбец следующим образом: 

1)  

2) 

3) 

… 

9) 

10)

 Ответы к заданиям 1–10 запишите в бланк ответов справа от номеров соответствующих заданий. В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите рядом новый.

При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов. 

Все бланки заполняются яркими чѐрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи  в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Желаем успеха!

Вариант 1

Часть 1

Ответом к заданиям 1–10 является целое число, конечная десятичная дробь или последовательность цифр. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы, затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ справа от номера соответствующего задания. Единицы измерений писать не нужно.

                                                                                         3          7

1.             Найдите значение выражения . Ответ: ______________

2.             Решите уравнение 2х² + 3х – 2 = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.  Ответ: __________________ 

ху+у² 9

3.             Найдите значение выражения      ∙  при х = 1, у = 7.

                                                                                        7           х+у

Ответ: __________________ 

4.             Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

 

ФОРМУЛЫ

1)     y   x        2) y  1                   3) y  x1 В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

.

 

5.             Укажите решение неравенства х² – 49 > 0.

 

Ответ: _____________________ .

6.             Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 16°.

Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

 Ответ: _____________________ .

7.             Периметр квадрата 84. Найдите площадь этого квадрата.

   Ответ: _____________________ . 

8.             Какие из следующих утверждений верны?

1)     Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой. 

2)     Если диагонали параллелограмма равны, то он является ромбом. 

3)     Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. 

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 

Ответ: ___________________________.

9.             Пожарную лестницу длиной 17 м приставили к окну шестого этажа дома. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.

Ответ: ___________________________.

10.        На экзамене 40 билетов, Оскар не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадѐтся выученный билет. 

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в БЛАНК ОТВЕТОВ в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания 11 и 12 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ. Запишите сначала номер выполняемого задания (11 или 12), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чѐтко и разборчиво.

11.   Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

12.   Сторона ВС параллелограмма АВСD вдвое больше стороны СD. Точка L – середина стороны ВС. Докажите, что DL – биссектриса угла СDА.

Инструкция по выполнению работы

                  Экзаменационная       работа        состоит       из       12       заданий,       из        которых 

10 заданий базового уровня сложности с кратким ответом и 2 задания повышенного уровня сложности с развѐрнутым ответом.

                 На      выполнение      экзаменационной      работы      по      математике      отводится 

3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1–10 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. 

Ответы к заданиям 1–10 запишите в поля ответов в работе, а затем перенесите в бланк ответов. Для этого в бланке ответов запишите номера всех заданий в столбец следующим образом: 

2)  

2) 

3) 

… 

9) 

10)

 Ответы к заданиям 1–10 запишите в бланк ответов справа от номеров соответствующих заданий. В случае записи неверного ответа зачеркните его и запишите рядом новый.

При выполнении заданий 11 и 12 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов. 

Все бланки заполняются яркими чѐрными чернилами. Допускается использование гелевой, или капиллярной, или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи  в черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.

Желаем успеха!

Вариант 2 Часть 1

Ответом к заданиям 1–10 является целое число, конечная десятичная дробь или последовательность цифр. Запишите ответ в поле ответа в тексте работы, затем перенесите в БЛАНК ОТВЕТОВ справа от номера соответствующего задания. Единицы измерений писать не нужно.

1.           Найдите значение выражения  Ответ: ______________ 

2.           Решите уравнение 4х² + 11х – 3 = 0

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.  Ответ: __________________

ху+у² 5

3.           Найдите значение выражения       ∙  при х = 3, у = 8

                                                                                        8           х+у

Ответ: __________________ 

4.           Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

         А) y = 3x                              Б) y = –3x − 2                       В) y = 3x – 2

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

.

 

5.           Укажите решение неравенства х² – 25 < 0.

 

Ответ: _____________________

6.           Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 26°.

Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах. 

Ответ: _____________________ .

7.           Периметр квадрата 52. Найдите площадь этого квадрата.

 Ответ: _____________________ . 

8.           Какое из следующих утверждений верно? 

1)     Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 

2)     Диагонали ромба равны. 

3)     Тангенс любого острого угла меньше единицы. 

В ответ запишите номер выбранного утверждения.  Ответ: ___________________________. 

9.           Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Найдите расстояние от точки основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах.

Ответ: ___________________________.

10.      На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 2 с мясом, 16 с капустой и 2 с вишней. Рома наугад берѐт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней. 

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в БЛАНК ОТВЕТОВ в соответствии с инструкцией по выполнению работы.

Часть 2

Для записи решений и ответов на задания 11 и 12 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ. Запишите сначала номер выполняемого задания (11 или 12), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чѐтко и разборчиво.

11.        Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

12.        Сторона АВ параллелограмма АВСD вдвое больше стороны ВС. Точка N – середина стороны AВ. Докажите, что CN – биссектриса угла  BСD.

Ключи и критерии оценки заданий 

№ задания	1 вариант	2  вариант
1	1,03	1,1
2	0,5	0,25
3	9	5
4	312	314
5	4	3
6	148	128
7	441	169
8	13	1
9	15	2,4
10	0,7	0,1

                Каждый        вариант        экзаменационной       работы        содержит       12        заданий, 

из которых 10 заданий с кратким ответом, в которых необходимо записать ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби, и 2 задания с развернутым ответом. 

Максимальный первичный балл за выполнение всей работы – 14. 

Каждое из заданий 1–10 с кратким ответом считается выполненным, если записанный ответ совпадает с верным ответом и оцениваются 1 баллом. Задания 11 и 12 оцениваются 2 баллами, если обоснованно получен верный ответ; 1 баллом, если верно построена математическая модель и получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки или в доказательстве математического утверждения содержатся неточности, и 0 баллов в других случаях. 

Задание с развернутым ответом оценивается двумя экспертами. Существенным считается расхождение в 2 и более балла оценки за выполнение  задания с развернутым ответом. 

Если расхождение баллов, выставленных двумя экспертами за выполнение одного из заданий 11 или 12, составляет 2 балла, то третий эксперт проверяет только ответы на те задания, которые вызвали столь существенное расхождение.

Если имеется расхождение баллов, выставленных двумя экспертами за выполнение заданий 11 и 12, в сумме 2 или более баллов, то третий эксперт проверяет ответы на оба эти задания.

Шкала перевода суммы первичных баллов в пятибалльную систему оценивания:

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Первичный балл	0–3	4–6	7–9	10–14

Вариант 1 Задача 11. 

 

Задача 12. 

 

Вариант 2 Задача 11. 

 

Задача 12. 

 

Вариант 3.

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	9	25	0,21875	4	8,4	3	87,75	1	54	10	8

13	а) , ; б) , ,
14	б)
15
16	б)
17	p = 10 тыс. рублей
18
19	а) например, в первой группе все «5», во второй ‑ все «3» и «4»; в)

Решения заданий 13-19

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки и/или ошибки в отборе корней, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Решение.

а) Сделаем замену :

       

   , .

б) При помощи тригонометрической окружности находим, что отрезку  принадлежат корни: , , .

Ответ: а) , ; б) , , .

Задание 14. Дан куб .

а) Докажите, что прямая  перпендикулярна плоскости .

б) Найдите угол между плоскостями  и .

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта a), при этом пункт a) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Решение.

а) Поскольку проекция прямой  на плоскость  ‑ прямая  перпендикулярна прямой , то и . Аналогично  (надо рассмотреть плоскость ). Значит, прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости , поэтому .

