Варианты впр «ВПР 8 класс 110 вариант» (математика)

ВПР

8 класс

математика

110 вариант

1. Найдите значение выражения  

2. Решите уравнение 

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

3. На кружок по математике записались семиклассники и восьмиклассники. Количество семиклассников, записавшихся на кружок, относится к количеству восьмиклассников как 3 : 5 соответственно. Среди записавшихся на кружок 9 семиклассников. Сколько восьмиклассников записалось на кружок по математике?

4. На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия:   

5. На рисунке изображён график линейной функции. Напишите формулу, которая задаёт эту линейную функцию.

6. На диаграмме жирными точками показан расход электроэнергии в однокомнатной квартире в период с января по декабрь 2018 года в кВт · ч . Для наглядности точки соединены линией.

На сколько примерно киловатт-часов больше было израсходовано в сентябре, чем в августе? Чем, по вашему мнению, можно объяснить снижение расхода электроэнергии в летний период? Напишите несколько предложений, в которых обоснуйте своё мнение по этому вопросу.

7. Для группы иностранных гостей требуется купить 30 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет‐магазинах. Цена путеводителя и условия доставки всей покупки приведены в таблице.

Интернет- магазин	Цена одного путеводителя (руб.)	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия
А	255	350	нет
Б	270	300	Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает 8000 р.
В	245	450	Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает 7500 р.

Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

8. Отметьте на координатной прямой число 

9. Найдите значение выражения если 

10. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.

11. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 14 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

13. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Найдите  если  

14. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

1) Существуют две различные прямые, не имеющие общих точек.

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности касаются.

3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

15. Дизайнер, чтобы дополнить прекрасный рисунок в виде равнобедренного треугольника на стене заказчика, решил провести прямую. Автор рисунка, являясь большим любителем геометрии, решил провести её следующим образом: она пройдёт через вершину угла при основании и разделит исходный треугольник на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным. Помогите дизайнеру найти углы исходного равнобедренного треугольника.

16. На диаграмме показаны средние баллы по дисциплине английский язык на первом курсе бакалавриата филологии трёх студентов в городе Санкт-Петербург: Анны, Анастасии и Ольги. На горизонтальной оси отложены месяцы обучения, а на вертикальной оси — оценка в десятибалльной системе. Рассмотрите диаграмму и прочтите сопровождающий текст.

Ольга больше любит немецкий, чем английский, и семинары по этой дисциплине посещала очень редко. Однако отец девушки работал переводчиком для иностранных послов и всегда находил время помочь ей выполнить домашнюю работу идеально. Тем не менее на зимней сессии никто ей помочь не мог, Ольга не была готова хорошо написать экзамен. После зимней сессии отец студентки очень сильно расстроился и отказался ей помогать. Оценки Ольги оставляли желать лучшего.

Анна поступила на первый курс по олимпиаде, окончив элитную частную гуманитарную гимназию. Её родители потомственные филологи, и этой девушке всегда всё легко давалось. Она уже имела сертификат по английскому CAE с оценкой 205 (уровень C2 — владение языком в совершенстве). Поэтому эта дисциплина легко ей давалась: она получала высшие оценки. Тем не менее примерно в марте Анна слишком зазналась и перестала прикладывать какие-либо усилия, что привело к падению среднего балла.

Анастасия, имея неплохой уровень B2, попала в сильную группу. Она очень старалась, но материал был слишком сложен для неё, поэтому получать «отлично» не удавалось. И всё же упорство Анастасии и её стремление помогли сдать зимнюю сессию (конец декабря) на высший балл. Впоследствии Анастасия стала учиться намного лучше, стабильно получая оценки «отлично».

Студентка Полина имела такой же средний балл в первый месяц, как и Анна. Однако её лень и постоянно праздный образ жизни привели к падению ее оценки каждый месяц на 10% по сравнению с сентябрём вплоть до декабря. Из-за этого результат сессии оказался ниже на 20 процентов, чем аналогичная оценка у Анастасии. Весной Полина опомнилась и начала постепенно выравнивать свои оценки, догоняя Анастасию.

1. На основании прочитанного определите, какому студенту соответствует каждый из трёх графиков.

2. По имеющемуся описанию постройте схематично график, показывающий изменение среднего балла Полины в течение учебного года.

17. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 10. Запишите решение и ответ.

18. Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

19. Мастер делает за один час целое число деталей, большее 18, а ученик — на 10 деталей меньше. Мастер выполняет заказ за целое число часов, а три ученика вместе — на два часа быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ?

Решение

1. Найдите значение выражения  

Решение.

Приведём в скобках к общему знаменателю:

Ответ: 3,45.

