Внеклассное мероприятие по математике "Уравнения и графики"

МБОУ «Первоцепляевская средняя общеобразовательная школа

Шебекинского района Белгородской области»

Уравнения и графики

(внеклассное мероприятие)

Учитель: Шевелева Светлана Владимировна

Уравнения и графики

…если вы хотите участвовать в большой                         жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.

                                                                  М. Калинин

Цель работы:

Выяснить, какие графики, кроме изученных нами ранее, существуют и какими уравнениями они задаются.

Актуальность работы:

Актуальность уравнений и графиков определяется, прежде всего, их практически бесконечным разнообразием и повсеместным использованием.

         На свете существует очень много наук, и все науки тесно связаны друг с другом. Нельзя заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии, геологией, не зная биологии… Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это – математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки… Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед и с огромной точностью ход вещей.

        Не секрет, что некоторым из нас уроки математики в школе кажутся чересчур сложными и даже порой скучными. И большинство из нас, наверняка, никогда не задумывались, что за безликими рядами цифр, формул, теорем и умозаключений стоят удивительные судьбы людей, вдохновленных и влюбленных в «царицу всех наук». Их именами названы различные законы, теоремы, уравнения и графики.

       Уравнения с двумя неизвестными имеют своими графиками линии на плоскости. Напомним примеры таких линий:

     y = kx + b – прямая, например y = -x + 15;

                     15

                     10

                        5

                                               

                         0        5     10    15                   

   или xy = k – гипербола, например ;

 

                               1

                               

                                 0   1

y = ax² + bx + c – парабола, например y = 2x² + 4x -1;

 

                             -1   0

                                          -1                       

                                          -3

y² + x² = r² – окружность, например x² + y² = 4.

 

                                         2

 

                                        0              2

              Из рассмотренных выше примеров можно сделать интересные выводы.

              Заметим, что в случае, когда оба неизвестных  входят в уравнение первой степени, график – всегда прямая. Если хотя бы одна переменная или обе они входят в уравнение во второй степени (второй степенью будем также считать и тот случай, когда имеется произведение двух переменных, каждая из которых в первой степени), то получается гипербола, парабола или окружность. Существуют ли еще какие-нибудь кривые, кроме этих? Какими уравнениями они описываются?

             Тут возникает очень много вопросов, и начинается разговор о новом разделе математики: с одной стороны, это вроде бы геометрия, ведь речь идет о разных линиях, а с другой стороны – вроде бы алгебра, так как речь идет об уравнениях. Этот раздел математики изучается во многих высших учебных заведениях и называется аналитической геометрией. А чтобы понять это название, отметим, что в Европе далеко не все математики в средние века признавали слово «алгебра» и чаще говорили об «аналитическом искусстве», т. е. искусстве анализировать, исследовать задачи при помощи уравнений.

             Попробуем решить две задачи по аналитической геометрии. Для этого нам понадобится знание теоремы Пифагора, понимание устройства системы координат и немного настойчивости.

              Задача 1.

             Построим график кривой, уравнение которой  x²y = 4(2-y).

             Сначала преобразуем уравнение так, чтобы получить удобный для вычислений вид: .

             Заметим сразу – это важно для облегчения вычислений, - что областью определения записной сейчас функции служит множество всех чисел. Кроме того, заметим, что, так как переменная x входит в уравнение только во второй степени, то равным по модулю, но противоположным по знаку значениям этой переменной будут соответствовать равные значения функции. Значит, для отрицательных значений переменной x мы не будем выполнять специальных вычислений. Теперь составим таблицу значений функции:

Значения функции x²y = 4(2-y)

x	0	±1	±2	±4	±6	±14
x2	0	1	4	16	36	196
x2+4	4	5	8	20	40	200
y	2	1,6	1	0,4	0,2	0,04

               Этих данных вполне достаточно, чтобы построить график кривой.

               Обратим внимание, что мы выбирали значения переменной x, удобные для выполнения вычислений. Надо уметь этим пользоваться, но следует быть очень внимательным и осторожным, чтобы некоторые особенности кривой не оказались незамеченными.

              Посмотрите на построенный график. Это не прямая, но это и не парабола, и не гипербола, и тем более не окружность. Получившаяся кривая называется локоном Аньези. Такое необычное название дано в честь итальянской женщины-математика Марии Гаэтаны Аньези (1718-1799).

            Общий вид уравнения кривой .

             

               Задача 2.

               Выполним сначала одно практическое упражнение. Возьмем листок бумаги и посередине его начертим отрезок F₁F₂ длиной 8 см. теперь положим листок на деревянную дощечку и в точки F₁ и F₂ воткнем иголки или булавки или вобьем не до конца маленькие гвоздики. Привяжем к этим «точкам» нитку так, чтобы ее длина была равна 10 см. А теперь, натягивая нитку карандашом, проведем кривую на этом листочке. Получилась какая-то новая кривая. Ее название – эллипс. Если бы точки F₁ и F₂ совпали, то наша кривая была бы обыкновенной окружностью.

               Вот теперь сформулируем нашу вторую задачу:

               Составить уравнение эллипса.