б) Будем считать, что ребро куба имеет длину 1. Очевидно, в обеих плоскостях  и  лежит точка D, поэтому прямая пересечения этих плоскостей будет . Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников  и ). Пусть их основание ‑ точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем ,

Напишем теперь теорему косинусов для треугольника ACH.

,

откуда , а угол межу плоскостями - .

Ответ: б) .

Задание 15. Решите неравенство .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Решение.

Найдем значения , при которых определены обе части неравенства:

    

Для таких  получаем:

.

Тогда имеем:

     

   .

Учитывая, что неравенство определено на множестве , имеем .

Ответ: .

Задание 16. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 24, CH = 7.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K ‑ на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику BCА.

Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Положим ∠ABE = α, тогда:

, а .

Значит,

.

Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.

б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, равен

.

Из подобия треугольников находим

, откуда .

Тогда

.

Поэтому

.

Следовательно, искомый радиус равен

.

Ответ: .

Задание 17. Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны  млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн. руб. необходимо, чтобы ежегодная прибыль была не меньше 26 млн. руб., то есть, чтобы выполнялось неравенство

,

откуда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:

.

Удостоверимся, что это значение параметра достигается, то есть существует количество продукции x, при котором достигается эта цена.

      .

Тем самым, при цене p = 10 тыс. руб и производстве x = 8 тыс. единиц продукции, завод окупится за три года.

Ответ: p = 10 тыс. рублей.

Задание 18. При каких  данная система имеет решения:

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
Имеется правильная последовательность действий. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Имеется правильная последовательность действий. Получен ответ, но решение недостаточно обоснованное ИЛИ содержит ошибки.	2
Решение не доведено до конца. Рассмотрены некоторые промежутки. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	4

Решение.

Поскольку  и  и , то левая часть второго уравнения системы не меньше, чем 1. Так как его правая часть не больше 1, то второе уравнение равносильно системе

Из полученной системы находим, что , , , .

Первое уравнение имеет целые коэффициенты и, чтобы исходная система имела решение, должна иметь целый корень . Так как , то  ‑ тоже целое число и из равенства  получаем, что  ‑ нечетный делитель числа 2. Таким образом, он равен 1 или –1.

При  находим , а при  находим .

Ответ: .

Задание 19. На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше .

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно .

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения .

Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл)	4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл)	3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл)	2
Верно получен один из следующий результатов: ‑ пример в п. а; ‑ верное доказательство в п. б; ‑ искомая оценка в п. в; ‑ пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Решение.

а) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй ‑ все «3» и «4». Тогда

; ; .

б) Пусть числа разбиты на две группы по 15 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна S₁, а во второй группе ‑ S₂. Тогда:

, , .

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то

 и .

В противоположном случае в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это первая группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 29, наибольшая дробь – это , то есть А не превосходит . Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,

.

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то

, , .

Ответ: а) например, в первой группе все «5», во второй ‑ все «3» и «4»; в) .

Перевод набранных первичных баллов в

стобалльную и в пятибалльную системы

Первичный	Тестовый
0	0
1	5
2	9
3	14
4	18
5	23
6	27
7	33
8	39
9	45
10	50
11	55
12	59
13	64
14	68
15	70
16	72
17	74
18	76
19	78
20	80
21	82
22	84
23	86
24	88
25	90
26	92
27	94
28	96
29	97
30	98
31	99
32	100

Тестовый	Оценка
0-26	2
27-49	3
50-67	4
68-100	5

Вариант 1.

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
267,2	8	2	0,52	9	-0,5	1	14	9	0,71	63	-1

13	а) , ; б) , .
14	б)
15
16
17	2296350
18	если , то , при остальных а нет решений
19	а) Да, например, 7124 и 7119; б) нет; в) 11.

Решения заданий 13-19

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки и/или ошибки в отборе корней, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Решение.

а) Преобразуем исходное уравнение:

       

   , .

б) с помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку . Получим корни: , .

Ответ: а) , ; б) , .

Задание 14. Дана правильная призма , у которой сторона основания , боковое ребро . Точка  – середина ребра , а на ребре  взята точка  так, что .

а) Докажите, что плоскость  делит отрезок  пополам.

б) Плоскость  делит отрезок  на две части. Найдите длину меньшей из них.

Содержание критерия	Баллы
Приведено обоснованное верное доказательство в пункте а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
Выполнен только пункт а) или выполнен пункт б) при отсутствии обоснования пункта а)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Решение.

а) Отметим точку  ‑ середину . Очевидно, . Проведем . Это будет прямая, содержащая среднюю линию треугольника , так как  и проходит через середину . Значит, она проходит и через середину  (назовем ее K), что и требовалось доказать (эта точка и есть точка пересечения данных прямой и плоскости).

б) Рассмотрим плоскость . Отрезок BK лежит в ней и в плоскости , поэтому надо узнать, как отрезок BK делит отрезок  ‑ диагональ прямоугольника  со сторонами , . При этом .

Обозначим точку пересечения BK и  за O. Тогда

.

Поэтому .

Ответ: б) .

Задание 15. Решите неравенство: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением/исключением граничных точек, ИЛИ допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Решение.

Так как основание логарифмов должно быть положительным числом, то должны выполняться неравенства  и . Отсюда следует, что , то есть . При этом условии основания логарифмов не обращаются в единицу.

Так как при  оба основания больше 1, то тогда выполняется  и . Тогда при  получим:

       

     .

Учитывая неравенство , получим .

Ответ: .

Задание 16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N ‑ середины катетов АС и ВС соответственно, СН ‑ высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р ‑ точка пересечения прямых АС и NH, а Q ‑ точка пересечения прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 4 и ВН = 2.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

а) Треугольники АНС и ВНС прямоугольные (рис. 1), поэтому  и . Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда

б) В прямоугольном треугольнике АВС имеем:  (рис. 2).

В прямоугольных треугольниках МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:

,

поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия .

Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть .

Найдём :

.

Значит, площадь треугольника MPQ равна .

Ответ: б) .

Задание 17. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая ‑ 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки ИЛИ получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, но при этом решение не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

Пусть сумма кредита равна , а годовой процент составляет . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент . После первой выплаты сумма долга составит . После второй выплаты сумма долга составит:

.

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

.

После четвертой выплаты сумма оставшегося долга равна

По условию четырьмя выплатами Алексей должен погасить кредит полностью, поэтому

  .

При  и , получаем:  и

 (рублей)

Ответ: 2296350.

Задание 18. При каждом а решите систему уравнений

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
Имеется правильная последовательность действий. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Имеется правильная последовательность действий. Получен ответ, но решение недостаточно обоснованное ИЛИ содержит ошибки.	2
Решение не доведено до конца. Рассмотрены некоторые промежутки. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	4

Решение.

Запишем второе уравнение в виде

.

Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точки  до точек  и  равно . Поскольку расстояние между точками  и  также равно , то это означает, что точка  должна лежать на отрезке, соединяющем точки  и . Другими словами, она удовлетворяет уравнению  и условию .

 

Таким образом, исходная система равносильна системе

Подставив 2а в первое уравнение, получаем

    .

Полученное уравнение имеет очевидное решение . Поскольку функция  возрастающая (как сумма двух возрастающих), то каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение  ‑ единственное, ему соответствует .

Ответ: если , то , при остальных а нет решений.