2. Решите уравнение 

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение.

Решим квадратное уравнение:

Ответ: –51,4.

3. На кружок по математике записались семиклассники и восьмиклассники. Количество семиклассников, записавшихся на кружок, относится к количеству восьмиклассников как 3 : 5 соответственно. Среди записавшихся на кружок 9 семиклассников. Сколько восьмиклассников записалось на кружок по математике?

Решение.

Вычислим количество восьмиклассников, записавшихся на кружок по математике:

Ответ: 15.

4. На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия:   

Решение.

Из первого неравенства следует, что  из второго, что  а из третьего, что , значит, x находится в промежутке 

5. На рисунке изображён график линейной функции. Напишите формулу, которая задаёт эту линейную функцию.

Решение.

Из графика видно, что прямая проходит через точки  и  Уравнение прямой имеет вид  Решим систему

Таким образом, уравнение прямой имеет вид 

Ответ: 

6. На диаграмме жирными точками показан расход электроэнергии в однокомнатной квартире в период с января по декабрь 2018 года в кВт · ч . Для наглядности точки соединены линией.

На сколько примерно киловатт-часов больше было израсходовано в сентябре, чем в августе? Чем, по вашему мнению, можно объяснить снижение расхода электроэнергии в летний период? Напишите несколько предложений, в которых обоснуйте своё мнение по этому вопросу.

Решение.

В сентябре расход электроэнергии был примерно на 10–18 (в ответе может быть записано любое число из этого промежутка) киловатт-часов больше, чем в августе.

Поскольку летом световой день длиннее, а температура воздуха выше, в летние месяцы расход электроэнергии меньше, чем в осенние.

7. Для группы иностранных гостей требуется купить 30 путеводителей. Нужные путеводители нашлись в трёх интернет‐магазинах. Цена путеводителя и условия доставки всей покупки приведены в таблице.

Интернет- магазин	Цена одного путеводителя (руб.)	Стоимость доставки (руб.)	Дополнительные условия
А	255	350	нет
Б	270	300	Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает 8000 р.
В	245	450	Доставка бесплатно, если сумма заказа превышает 7500 р.

Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение.

Рассмотрим все варианты.

При покупке в магазине А цена тридцати путеводителей составит 7650 руб., с доставкой — 8000 руб.

При покупке в магазине Б цена тридцати путеводителей составит 8100 руб., доставка будет бесплатной.

При покупке в магазине В цена тридцати путеводителей составит 7350 руб., с доставкой — 7800 руб.

Следовательно, наименьшая стоимость покупки с учётом доставки составляет 7800 руб.

Ответ: 7800.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что если купить в магазине В не 30, а 31 путеводитель, то их стоимость будет 7595 руб., причём доставка окажется бесплатной. Тем самым, это наиболее дешёвый вариант.

8. Отметьте на координатной прямой число 

Решение.

Заметим, что , а  значит,  находится в промежутке  причем, близко к левой части указанного промежутка. Изобразим его на координатной оси.

9. Найдите значение выражения если 

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение полученного выражения при 

Ответ: −1,2.

10. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.

Решение.

Количество каналов, по которым не идет кинокомедий  Вероятность того, что Маша не попадет на канал, по которому идут кинокомедии равна отношению количества каналов, по которым не идут кинокомедии к общему числу каналов: 

Ответ: 0,85.

11. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 14 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение.

Виноград содержит 10% питательного вещества, а изюм – 95%. Поэтому 14 кг изюма содержат  кг питательного вещества. Таким образом, для получения 14 килограммов изюма требуется  кг винограда.

Ответ: 133.

12. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно пяти сторонам клетки, или 5 см.

Ответ: 5

13. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Найдите  если  

Решение.

Проведём высоту BH, которая является также медианой в равнобедренном треугольнике ABC, тогда 

В треугольнике AHB  

По теореме Пифагора найдём высоту BH в прямоугольном треугольнике AHB:

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, поэтому

Ответ: 0,75.

14. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

1) Существуют две различные прямые, не имеющие общих точек.

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности касаются.

3) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Решение.

1) Да, такие прямые называются параллельными.

2) Нет, окружности касаются, если расстояние между ними равно сумме их радиусов.

3) Да, по свойству равнобедренной трапеции.

Значит, верны первое и третье утверждение.

Ответ: 13.

15. Дизайнер, чтобы дополнить прекрасный рисунок в виде равнобедренного треугольника на стене заказчика, решил провести прямую. Автор рисунка, являясь большим любителем геометрии, решил провести её следующим образом: она пройдёт через вершину угла при основании и разделит исходный треугольник на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным. Помогите дизайнеру найти углы исходного равнобедренного треугольника.

