Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления. Компьютерные системы счисления

• 1 слайд

  СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ
  

• 2 слайд

  Ключевые слова
  система счисления
  цифра
  алфавит
  позиционная система счисления
  основание
  развёрнутая форма записи числа
  свёрнутая форма записи числа
  двоичная система счисления
  восьмеричная система счисления
  шестнадцатеричная система счисления
  

• 3 слайд

  Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
  Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа,.
  Алфавит системы счисления - совокупность цифр.
  Общие сведения
  Древнеславянская система счисления
  Вавилонская система счисления
  Египетская система счисления
  

• 4 слайд

  Узловые числа обозначаются цифрами.
  Узловые и алгоритмические числа
  Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
   100 +
   10 +
  =
  

• 5 слайд

  Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления.
  В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.
  Унарная система счисления
  Узелковое письмо «кипу»
  Зарубки
  Примеры узлов «кипу»
  Узелки, дощечки
  Камушки
  

• 6 слайд

  Римская система счисления
  40
  =
  X
  L
  1935
  M
  C
  M
  X
  X
  X
  28
  X
  X
  V
  I
  I
  I
  V
  Непозиционная система счисления
  Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.
  Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:
  каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
  

• 7 слайд

  Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.
  Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
  Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  Позиционная система счисления
  

• 8 слайд

  Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.
  Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.
  Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.
  Десятичная система счисления
  

• 9 слайд

  В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
  Aq =±(an–1qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1q–1+…+ a–m q–m)
  Здесь:
  А — число;
  q — основание системы счисления;
  ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
  n — количество целых разрядов числа;
  m — количество дробных разрядов числа;
  qi — «вес» i-го разряда.
  Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.
  Основная формула
  

• 10 слайд

  Aq =±(an–1  qn–1+ an–2  qn–2+…+ a0  q0+ a–1  q–1+…+ a–m  q–m)
  
  Примеры записи чисел в развёрнутой форме:
  
  2012=2103 +0102 +1101 +2100
  
  0,125=110-1 +210-2 +510–3
  
  14351,1=1104 +4103 +3102 +5101 +1100 +110–1
  Развёрнутая форма
  

• 11 слайд

  Двоичная система счисления
  Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2.
  Двоичный алфавит: 0 и 1.
  Для целых двоичных чисел можно записать:
  an–1an–2…a1a0 = an–12n–1 + an–22n–2 +…+ a020
  Например:
  
  100112 =124+023+022+121+120 = 24 +21 + 20 =1910
  
  
  
  Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:
  Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа
  

• 12 слайд

  Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления
  an–12n–1+an–22n–2+… a121 +a0
  
  = an–12n–2 +…+ a1 (остаток a0)
  2
  an–12n–1+an–22n–2+… a1
  
  = an–12n–3+…+ a2 (остаток a1)
  2
  . . .
  an–12n–1+an–22n–2+… a2
  
  = an–12n–4 +…+ a3 (остаток a2)
  2
  На n-м шаге получим набор цифр: a0a1a2…an–1
  

• 13 слайд

  36310 = 1011010112
  31410 = 1001110102
  Компактное оформление
  

• 14 слайд

  Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.
  Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
  an–1an–2…a1a0 = an–18n–1+an–28n–2+…+a080
  Пример: 10638 =183 +082+681+380=56310.
  Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
  Восьмеричная система счисления
  Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
  

• 15 слайд

  Основание: q = 16.
  Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
  3АF16 =3162+10161+15160 =768+160+15=94310.
  Шестнадцатеричная система счисления
  Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления
  15410 = 9А16
  154
  16
  9
  -144
  10
  (А)
  9
  16
  0
  

• 16 слайд

  1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
  2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
  3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.
  Цифровые весы
  Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
  

• 17 слайд

  Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16
  

• 18 слайд

  Двоичная арифметика
  Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:
  Арифметика одноразрядных двоичных чисел
  Арифметика многоразрядных двоичных чисел
  Умножение и деление двоичных чисел
  

• 19 слайд

  «Компьютерные» системы счисления
  Двоичная система используется в компьютерной технике, так как:
  двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
  представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
  двоичная арифметика наиболее проста;
  существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.
  Двоичный код удобен для компьютера.
  Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.
  