Задание 19. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна 91?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ‑ обоснованное решение п. а; ‑ пример в п. б; ‑ искомая оценка в п. в; ‑ пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Решение.

а) Примером таких чисел являются числа 7124 и 7119.

б) Предположим, что такие числа существуют. Рассмотрим какие-либо два таких интересных числа. Пусть  ‑ десятичная запись большего из них, а k ‑ та из цифр a, b, c или d, которая равна сумме трёх других. Тогда сумма цифр этого числа равна 2k, то есть чётна. Аналогично получаем, что сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел также чётна. Так как d ≠ 0, то четвёртая цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна d − 1. Так как c − 9, либо отрицательно, либо равно 0, то третья цифра меньшего из рассматриваемых интересных чисел равна c + 1. Аналогично получаем, что вторая цифра этого числа равна b − 1. Наконец, первая цифра этого числа равна a. Значит, сумма цифр меньшего из рассматриваемых интересных чисел на единицу меньше суммы чисел большего из них. Пришли к противоречию.

в) Покажем, что искомое число равно 11. Для этого сначала приведём пример интересного четырёхзначного числа, кратного 3, 5, 7 и 9, ‑ это число 9135.

Пусть  ‑ десятичная запись какого-либо интересного числа, кратного 11. Тогда

.

Получаем, что число b − a + d − c кратно 11. Поскольку a, b, c и d ‑ цифры, отсюда следует, что либо b + d = a + c, либо эти две суммы отличаются на 11. Составим две пары чисел: a и c, b и d. Пусть k ‑ та из цифр a, b, c и d, которая равна сумме трёх других, l ‑ та из них, которая в паре с k. Пусть m и n ‑ две оставшиеся из цифр a, b, c и d. Поскольку k = l + m + n, имеем k + l > m + n. Значит, k + l = m + n + 11. Вычитая из этого равенства равенство k = l + m + n, получаем l = 11 − l. Следовательно, 2l = 11. Пришли к противоречию. Значит, не существует интересных четырёхзначных чисел, кратных 11.

Ответ: а) Да, например, 7124 и 7119; б) нет; в) 11.

Перевод набранных первичных баллов в

стобалльную и в пятибалльную системы

Первичный	Тестовый
0	0
1	5
2	9
3	14
4	18
5	23
6	27
7	33
8	39
9	45
10	50
11	55
12	59
13	64
14	68
15	70
16	72
17	74
18	76
19	78
20	80
21	82
22	84
23	86
24	88
25	90
26	92
27	94
28	96
29	97
30	98
31	99
32	100

Тестовый	Оценка
0-26	2
27-49	3
50-67	4
68-100	5

Вариант 2.

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
640	1,2	40	0,25	1,5	18	5	4	-14	3,5	27	174

13	а) , , , ; б) , , .
14	б)
15
16	14
17	2019
18
19	а) да; б) нет; в) 8.

Решения заданий 13-19

Задание 13. а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки и/или ошибки в отборе корней, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

     

   

б) Корни, принадлежащие отрезку , отберём с помощью единичной окружности:

Получим: , , .

Ответ: а) , , , ; б) , , .

Задание 14. В основании прямой призмы  лежит квадрат  со стороной 2, а высота призмы равна 1. Точка  лежит на диагонали , причем .

а) Постройте сечение призмы плоскостью .

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью .

Содержание критерия	Баллы
Имеется верно построенное сечение в пункте а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б).	2
Имеется верно построенное сечение в пункте а) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) (даже в том случае, если предъявлено неполное или неверно выполненное задание а).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Решение.

а) Рассмотрим сечение призмы плоскостью . Точка  лежит в этой плоскости вместе с прямой . Следовательно, прямые  и  также лежат в этой плоскости и пересекаются в точке . Аналогично,  и  лежат в сечении  и пересекаются в точке . Трапеция  – искомое сечение.

б) , а . Поэтому . Из подобия треугольников  и  находим, что , откуда . Аналогично, , треугольник  – равнобедренный. Опустим перпендикуляр  на прямую . По теореме о трех перпендикулярах , и, значит, ‑ искомый угол.

Из треугольника , подобного , находим, что . Тогда .

Ответ: б) .

Задание 15. Решите неравенство: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Допущена единичная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Решение.

Первое слагаемое определено при , а второе слагаемое при , поэтому область определения неравенства

.

При этих значениях переменной имеем:

     

   

Учитывая область определения, получаем решение неравенства:  или .

Ответ: .

Задание 16. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M ‑ середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM ‑ медианы треугольника ABD, значит,

.

Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что

.

Значит, . Из доказанного следует, что .

б) Пусть площадь параллелограмма равна S . Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом  следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет  высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна

Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN , составляет  высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC , а сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

.

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна

.

Ответ: 14.

Задание 17. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Получено верное выражение для суммы на счетах, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено уравнение на для n ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решение.

Через  лет 1 сентября на первом счёте будет сумма

 (руб.)

В это же время на втором счёте будет сумма

 (руб.)

Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:

     

   .

Таким образом, суммы на счетах сравняются через 11 лет после открытия первого вклада, то есть в 2019 году.

Ответ: 2019.

Задание 18. Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение на отрезке [−2;2].

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
Имеется правильная последовательность действий. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Имеется правильная последовательность действий. Получен ответ, но решение недостаточно обоснованное ИЛИ содержит ошибки.	2
Решение не доведено до конца. Рассмотрены некоторые промежутки. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	4

Решение.

Пусть . Рассмотрим уравнение . Число x = 0 не является корнем этого уравнения, ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению .

Рассмотрим функцию

и определим число корней уравнения  и их расположение для каждого значения параметра а.

Найдём производную

.

Отсюда следует, что на промежутках ,  функция убывает, а на промежутке ‑ возрастает. Следовательно, точка x = 1 ‑ точка минимума, а минимум равен 11. Из полученных свойств функции  следует, что при любом значении a данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень, и поскольку , то при  уравнение имеет ровно один корень на отрезке [−2;2] при  уравнение не имеет корней на [−2;2]. При a = 11 уравнение имеет единственный корень x = 1 на отрезке [−2;2]. Поскольку , то при  на отрезке [−2;2] уравнение имеет ровно два корня. При a > 15 уравнение также имеет единственный корень на отрезке [−2;2].

Решим два неравенства и уравнение:

; ; .

Получим:

; ; .

Ответ: .

Задание 19. Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {200; 201; 202; ...; 299} хорошим?

б) Является ли множество {2; 4; 8; ...; 2¹⁰⁰} хорошим?

в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}?

Содержание критерия	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ‑ обоснованное решение п. а; ‑ обоснованное решение п. б; ‑ в п. в доказано, что множество содержит не более восьми хороших чертырёхэлементных подмножеств; ‑ в п. в построены примеры восьми хороших четырёхэлементных подмножеств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Решение.

а) Разобьём множество {200, 201, 202, ..., 299} на два множества пятидесятиэлементных множества следующим образом:

{200, 299, 202, 297, 204, 295, ..., 248, 251},

{201; 298; 203; 296; 205, 294, ..., 249, 250}.

Сумма чисел в этих двух подмножествах одинакова, поэтому исходное множество является хорошим. (Возможны и другие примеры.)

б) Заметим, сумма чисел в подмножестве, которое будет содержать число  будет больше суммы чисел в другом подмножестве, поскольку  больше суммы всех остальных чисел:

Следовательно, множество {2; 4; 8; ...; 2¹⁰⁰} не является хорошим.