Решение.

Пусть треугольник ABC, в котором  разделен отрезком BD на два равнобедренных треугольника ABD и BCD. Рассмотрим два случая:

Первый случай: стороны AD, BD и BC равны между собой.

Обозначим через x величину угла A треугольника ABC. Для составления уравнения воспользуемся свойством углов равнобедренного треугольника и теоремой о внешнем угле треугольника. Имеем:

Поскольку  то  Выражая через x сумму углов треугольника ABC, приходим к уравнению  откуда получаем, что 

Второй случай: стороны AD, BD и BC, CD попарно равны между собой.

Приведя аналогичные рассуждения, что и в первом пункте, получим уравнение  откуда 

Легко проверить, что оба корня удовлетворяют условию задачи.

16. На диаграмме показаны средние баллы по дисциплине английский язык на первом курсе бакалавриата филологии трёх студентов в городе Санкт-Петербург: Анны, Анастасии и Ольги. На горизонтальной оси отложены месяцы обучения, а на вертикальной оси — оценка в десятибалльной системе. Рассмотрите диаграмму и прочтите сопровождающий текст.

Ольга больше любит немецкий, чем английский, и семинары по этой дисциплине посещала очень редко. Однако отец девушки работал переводчиком для иностранных послов и всегда находил время помочь ей выполнить домашнюю работу идеально. Тем не менее на зимней сессии никто ей помочь не мог, Ольга не была готова хорошо написать экзамен. После зимней сессии отец студентки очень сильно расстроился и отказался ей помогать. Оценки Ольги оставляли желать лучшего.

Анна поступила на первый курс по олимпиаде, окончив элитную частную гуманитарную гимназию. Её родители потомственные филологи, и этой девушке всегда всё легко давалось. Она уже имела сертификат по английскому CAE с оценкой 205 (уровень C2 — владение языком в совершенстве). Поэтому эта дисциплина легко ей давалась: она получала высшие оценки. Тем не менее примерно в марте Анна слишком зазналась и перестала прикладывать какие-либо усилия, что привело к падению среднего балла.

Анастасия, имея неплохой уровень B2, попала в сильную группу. Она очень старалась, но материал был слишком сложен для неё, поэтому получать «отлично» не удавалось. И всё же упорство Анастасии и её стремление помогли сдать зимнюю сессию (конец декабря) на высший балл. Впоследствии Анастасия стала учиться намного лучше, стабильно получая оценки «отлично».

Студентка Полина имела такой же средний балл в первый месяц, как и Анна. Однако её лень и постоянно праздный образ жизни привели к падению ее оценки каждый месяц на 10% по сравнению с сентябрём вплоть до декабря. Из-за этого результат сессии оказался ниже на 20 процентов, чем аналогичная оценка у Анастасии. Весной Полина опомнилась и начала постепенно выравнивать свои оценки, догоняя Анастасию.

1. На основании прочитанного определите, какому студенту соответствует каждый из трёх графиков.

2. По имеющемуся описанию постройте схематично график, показывающий изменение среднего балла Полины в течение учебного года.

Решение.

1. Очень резкий спад после зимней сессии виден на третьем графике, скорее всего, это график среднего балла Ольги. Очень высокие оценки в начале учебного года и небольшой спад весной виден на втором графике, поэтому это кривая средних оценок Анны. Тогда первый график с постоянным ростом и высоким баллом в конце декабря является графиком оценок Анастасии.

2. Например,

17. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 10. Запишите решение и ответ.

Решение.

Заметим, что  так как AM — биссектриса угла BAD, следовательно, в прямоугольном треугольнике AMD: AD = 2MD и ∠ADM = 60°. Углы ADM и CMD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей MD, получаем

следовательно, треугольник MCD равносторонний, тогда  а  Периметр параллелограмма ABCD:

Ответ: 60.

18. Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Решение.

Пусть скорость второго велосипедиста равна v км/ч, тогда скорость первого велосипедиста равна (v + 15) км/ч. Получаем уравнение:

Условию задачи удовлетворяет корень v = 10.

Ответ: 10 км/ч.

19. Мастер делает за один час целое число деталей, большее 18, а ученик — на 10 деталей меньше. Мастер выполняет заказ за целое число часов, а три ученика вместе — на два часа быстрее. Из какого числа деталей состоит заказ?

Решение.

Пусть мастер за час делает x деталей, а ученик —  при этом  Мастер выполняет заказ за  часов, поэтому имеем

Выразим x из этого уравнения

Поскольку  то  и, более того,  Тогда  или  Находим x, подставив значения k в уравнение. Получаем  и  соответсвенно. Тогда заказ состоит из  или 

Ответ: 120.