Вопросы переводного экзамена по геометрии в 8 классе.

Переводной экзамен по геометрии за курс 8 класса.

Пояснительная записка.

С 2008 года в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы проводится в новой форме, включена геометрия. С 2011 года задания по геометрии включаются в экзамен по математике. С 2013 года КИМы по математике (за курс основной школы) состоят из трех модулей («Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика»). Всего экзамен включает 11 заданий по геометрии: в первой части – 5 заданий в модуле «Геометрия» и 3 задания в модуле «Реальная математика», во второй части – 3 задания. Причем оценка за экзамен будет неудовлетворительной, если не выполнено два задания по геометрии. Чтобы успешно сдать экзамен по математике за курс основной школы, необходимо провести экзамен на промежуточной аттестации за курс геометрии 8 класса.

Билеты составлены по курсу геометрии 8 класса. Всего 17 билетов по три вопроса в каждом: первый вопрос  предполагает, что учащийся должен сформулировать теорему, свойство и  доказать его, правильно сформулировать определение, привести пример  или выполнить необходимый рисунок. Второй вопрос предполагает, что учащийся  правильно и грамотно должен сформулировать определение, записать необходимую формулу, привести пример, или выполнить необходимый рисунок.

Третий вопрос практический  – состоит из задачи, которую нужно правильно оформить, составить к ней  чертеж и решить, обосновывая каждое действие известными геометрическими сведениями.

Билеты формируются произвольно с использованием данных вопросов.

Содержание заданий экзаменационных билетов разработано по основным темам курса геометрии 8 класса: «Четырехугольники», «Параллелограмм и трапеция», «Прямоугольник, ромб, квадрат», «Площадь многоугольника», «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции», «Теорема Пифагора», «Подобные треугольники», «Признаки подобия  треугольников», «Применение подобия треугольников к доказательству теорем и решению задач», «Соотношение между сторонами и углами треугольника», «Касательная к окружности»,  «Центральные и вписанные углы», «Четыре замечательные точки треугольника», «Вписанные и описанные окружности».

Критерии оценивания:

Отметка 5 (отлично) – ставится за полный, логически обоснованный ответ на все три вопроса билета.

Отметка 4 (хорошо) – выставляется за обоснованный полный ответ на 1 вопрос, изложенный второй вопрос с небольшими недочетами и решение задачи, но возможны,  допустимы вычислительные ошибки или неточности в доказательстве теоремы.

Отметка 3 (удовлетворительно) – ставится за решение  задачи и правильно сформулированные теоремы, свойства, определения (без доказательства).

Отметка  2  (неудовлетворительно) – выставляется во всех остальных случаях.

Вопрос 1 (привести подробное доказательство).

1. Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма, доказательство любого признака.
2. Определение прямоугольника. Признаки прямоугольника, доказательство любого признака
3. Определение ромба.  Доказательство свойства  ромба.
4. Понятие многоугольника. Выпуклый многоугольник. Сумма его углов.
5. Определение подобных треугольников. Доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников.
6. Площадь треугольника (с доказательством).
7. Площадь трапеции (с доказательством).
8. Теорема Пифагора (с доказательством).
9. Признаки подобия треугольников, доказательство любого признака.
10. Средняя линия треугольника (определение и теорема с доказательством).
11. Касательная к окружности, свойства касательной (доказательство любого свойства).
12. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку (определение и теорема).
13. Свойство биссектрисы угла.
14. Теорема о вписанном угле.
15. Взаимное расположение прямой и окружности (три случая).
16. Площадь прямоугольника (теорема с доказательством).
17. Признаки подобия треугольников, доказательство любого признака.

Вопрос 2 (сформулировать и записать).

1. Запишите формулу площади треугольника.
2. Запишите  формулу площади трапеции.
3. В равнобедренной трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45°. Найдите площадь трапеции, если основания равны 13 и 27 см.
4. Формула площади параллелограмма.
5. Трапеция. Определение, виды. Свойства равнобедренной трапеции.
6. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°.
7. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
8. Вписанная и описанная окружности (определение с примерами)
9. Площадь квадрата.
10. Формула Герона (формулировка).
11. Формула площади ромба через его диагонали.
12. Площадь параллелограмма.
13. Центральная и осевая симметрия.
14. Подобные треугольники. Отношение периметров и площадей подобных треугольников.
15. Формула площади прямоугольного треугольника
16. Пропорциональные отрезки (определение). Подобные треугольники (сходственные стороны, коэффициент подобия).
17. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Вопрос 3. Решить задачу.

1. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна З√2 см, угол К равен 45°,а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. Докажите, что ∆ СОB ~ ∆ AOD.
3. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (формулировка и формулы).
4. В тре­уголь­ни­ке    угол    равен 90°,  . Най­ди­те  .
5. В параллелограмме АВСД проведены биссектрисы АК и ДМ (К, М лежат на ВС), которые делят сторону на три равные части. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 20 см.
6. В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 14 см, боковая сторона - 5 см. Найдите: а) высоту трапеции; б) синус острого угла при основании трапеции.
7. ABCD — прямоугольник. О — точка пересечения диагоналей. Найдите стороны ∆АОВ, если CD = 5 см, а АС= 8 см.
8. В прямоугольном треугольнике АВС (<С = 90˚) АВ = 41 см, АС = 9 см. Точки М и К - середины сторон АВ и АС соответственно. Найдите: а) длину отрезка МК; б) тангенсы острых углов.
9. Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 120°. Найдите расстояние между противолежащими сторонами ромба.
10. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.
11. Высота ВК, проведенная к стороне АД параллелограмма АВСД делит эту сторону на два отрезка АК = 7 см, КД = 15 см. Найдите площадь параллелограмма, если <А = 45°.
12. Точки Аи В делят окружность на две дуги ,длины которых относятся как 9:11.Найдите величину центрального угла, опирающегося  на меньшую из дуг.
13. Маль­чик про­шел от дома по на­прав­ле­нию на во­сток 800 м. Затем по­вер­нул на север и про­шел 600 м. На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от дома ока­зал­ся маль­чик?
14. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке Q. Найдите градусную меру <DQG.
15. Хорды АВ и СД пересекаются в точке Е. Найдите ЕД, если АЕ=0,2, ВЕ=0,5, СД=0,65.
16. Че­ло­век стоит на рас­сто­я­нии 12 м от стол­ба, на ко­то­ром висит фо­нарь, рас­по­ло­жен­ный на вы­со­те 9,5 м. Тень че­ло­ве­ка равна 3 м. Ка­ко­го роста че­ло­век (в мет­рах)?
17. Сто­ро­на AC тре­уголь­ни­ка ABC со­дер­жит центр опи­сан­ной около него окруж­но­сти. Най­ди­те , если . Ответ дайте в гра­ду­сах.

18.  Найти площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и СD если угол D равен 30, АВ=2 см, СD=10 см, DА=8 см. 

19.  В прямоугольнике ABCD найдите АD, если АВ= 5 см, АС=13 см.

20.  Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и СD пересекаются в точке О. Найдите АВ, если ОВ=4 см, ОD=10 см, DС=25 см.

21.  На одной из сторон данного угла А отложены отрезки Ав=5 см и АС=16 см.На другой стороне этого же угла отложены отрезки АD=8 см и АF= 8 см. Подобны ли треугольники АСD и АFВ ?

22.  Подобны ли треугольники ABC и А 1В 1С 1, если АВ = 3 см, ВС = 5 см,  СА = 7 см, А 1В 1=4,5 см,  В 1С = 7,5 см,  А 1С 1= 10,5 см ?

23.  В треугольнике ABC медианы AA 1 и ВВ 1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника АВО равна S.

24.  Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

25.  Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:  ∟BAC= ∟ACD и ∟BCA = ∟DAC

26.  Найдите стороны прямоугольника, если:  его площадь равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой

27.  Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

28.  Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса г. Найдите:  г, если ОА = 14 дм, ∟А= 90°.

29.  Треугольники ABC и А 1В1 С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника А 1В1 С1 на 77 см2. Найдите площади треугольников.

30. В подобных треугольниках ABC и KMN стороны АВ и КМ, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если АВ=4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см,  KM/AB=2,1

31.  Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: ВС=8,  АВ=17

32.  Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∟А = 36°, ∟С=117°.

33.  Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.

34.  Найдите углы параллелограмма ABCD, если: ∟А + ∟С=142°

35.  Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.

36.  В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если ∟CAD = 30°, АС=12 см.

37. В   окружность  вписан  треугольник  ABC  так,   что  АВ  - диаметр  окружности. Найдите углы треугольника, если:  дуга ВС=134°;
38. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см. а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника
39. Стороны прямоугольника равны 3 см и    см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
40. Докажите,   что   середины   сторон   произвольного   четырехугольника   являются вершинами параллелограмма.
41. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см. считая от основания. Найдите периметр треугольника.
42. Подобны ли треугольники ABC и МКР если:  АВ=3 см, ВС=5 см, СА=7 см, МК=4,5 см, КР=7,5 см, РМ = 10,5 см.
43. Диагонали  трапеции  ABCD  с  основаниями  АВ  и  CD  пересекаются   в  точке  О.  Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см.
44. Площади двух подобных треугольников равны 75  и 300. Одна из сторон второго треугольника равна 9 . Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.
45. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.
46. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см. а больший угол равен 135°.
47. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.
48. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен
49. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1,2,4,5.
50. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
51. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.
52. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см., гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе.
53. Найдите площадь трапеции с основаниями AD  и BC, если АD=12см, ВС=6см, СD=5см, АС=13см.
54. Найдите площадь параллелограмма, если АD =12см, ВD=5см, АВ=13см.