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является хорошим в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Подмножества множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}, удовлетворяющие первому случаю, ‑ это {1; 2; 4; 7} и {2; 4; 5; 11}.

Рассмотрим второй случай и заметим, что если множество содержит две пары чисел с равными суммами, то сумма всех чисел чётна. Следовательно, четные числа 2 и 4 либо одновременно входят в хорошее четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него.

Если 2 и 4 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 6, это подмножество {1; 2; 4; 5}, либо разность двух других чисел равна 2, это подмножества:

{1; 2; 4; 5}; {2; 4; 5; 7}; {2; 4; 7; 9}; {2; 4; 9; 11}.

Если 2 и 4 не входят в подмножество, то хорошее подмножество лежит во множестве {1; 5; 7; 9; 11}. Получаем хорошие подмножества:

{1; 5; 7; 11} и {5; 7; 9; 11}.

Всего найдено 8 хороших подмножеств. Других вариантов нет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

Перевод набранных первичных баллов в

стобалльную и в пятибалльную системы

Первичный	Тестовый
0	0
1	5
2	9
3	14
4	18
5	23
6	27
7	33
8	39
9	45
10	50
11	55
12	59
13	64
14	68
15	70
16	72
17	74
18	76
19	78
20	80
21	82
22	84
23	86
24	88
25	90
26	92
27	94
28	96
29	97
30	98
31	99
32	100

Тестовый	Оценка
0-26	2
27-49	3
50-67	4
68-100	5

ФИО ученика_____________________________________________________

ФИО учителя_____________________________________________________ Город/район_______________________________________________________ Школа____________________________________________________________

Таблица полученных ответов

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

ВАРИАНТ 1

Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь.

Часть 1

Задание 1. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 1 рубль 60 копеек. Счетчик электроэнергии 1 сентября показывал 79 991 киловатт-час, а 1 октября показывал 80 158 киловатт-часов. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь?

Задание 2. На рисунке жирными точками показан курс евро, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 23 ноября по 23 декабря 2012 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена евро в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа курс евро был наименьший за указанный период.

 

Задание 3. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

 

Задание 4. Из множества натуральных чисел от 30 до 54 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 2?

Задание 5. Решите уравнение lg19 x² 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Задание 6. В тупоугольном треугольнике ABC имеем AC  BC  4 5 , высота AH равна 4. Найдите tgACB.

Задание 7. На рисунке изображен график производной функции f x, определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f x на отрезке [−3; 8].

 

Задание 8. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите ^V .



 

Часть 2

81 ⁷ b

Задание 9. Найдите значение выражения       ₁₄      при b0. b

Задание 10. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

RrПОК  rПОК rЭКСm , где m 0,02K ,

                                                                                            K 1              r_ПОК  0,1

r_ЭКС - средняя оценка, данная экспертами, r_ПОК - средняя оценка, данная покупателями, K - число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24, их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.

Задание 11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй - 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Задание 12. Найдите наименьшее значение функции y  (17  x)e^18x на отрезке [11;24].

Для заданий 13-19 запишите сначала номер выполняемого задания (13, 14 и т.д.), а затем полное и обоснованное решение. Решение и ответы записывайте четко и разборчиво.

Задание 13. а) Решите уравнение 15^cosx  3^cosx 5^{sin x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ^_5^;13₂^_ .

Задание 14. Дана правильная призма ABCA₁B₁C₁, у которой сторона основания AB4, боковое ребро AA₁  9 . Точка M – середина ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT5.

а) Докажите, что плоскость BB₁M делит отрезок C₁T пополам.

б) Плоскость BTC₁ делит отрезок MB₁ на две части. Найдите длину

меньшей из них.

Задание 15. Решите неравенство: log _x 7  log_x 7.

                                                                                                                   x3                         3

Задание 16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N - середины катетов АС и ВС соответственно, СН - высота.

а) Докажите, что прямые МН и NH перпендикулярны.

б) Пусть Р - точка пересечения прямых АС и NH, а Q - точка пересечения

прямых BC и МН. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 4 и ВН = 2.

Задание 17. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Задание 18. При каждом а решите систему уравнений

2^1x  32a 2,

^ ² a²  2  2x  2a  x²  a²  6x  9  5. x 

Задание 19. Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность

между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между

которыми равна 91?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует

кратного ему интересного четырёхзначного числа.

Решение заданий № 13-19 Задание № _____

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 – восемь заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 – пять заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля -  в части 1.

На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде  одной или  нескольких цифр, которые соответствуют номеру правильного ответа. Эти цифры запишите  в поле ответа в тексте работы без пробелов и запятых.

Для остальных зданий части 1 ответом является число,  последовательность цифр или слово, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите ее в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

Решение заданий части 2 и ответы к ним запишите на отдельном листе или бланке. Задания можно выполнять  в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо указать только его номер.

Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,  Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике.  Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного выполнения работы  необходимо набрать в сумме не менее 8  баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются  в 2 балла.

Желаем успеха!

Часть 1

	Модуль «Алгебра»
1
	Найдите значение выражения   3,5⋅6,6+1,63.
	Ответ:___________________________________
2
	На координатной прямой отмечены числаа и с. Какое из следующих утверждений неверно? 1)    с – а < 0 2)    ас > 0 3)    0 < с+1 < 1 4)    –  а > 0
	Ответ:
3
	Найти значение выражения  .  1)  576  2)  384  3)  24  4)  48
	Ответ:
4
	Найдите корень уравнения  .
	Ответ:________________________
5
	На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера без пробелов и запятых.  1)  Наименьшее значение функции равно −5  2)  Функция возрастает на промежутке [2; +∞)  3)  f(−1)=f(5)
	Ответ:________________________
6
	В зависимости от пройденного материала выполните задание 6.1 или 6.2. 6.1.  Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 30; 27; 24; … Найдите 5-й член этой прогрессии. 6.2.   Уравнение  x2​+px+q=0 имеет корни  − 6 и 4. Найдите q.
	Ответ:________________________
7
	Найдите значения выражения :при х = –21.
	Ответ:________________________
8
	Укажите решение неравенства  4x−4 ≥ 9x+6 1)    [− 0,4 ; +∞) 2)    (− ∞ ; −2] 3)    [− 2 ; +∞) 4)    (− ∞ ; −0,4] Ответ:
	Модуль «Геометрия»
9
	Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:______________________________
10
	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки E, F и G таким образом, что OEFG – ромб. Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:______________________________
11
	В треугольнике со сторонами 4 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 3. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
	Ответ:______________________________
12
	Катеты прямоугольного треугольника равны  и 2. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
	Ответ:______________________________
13
	Какое из следующих утверждений верно?  1)  Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.  2)  Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.  3)  Основания любой трапеции параллельны. В ответ запишите номер выбранного утверждения.
	Ответ:______________________________
	Модуль «Реальная математика»
14
	В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с. Номер дорожки I II III IV Время (в с) 10,6 9,7 10,1 11,4 Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, получившие зачёт.  1)  только I  2)  только II  3)  I, IV  4)  II, III
	Ответ:
15
	При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости. По горизонтальной оси откладывается скорость в километрах в час, по вертикальной — тормозной путь в метрах. Определите по графику, каким будет тормозной путь автомобиля, который двигается со скоростью 70 км/ч. Ответ дайте в метрах.
	Ответ:______________________________
16
	В городе 55 000 жителей, причём 11% — это студенты. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.
	Ответ:______________________________
17
	Две трубы, диаметры которых равны 30 см и 40 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
	Ответ:______________________________
18
	На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по численности населения стран мира. Численность населения какого государства примерно в 6 раз меньше численности населения Индии?
	Ответ:______________________________
19
	Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Юпи­те­ра равно 779 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Юпи­те­ра? Ско­рость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.
	Ответ:______________________________
20
	Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=300 К, P=4986 Па, V=0,7 м3.
	Ответ:______________________________
	Часть 2
	Модуль «Алгебра»
21
	Решите систему уравнений
22
	Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
23
	Постройте график функции  y=. Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
	Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4.
25
	Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 5, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 10.