у

               Чтобы уточнить задачу, расположим оси координат так, как показано на рисунке, т. е. ось абсцисс проведем так, чтобы отрезок F₁F₂ принадлежал ей, а ось ординат проведем через середину этого отрезка. Теперь заметим, что для любой точки эллипса, например для точки K, сумма отрезков F₁K и F₂K всегда составляет одно и то же число; так мы строили эллипс. Поэтому, кстати, обычно и говорят: эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная. Точки эти называются фокусами.

К

 

х

   Итак, сумма расстояний от точки K эллипса до его фокусов F₁ и F₂ в нашем примере равна 10:

   F₁K + F₂K =10.

Но

и

      .

   Подставив в равенство F₁K + F₂K =10 эти результаты, получим

   .

    Получилось уравнение эллипса.

    Попробуем избавиться от корней. Перенесем один из них в правую часть уравнения:

.

Теперь возведем в квадрат обе части уравнения и приведем подобные члены:

Остался один корень. Перенесем его в левую часть, а все остальные члены уравнения соберем в правой части уравнения, раскроем скобки и приведем подобные члены:

Теперь еще раз возведем обе части уравнения в квадрат, только сначала разделим все его члены на 4 (общий множитель):

25 ^. 16 – 25 ^. 8х + 25х² + 25у² = 25^{2 .} 8х +16х².

Приведем подобные члены:

9х² + 25у² = 25² – 25 ^. 16;

9х² + 25у² = 25 ^. 9.

Разделим правую и левую части последнего уравнения на произведение 25 ^. 9 (нам и здесь не надо выполнять умножение). Получается:

В общем виде уравнение эллипса имеет вид:

Если а = в, то получится окружность.

Интересное свойство эллипса.

Пусть в точке F₁ находится лампочка. В какой бы точке эллипса ни было помещено зеркало, касающееся эллипса, луч света, попавший в эту точку, обязательно отразится в точку F₂. Вот почему эти точки называют фокусами (лат. focus – очаг, огонь).

              Самый важный из возможных примеров – астрономический. Спутники Земли движутся по эллиптическим орбитам, сама Земля, как и остальные планеты, движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Этот факт впервые установил в начале XVII в. замечательный немецкий астроном и математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630). Теперь ясно, что эллипс – кривая очень важная, и нам совсем небесполезно знать, как получить его уравнение.

Вот куда -  к Кеплеру и законам движения планет привели нас размышления о совсем вроде бы простой вещи – уравнениях с двумя переменными!

                Приведем еще несколько примеров уравнений, графики которых не изучаются в школьном курсе математики:      

n  1. Лемниската Бернулли

n  2. Декартов лист

n  3. Эвольвента окружности

              Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. В прямоугольных координатах: (x² + y²)² - 2a²(x² - y²) = 0.  Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Название "лемниската" восходит к античному Риму, где так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

                Лемниската Бернулли известна железнодорожникам-инженерам. Она служит  переходной линией между участками железнодорожного полотна прямолинейной и округлой формы, обеспечивая плавность закругления.

               Декартов лист – плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной  системе x³ + y³ = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

                Назвали его декартовым листом в честь французского математика, философа Рене Декарта, который составил для него это уравнение. 

                Однако Р. Декарт построил только петлю в первом координатном углу, где х и у принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырех координатных четвертях, в виде четырех лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина.    В современном виде эту кривую впервые представил Х.Гюйгенс в 1692 году.

                  

     Эвольвента окружности.

     У лукоморья дуб зеленый;

     Златая цепь на дубе том:

     И днем и ночью кот ученый

     Все ходит по цепи кругом…

        Всем известны эти пушкинские строки. А задумывались ли вы над тем, какую линию описывает кот при своем движении вокруг дуба? На первый взгляд может показаться, что при таком движении описывается окружность. Но это неверно. Ведь цепь во время  движения наматывается или сматывается с дуба так, что она все время натянута и образует касательные к окружности ствола. Ее концы при этом описывают линию, которая называется эвольвентой окружности, а окружность при этом называется эволютой данной эвольвенты.

Так что кот не зря назван Пушкиным «ученым»: он знаком со сложной геометрической кривой, которая не изучается в школе, а только в вузе! Впрочем, это, конечно, шутка.

         Эвольвента окружности нашла свое применение в современном машиностроении. В зубчатой передаче контактирующие элементы двух профилей выполняются по эвольвентам окружности и образуют, так называемое эвольвентное зацепление и широко распространяются в зубчатых передачах.

            Существуют еще уравнения, графики которых носят необычные названия:

n  астроида

n  кардиоида

n  клофоида

n  строфоида

n  спираль Корню

     С ними можно познакомиться заглянув, хотя бы, в Интернет. 

            Вывод:

      Мы рассмотрели графики некоторых уравнений, не изучаемых в школе, коснулись истории их изучения и практического применения. Полученная информация расширит ваш кругозор и, возможно, побудит заинтересованность к одному из важнейших школьных предметов.

Используемая литература:

1. «Школьникам о математике и математиках» Пособие для учащихся 4-8классов средней школы Составитель М.М.Лиман  Москва «Просвещение» 1981

2. «История математики в школе VII – VIII классы» Г.И.Глейзер Пособие для учителей  Москва «Просвещение» 1982 

3. «Доклады. Рефераты. Сообщения. Математика 6-8 классы» В.А.Кутецкая: Издательский Дом «Литера», 2007.

4. Интернет-ресурсы