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1 - восемь заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 – пять заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля -  в части 1.

На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде  одной или  нескольких цифр, которые соответствуют номеру правильного ответа. Эти цифры запишите  в поле ответа в тексте работы без пробелов и запятых.

Для остальных зданий части 1 ответом является число,  последовательность цифр или слово, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите ее в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

Решение заданий части 2 и ответы к ним запишите на отдельном листе или бланке. Задания можно выполнять  в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо указать только его номер.

Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,  Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике.  Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного выполнения работы необходимо набрать в сумме не менее 8  баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются  в 2 балла.

Желаем успеха!

Часть 1

	Модуль «Алгебра»
1
	Найдите значение выражения  4,1⋅7,7+0,86.
	Ответ:________________________
2
	На  координатной  прямой отмечены числа а и b. Какое из следующих утверждений неверно: 1)    а + b < 0 2)    – 4 < a – 1 < – 3  3)    a2b < 0 4)    – b < 0 Ответ________________________
3
	Найти значение выражения  . 1)    24 2)    96 3)    48 4)    576
	Ответ:
4
	Найдите корень уравнения   .
	Ответ:________________________
5
	На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x). Какое  из следующих утверждений о данной функции является верным? Запишите его номер. 1)    Наибольшее значение функции равно 9 2)    f(0)<f(4) 3)    Функция возрастает на промежутке [2; +∞)
	Ответ:________________________
6
	В зависимости от пройденного материала выполните задание 6.1 или 6.2. 6.1.  Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 2; 6; 10; … Найдите её шестнадцатый член. 6.2.   Уравнение  x2​+px+q=0  имеет корни   − 3 и 8. Найдите q.
	Ответ:________________________
7
	Найдите значения выражения:при х= 12.
	Ответ:_______________________
8
	Укажите решение неравенства    2x−8 ≥ 4x+6. 1)               (− ∞ ; −7] 2)                 (− ∞ ; 1] 3)                 [1 ; +∞) 4)                 [− 7 ; +∞)
	Ответ:
	Модуль «Геометрия»
9
	Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.
	Ответ:_______________________
10
	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки H, I и K таким образом, что OHIK – ромб. Найдите угол OKI. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:________________________
11
	Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 27 и 4.
	Ответ:________________________
12
	Катеты прямоугольного треугольника равны  и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
	Ответ:________________________
13
	Какие из следующих утверждений верны? 1)    Боковые стороны любой трапеции равны. 2)    В параллелограмме есть два равных угла. 3)    Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
	Ответ:________________________
	Модуль «Реальная математика»
14
	В таблице даны результаты забега девочек 8 класса на дистанцию 60 м. Зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,8 с. Номер дорожки I II III IV Время (в с) 11,3 10,6 12,1 10,4 Укажите номера дорожек, по которым бежали девочки, получившие зачёт.  1)  I, III  2)  только IV  3)   II, IV  4)   только II
	Ответ:
15
	На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется с 60 °​C  до 90 °​C.
	Ответ:________________________
16
	В городе 220000 жителей, причём 12% — это студенты. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.
	Ответ:________________________
17
	Две трубы, диаметры которых равны 20 см и 21 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
	Ответ:________________________
18
	На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по численности населения стран мира. Численность населения какого государства примерно в 6 раз меньше численности населения Китая?
	Ответ:________________________
19
	Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Ве­не­ры равно 110 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Ве­не­ры? Ско­рость света равна 300000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.
	Ответ:________________________
20
	Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К ⋅ моль). Пользуясь этой формулой, найдите объём V (в м3), если T=250 К, P=23 891,25 Па, ν=48,3 моль.
	Ответ:________________________
	Модуль «Алгебра»
21
	Решите систему уравнений
22
	Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
23
	Постройте график функции y=. Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
	Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 16, а АВ = 15.
25
	Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 4, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 8.

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1  - восемь заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 – пять заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля -  в части 1.

На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде  одной или  нескольких цифр, которые соответствуют номеру правильного ответа. Эти цифры запишите  в поле ответа в тексте работы без пробелов и запятых.

Для остальных зданий части 1 ответом является число,  или последовательность цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите ее в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

Решение заданий части 2 и ответы к ним запишите на отдельном листе или бланке. Задания можно выполнять  в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо указать только его номер.

Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,  Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике.  Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного выполнения работы необходимо набрать в сумме не менее 8  баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются  в 2 балла.

Желаем успеха!

	Часть 1
	Модуль «Алгебра»
1
	Найдите значение выражения   − 3,41+8,4⋅1,4.
	Ответ:___________________________________
2
	На координатной прямой отмечены числа a и b. Какое из следующих утверждений неверно? 1) a + b< 0 2) – 2 <b – 1 < –  1 3) a2b< 0 4) – a< 0 Ответ:
3
	Найти значение выражения  .  1)  126  2)  15876  3)   4)  42
	Ответ:
4
	Найдите корень уравнения.
	Ответ:________________________
5
	На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
	1)  f(x)>0 при x>2  2)  Функция убывает на промежутке  [2; +∞)  3)  f(0)<f(5)
	Ответ:________________________
6
	В зависимости от пройденного материала выполните задание 6.1 или 6.2. 6.1.     Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: − 4; 2; 8; … Найдите 8-й член этой прогрессии. 6.2.     Уравнение   x2​+px+q=0   имеет корни   − 5 и 2. Найдите q.
	Ответ:________________________
7
	Найдите значения выражения:при х= –10.
	Ответ:________________________
8
	Укажите решение неравенства 5x+4≤x+6. 1)              (− ∞ ; 0,5] 2)              (− ∞ ; 2,5] 3)              [0,5 ; +∞) 4)              [2,5 ; +∞)
	Ответ:
	Модуль «Геометрия»
9
	Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 25° и 100° соответственно. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:______________________________
10
	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки E, F и G таким образом, что OEFG – ромб. Найдите угол OEF. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:______________________________
11
	В треугольнике со сторонами 6 и 12 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
	Ответ:______________________________
12
	Катеты прямоугольного треугольника равны и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
	Ответ:______________________________
13
	Какое из следующих утверждений верно?  1)  Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.  2)  Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.  3)  Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
	В ответ запишите номер выбранного утверждения. Ответ:______________________________
	Модуль «Реальная математика»
14
	В таблице даны результаты забега мальчиков 8 класса на дистанцию 60 м. Зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с. Номер дорожки I II III IV Время (в с) 10,3 10,6 11,0 9,1 Укажите номера дорожек, по которым бежали мальчики, не получившие зачёт.  1)  I, IV  2)  II, III  3)  только III  4)  только IV
	Ответ:
15
	При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости. По горизонтальной оси откладывается скорость в километрах в час, по вертикальной — тормозной путь в метрах. Определите по графику, каким будет тормозной путь автомобиля, который двигается со скоростью 60 км/ч. Ответ дайте в метрах.
	Ответ:______________________________
16
	В городе 90000 жителей, причём 17% — это дети до 14 лет. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч.
	Ответ:______________________________
17
	Две трубы, диаметры которых равны 24 см и 32 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
	Ответ:______________________________
18
	На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по площади территории стран мира. Во сколько примерно раз площадь США больше площади Аргентины? (Ответ округлите до целых.)
	Ответ:______________________________
19
	Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Мер­ку­рия равно 58 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Мер­ку­рия? Ско­рость света равна 300000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых. Ответ:______________________________
20
	Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К ⋅ моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=700 К, P=20 941,2 Па, V=9,5 м3.
	Ответ:______________________________
	Часть 2
	Модуль «Алгебра»
21
	Решите систему уравнений
22
	Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в  А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8  часов,  в результате  чего  затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
23
	Постройте график функции y=. Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
	Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 8,4, а АВ = 4.
25
	Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 14, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 4.

Инструкция по выполнению работы

Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 11 заданий: в части 1  - восемь заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Геометрия» содержит восемь заданий: в части 1 – пять заданий; в части 2 – три задания. Модуль «Реальная математика» содержит семь заданий: все задания этого модуля -  в части 1.

На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 8, 14 записываются в виде  одной или  нескольких цифр, которые соответствуют номеру правильного ответа. Эти цифры запишите  в поле ответа в тексте работы без пробелов и запятых.

Для остальных зданий части 1 ответом является числоили  последовательность цифр, которые нужно записать в поле ответа в тексте работы. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите ее в десятичную. В случае записи неверного ответа на задания части 1 зачеркните его и запишите рядом новый.

Решение заданий части 2 и ответы к ним запишите на отдельном листе или бланке. Задания можно выполнять  в любом порядке, начиная с любого модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо указать только его номер.

Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с того модуля, задания которого вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим модулям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,  Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все необходимые вычисления, преобразования и т.д. выполняйте в черновике.  Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Если задание содержит рисунок, то на нём непосредственно в тексте работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными материалами.

Баллы, полученные за верно выполненные задания, суммируются. Для успешного выполнения работы необходимо набрать в сумме не менее 8  баллов, из них не менее 3 баллов в модуле «Алгебра», не менее 2 баллов в модуле «Геометрия» и не менее 2 баллов в модуле «Реальная математика». За каждое правильно выполненное задание части 1 выставляется 1 балл. В каждом модуле части 2 задания оцениваются  в 2 балла.

Желаем успеха!

	Часть 1
	Модуль «Алгебра»
1
	Найдите значение выражения    − 2,07+5,3⋅6,6.
	Ответ:________________________
2
	На координатной прямой отмечены числаа и с. Какое из следующих утверждений неверно? 1)    a – c > 0 2)    – 3< a+ 1< –  2 3)    < 0 4)    – c > – 1
	Ответ:
3
	Найти значение выражения   1)   2)  198  3)  39204  4)  66
	Ответ:
4
	Найдите корень уравнения .
	Ответ: _______________________
5
	На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
	1)  f(−1)=f(5)  2)  Функция убывает на промежутке [2; +∞)  3)  f(x)>0 при x<−1 и при x>5
	Ответ:________________________
6
	В зависимости от пройденного материала выполните задание 6.1 или 6.2. 6.1.    Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии:  4; 6; 8; … Найдите её одиннадцатый член. 6.2.   Уравнение  x2+px+q=0   имеет корни   − 5  и  −1. Найдите q.
	Ответ:________________________
7
	Найдите значения выражения :при х= 4.
	Ответ:________________________
8
	Укажите решение неравенства 7x+9<9x−8. 1)    (− 0,5 ; +∞) 2)    (8,5 ; +∞) 3)    (− ∞ ; 8,5) 4)    (− ∞ ; −0,5)
	Ответ:
	Модуль «Геометрия»
9
	Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 110°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:________________________
10
	Точка O – центр окружности, на которой лежат точки H, I и K таким образом, что OHIK – ромб. Найдите угол HIK. Ответ дайте в градусах.
	Ответ:________________________
11
	Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 36 и 4.
	Ответ:________________________
12
	Катеты прямоугольного треугольника равны и 3. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.
	Ответ:________________________
13
	Какие из следующих утверждений верны?  1)  Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.  2)  Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является  квадратом.  3)  В тупоугольном треугольнике все углы тупые. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Ответ:________________________
	Модуль «Реальная математика»
14
	В таблице даны результаты забега девочек 8 класса на дистанцию 60 м. Зачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,8 с. Номер дорожки I II III IV Время (в с) 10,7 10,9 9,8 11,4 Укажите номера дорожек, по которым бежали девочки, получившие зачёт.  1)  только II  2)  II, IV  3)  только III  4)  I, III
	Ответ:
15
	На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите  по графику, за сколько минут двигатель нагреется с 40 °​C  до 80 °​C.
	Ответ:________________________
16
	В городе 80000 жителей, причём  26% — это пенсионеры. Сколько примерно человек составляет эта категория жителей? Ответ округлите до тысяч. Ответ:________________________
17
	Две трубы, диаметры которых равны 51 см и 68 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
	Ответ:________________________
18
	На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по площади территории стран мира. Во сколько примерно раз площадь России больше площади Судана? (Ответ округлите до целых.)
	Ответ:________________________
19
	Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Неп­ту­на равно 4 553 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Неп­ту­на? Ско­рость света равна 300000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.
	Ответ:________________________
20
	Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К ⋅ моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=400 К, P=13 296 Па, V=4,9 м3.
	Ответ:________________________
	Модуль «Алгебра»
21
	Решите систему уравнений
22
	Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
23
	Постройте график функции:  y=. Определите, при каких значениях m прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки.
	Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ = 2.
25
	Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что CL — биссектриса угла BCD.
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 16, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 2.

МАТЕМАТИКА 9

Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, – 32 балла, из них – за модуль «Алгебра» – 14 баллов, за модуль «Геометрия» – 11 баллов, за модуль «Реальная математика» – 7 баллов.

Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий всех трёх модулей, при условии, что из них не менее 3 баллов по модулю «Алгебра», не менее 2 баллов по модулю «Геометрия» и не менее 2 баллов по модулю «Реальная математика».

Рекомендованные шкалы пересчёта первичного балла в экзаменационную отметку по пятибалльной шкале:

суммарного балла за выполнение работы в целом - в экзаменационную отметку по математике (табл. 1);

суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Алгебра» (все задания модуля «Алгебра» и задания 14, 15, 16, 18, 19, 20 модуля «Реальная математика»), - в экзаменационную отметку по алгебре (табл. 2);

суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Геометрия» (все задания модуля «Геометрия» и задание 17 модуля «Реальная математика»), - в экзаменационную отметку по геометрии (табл. 3).

Таблица 1

Шкала пересчета суммарного балла за выполнение экзаменационной работы в целом в отметку по математике

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Суммарный балл за работу в целом	0 - 7	8 - 14	15 - 21	22 - 32

Таблица 2

Шкала пересчета суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Алгебра» в отметку по алгебре

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Суммарный балл по алгебраическим заданиям	0 - 4	5 - 10	11 - 15	16 - 20

Таблица 3

Шкала пересчета суммарного балла за выполнение заданий, относящихся к разделу «Геометрия» в отметку по геометрии

Отметка по пятибалльной шкале	«2»	«3»	«4»	«5»
Суммарный балл по геометрическим заданиям	0 - 2	3 - 4	5 - 7	8 - 12

Математика 9 класс, 1 вариант

Система оценивания работы по математике

За правильный ответ на задания 1-20 ставится 1 балл

Ответы к заданиям части 1

Номер задания	Правильный ответ
1	24,73
2	1
3	4
4	- 18
5	23
6.1 6.2	18  –24
7	0,75
8	2
9	115
10	120
11	2
12	0,2
13	3
14	4
15	50
16	6
17	50
18	Бразилия
19	43,3
20	1,4

Математика 9 класс, 1 вариант

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Модуль «Алгебра»

21
	или  Ответ(3;3), (-3;3)
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
	1		Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 1 вариант
22
	Пусть х  км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В, тогда (х+10)  км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста из В в А. На путь туда и об­рат­но ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство вре­ме­ни, при этом, сде­лав оста­нов­ку на 3 часа по пути из В в А, от­ку­да: 60(х+10)=90х+3х23х2 +30х – 600=0  х2 + 10х – 200 = 0  Ко­рень −20 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость велоси­пе­ди­ста на пути из А в В равна 10 км/ч.  Ответ:10 км/ч
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Правильно составлено уравнение, получен верный ответ
	1		Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учетом решение доведено до ответа
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 1 вариант
23
	Рас­кры­вая мо­дуль и упро­щая, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:  При этом на гра­фи­ке функ­ции нужно вы­ко­лоть точку (– 3; –9) поскольку при упро­ще­нии мы со­кра­ща­ли вы­ра­же­ние х+3, сто­я­щее в знаме­на­те­ле. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая y=m  не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при m= – 9. Ответ: m= – 9.
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		График построен правильно, верно указаны все значения m, при которых прямая y=m имеет с графиком две общие точки
	1		График построен правильно, указаны не все верные значения m
	0		Другие случаи не соответствующие указанным выше критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 1 вариант
Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 15, а АВ = 4. Решение. Радиус BO перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого известны два катета: AB=4 и  BO = d/2, где d=15 – диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора, длина отрезка AO равна В результате получаем, что длина отрезка AC=AO+OC есть . Ответ: 16.
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Получен верный обоснованный ответ
	1		При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 1 вариант
25
	Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC. Ре­ше­ние. Про­ведём MN па­рал­лель­но BC. Так как CD=2BC и точка N — середина стороны CD , тогда BC= MB = MN=NC. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм BCNM   яв­ля­ет­ся  ром­бом. Диа­го­наль NB ромба BCNM  являет­ся  бис­сек­три­сой угла ABC.
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Доказательство верное, все шаги обоснованы
	1		Доказательство в целом верное, но содержит неточности
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 1 вариант
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 5, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 10. Решение. Проведём  через  точку пересечения биссектрис высоту MN. KH -  расстояние  от точки K до стороны АВ.  Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные. Углы HAK и KAN равны (так как АК – биссектриса), сторона AK — общая, следовательно,  треугольники равны, откуда KN= KH= 10. Аналогично, равны треугольники BKH и BKM, откуда MK=KH=10. Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту: S=AD ·MN= AD·(MK+KN) S=5·20=100 Ответ: 100
		Баллы		Критерии оценки выполнения задания
		2		Ход решения верный, все его шаги выполнены  правильно, получен верный ответ
		1		Ход решения верный, чертёж соответствует  условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
		0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
		2		Максимальный балл

Математика 9 класс, 2 вариант

Система оценивания работы по математике

За правильный ответ на задания 1-20 ставится 1 балл

Ответы к заданиям части 1

Номер задания	Правильный ответ
1	32,43
2	4
3	2
4	-20
5	1
6.1 6.2	62 –24
7	0,2
8	1
9	110
10	60
11	54
12	0,2
13	23
14	3
15	3
16	26
17	29
18	Индонезия
19	6,1
20	4,2

Математика 9 класс, 2 вариант

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Модуль «Алгебра»

21
	или  Ответ: (4;2), (- 4; 2)
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
	1		Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 2 вариант
22
	Пусть х  км/ч — собственная ско­рость баржи, тогда (х+5)  км/ч — скорость баржи по течению и (х – 5) км/ч — ско­рость баржи против течения. На путь туда и об­рат­но было затрачено 10  часов, составим уравнение:   80(х–5) + 60(х + 5)= 10(х2 – 25) 10х2–140х– 150 = 0                  х2 – 14х – 15 = 0  Ко­рень −1 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость баржи равна 15 км/ч.  Ответ:15 км/ч
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Правильно составлено уравнение, получен верный ответ
	1	Правильно составлено уравнение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учетом решение доведено до ответа
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 2 вариант
23
	Рас­кры­вая мо­дуль и упро­щая, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:  При этом на гра­фи­ке функ­ции нужно вы­ко­лоть точку (-2; -3)поскольку при упро­ще­нии мы со­кра­ща­ли вы­ра­же­ние х+2,  сто­я­щее в зна­ме­на­те­ле. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая y=m  не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при m= – 3. Ответ: m= – 3.
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		График построен правильно, верно указаны все значения m, при которых прямая y=m имеет с графиком две общие точки
	1		График построен правильно, указаны не все верные значения m
	0		Другие случаи не соответствующие указанным выше критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 2 вариант
Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 16, а АВ = 15. Решение. Радиус BO перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого известны два катета: AB=15 и  BO = d/2, где d=16 – диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора, длина отрезка AO равна: В результате получаем, что длина отрезка AC=AO+OC есть AC=17+8=25. Ответ: 25
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Получен верный обоснованный ответ
	1		При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 2 вариант
25
	Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD. Про­ведём MN па­рал­лель­но CD. Так как АD=2CD и точка M — середина стороны AD , тогда   CD= MD = MN=NC. Сле­до­ва­тель­но, па­рал­ле­ло­грамм  DCNM  яв­ля­ет­ся ром­бом. Диа­го­наль  MC ромба  DCNM явля­ет­ся биссектри­сой угла BCD.
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Доказательство верное, все шаги обоснованы
	1		Доказательство в целом верное, но содержит неточности
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2		Максимальный балл
Математика 9 класс, 2 вариант
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если  ВС = 4, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 8. Решение. Проведём через точку пересечения биссектрис высоту MN. KH -  расстояние от точки K до стороны АВ. Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные, углы HAK и KAN равны (так как АК –биссектриса), сторона AK—общая, следовательно, треугольники равны, откуда KN= KH= 8   Аналогично, равны треугольники BKH и BKM откуда MK=KH=8.  Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:  S=ВС ·MN= ВС·(MK+KN) S=4·16=64 Ответ: 64
	Баллы		Критерии оценки выполнения задания
	2		Ход решения верный, все его шаги выполнены  правильно, получен верный ответ
	1		Ход решения верный, чертёж соответствует  условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
	0		Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2		Максимальный балл

Математика 9 класс, 3 вариант

Система оценивания работы по математике

За правильный ответ на задания 1-20 ставится 1 балл

Ответы к заданиям части 1

Номер задания	Правильный ответ
1	8,35
2	4
3	1
4	14
5	2
6.1 6.2	38 –10
7	0,25
8	1
9	55
10	60
11	1
12	0,5
13	3
14	2
15	40
16	15
17	40
18	3
19	3,2
20	34,2

Математика 9 класс, 3 вариант

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Модуль «Алгебра»

21
	или  Ответ:  (5;3), (- 5;3)
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
	1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 3 вариант
22
	Пусть   х  км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В, тогда  (х+8)  км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста из В в А. На путь туда и об­рат­но ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство вре­ме­ни, при этом, сде­лав оста­нов­ку на 8 часов по пути из В в А, от­ку­да: 209(х+8) = 273х+8х2 8х2 + 64х – 1672 = 0                  х2 + 8х – 209 = 0  Ко­рень −19 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В равна 11 км/ч. Ответ: 11 км/ч.
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Правильно составлено соотношение, получен верный ответ
	1	Правильно составлено соотношение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учетом решение доведено до ответа
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 3 вариант
23
	Постройте график функции y=. Определите, при каких значениях m  прямая y=m не имеет с графиком ни одной общей точки. Рас­кры­вая мо­дуль и упро­щая, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:  При этом на гра­фи­ке функ­ции нужно вы­ко­лоть точку (–2; –1 )по­сколь­ку при упро­ще­нии мы со­кра­ща­ли вы­ра­же­ние х+3,  сто­я­щее в зна­ме­на­те­ле. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая y=m  не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при m= – 1. Ответ: m= – 1
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	График построен правильно, верно указано количество точек, которые может иметь прямая, параллельная оси абсцисс с графиком функции.
	1	График построен правильно, указано неверное количество точек
	0	Другие случаи не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 3 вариант
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 8,4, а АВ = 4. Радиус BO перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого известны два катета: AB=4 и  BO = d/2, где d=8,4 – диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора, длина отрезка AO равна: В результате получаем, что длина отрезка AC=AO+OC есть AC=5,8+4,2=10. Ответ: 10
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Получен верный обоснованный ответ
	1	При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 3 вариант
25
	Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC. Про­ведём MN па­рал­лель­но AB. Так как АD=2АВ  и точка M — середина стороны AD , тогда   AB= AM = MN=BN. Следовательно, па­рал­ле­ло­грамм ABNM  яв­ля­ет­ся  ром­бом. Диа­го­наль BM ромба ABNM яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ABC.
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Доказательство верное, все шаги обоснованы
	1	Доказательство в целом верное, но содержит неточности
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 3 вариант
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 14, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 4. Решение. Проведём через точку пересечения биссектрис высоту MN. KH -  расстояние от точки K до стороны АВ. Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные, углы HAK и KAN равны (так как АК – биссектриса), сторона AK—общая, следовательно, треугольники равны, откуда KN=KH=4. Аналогично, равны треугольники BKH и BKM, откуда MK=KH=4.  Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:  S=ВС ·MN= AD·(MK+KN) S=14·8=112 Ответ: 112
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Ход решения верный, все его шаги выполнены  правильно, получен верный ответ
	1	Ход решения верный, чертёж соответствует  условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2	Максимальный балл

Математика 9 класс, 4 вариант

Система оценивания  работы по математике

За правильный ответ на задания 1-20 ставится 1 балл

Ответы к заданиям части 1

Номер задания	Правильный ответ
1	32,91
2	1
3	2
4	4,2
5	13
6.1 6.2	24                        5
7	0,6
8	2
9	45
10	120
11	72
12	0,25
13	12
14	4
15	5
16	21
17	85
18	7
19	252,9
20	19,6

Математика 9 касс, 4 вариант

Решения и критерии оценивания заданий части 2

Модуль «Алгебра»

21
	или  Ответ: (3; 4); (-3; 4).
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Правильно выполнены преобразования, получен верный ответ
	1	Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера или описка, с ее учетом дальнейшие шаги выполнены верно
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 4 вариант
22
	Пусть х  км/ч — собственная ско­рость баржи, тогда (х+5)  км/ч — ско­рость баржи по течению и (х – 5) км/ч — ско­рость баржи против течения. На путь туда и об­рат­но было затрачено 4  часа, составим уравнение:   32(х–5) + 24(х + 5)= 4(х2 – 25) 4х2– 56х– 60 = 0                  х2 – 14х – 15 = 0       Ко­рень −1 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость баржи равна 15 км/ч.  Ответ: 15 км/ч
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Правильно составлено соотношение, получен верный ответ
	1	Правильно составлено соотношение, но при его решении допущена вычислительная ошибка, с её учетом решение доведено до ответа
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 4 вариант
23
	Рас­кры­вая мо­дуль и упро­щая, по­лу­чим, что функ­цию можно пред­ста­вить сле­ду­ю­щим об­ра­зом:  При этом на гра­фи­ке функ­ции нужно вы­ко­лоть точку (– 4; – 8) поскольку при упро­ще­нии мы со­кра­ща­ли вы­ра­же­ние х+4,  сто­я­щее в зна­ме­на­те­ле. Из гра­фи­ка видно, что пря­мая y=m  не имеет с гра­фи­ком функ­ции ни одной общей точки при m= – 8. Ответ: m= – 8
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	График построен правильно, верно указано количество точек, которые может иметь прямая, параллельная оси абсцисс с графиком функции.
	1	График построен правильно, указано неверное количество точек
	0	Другие случаи не соответствующие указанным выше критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 4 вариант
	Модуль «Геометрия»
24
	Окружность с центром на стороне АС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5,   а АВ = 2.
	Решение. Радиус BO перпендикулярен стороне AB, так как AB – касательная к окружности по условию задачи. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO, у которого известны два катета: AB=2 и  BO = d/2, где d=7,5 – диаметр окружности. Тогда по теореме Пифагора, длина отрезка AO равна: В результате получаем, что длина отрезка AC=AO+OC есть AC=4,25+3,75=8. Ответ: 8
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Получен верный обоснованный ответ
	1	При верных рассуждениях допущена вычислительная ошибка, возможно приведшая к неверному ответу
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 4 вариант
25
	Сторона AB параллелограмма ABCD  вдвое больше стороны BC. Точка L — середина стороны AB. Докажите, что CL — биссектриса угла BCD. Про­ведём  LN  па­рал­лель­но BC. Так как АВ=2ВС  и точка L — середина стороны AB , тогда   BC= NC = LN=LB. Сле­до­ва­тель­но, па­рал­ле­ло­грамм LBCN  яв­ля­ет­ся  ром­бом. Диа­го­наль LC  ромба LBCN являет­ся бис­сек­три­сой угла BCD.
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Доказательство верное, все шаги обоснованы
	1	Доказательство в целом верное, но содержит неточности
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2	Максимальный балл
Математика 9 класс, 4 вариант
26
	Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 16, а расстояние от точки K до стороны АВ равно 2. Проведём через точку пересечения биссектрис высоту MN. KH -  расстояние от точки K до стороны АВ. Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные, углы HAK и KAN равны (так как АК – биссектриса), сторона AK—общая, следовательно, треугольники равны, откуда KN=KH=2.  Аналогично, равны треугольники BKH и BKM откуда MK=KH=2.  Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту: S=ВС ·MN= ВС·(MK+KN) S=16·4=64 Ответ: 64
	Баллы	Критерии оценки выполнения задания
	2	Ход решения верный, все его шаги выполнены  правильно, получен верный ответ
	1	Ход решения верный, чертёж соответствует  условию задачи, но пропущены существенные объяснения или допущена вычислительная ошибка
	0	Другие случаи, не соответствующие указанным критериям
	2	Максимальный балл