• 20 слайд

  Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
  Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.
  В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
  Aq =±(an–1qn–1 + an–2qn–2 +…+ a0q0 + a–1q–1 +…+ a–mq–m)
  Здесь:
  А — число;
  q — основание системы счисления;
  ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
  n — количество целых разрядов числа;
  m — количество дробных разрядов числа;
  qi — «вес» i-го разряда.
  Самое главное
  

• 21 слайд

  Вопросы и задания
  Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления?
  Цифры каких систем счисления приведены на рис.?
  Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.
  Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?
  Запишите в развёрнутом виде числа:
  а) 143,51110
  б) 1435118
  в) 14351116
  г) 1435,115
  Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:
  а) 1728
  б) 2ЕА16
  в) 1010102
  г) 10,12
  д) 2436
  Укажите, какое из чисел 1100112, 1114,358 и1В16 является:
  а) наибольшим
  б) наименьшим
  Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.
  Верны ли следующие равенства?
  а) 334 =217
  б) 338 =214
  Найдите основание х системы счисления, если:
  а) 14x=910
  б) 2002x=13010
  Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:
  а) 89
  б) 600
  в) 2010
  Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:
  а) 513
  б) 600
  в) 2010
  Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:
  а) 513
  б) 600
  в) 2010
  Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.
  Выполните операцию сложения над двоичными числами:
  а) 101010 + 1101
  б) 1010 + 1010
  в) 10101 + 111
  Выполните операцию умножения над двоичными числами:
  а) 1010 · 11
  б) 111 · 101
  в) 1010 · 111
  
  Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:
  а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000;
  б) 1100 ? 10 ? 10 = 100;
  в) 1100 ? 11 ? 100 = 0.
  Вычислите выражения:
  а) (11111012 +AF16):368
  б) 1258 + 1012 ·2A16 – 1418
  Ответ дайте в десятичной системе счисления.
  Задачник «Системы счисления»
  

• 22 слайд

  Опорный конспект
  Непозиционная
  В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
  Aq =±(an–1* qn–1 + an–2* qn–2 +…+ a0*q0 + a–1* q–1 +…+ a–m * q–m).
  Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
  Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
  Алфавит - совокупность цифр системы счисления.
  Система счисления
  Двоичная
  Десятичная
  Восьмеричная
  Шестнадцатеричная
  Римская
  Позиционная
  

• 23 слайд

  Электронные образовательные ресурсы
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Умножение и деление двоичных чисел
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – История развития систем счисления
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Задачник
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Развернутая форма записи числа
  http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Тренировочный тест
  

Урок 4. Восьмеричная и шестнадцатеричные системы счисления.

«Компьютерные» системы счисления

Планируемые образовательные результаты:

предметные – навыки перевода небольших десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, и восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления;

метапредметные – умение анализировать любую позиционную систему счисления как знаковую систему;

личностные – понимание роли фундаментальных знаний как основы современных информационных технологий.

Решаемые учебные задачи:

1) рассмотрение восьмеричной системы счисления как знаковой системы;

2) рассмотрение правила перевода восьмеричных чисел в десятичную систему счисления;

3) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в восьмеричную систему счисления;

4) рассмотрение шестнадцатеричной системы счисления как знаковой системы;

5) рассмотрение правила перевода шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления;

6) рассмотрение правила перевода целых десятичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления;

7) характеристика двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления с точки зрения их использования в компьютерной технике.

Основные понятия, изучаемые на уроке: система счисления; цифра; алфавит; позиционная система счисления; основание; развѐрнутая форма записи числа; свѐрнутая форма записи числа; двоичная система счисления; восьмеричная система счисления; шестнадцатеричная система счисления.

Используемые на уроке средства ИКТ: персональный компьютер (ПК) учителя, мультимедийный проектор, экран; ПК учащихся.

Электронные образовательные ресурсы

презентация «Системы счисления» из электронного приложения к учебнику;

ресурсы федеральных образовательных порталов:

1) анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (sc.edu.ru);

2) анимация «Арифметические операции в позиционных системах счисления» (sc.edu.ru);

3) анимация «Преобразование чисел между системами счисления 2, 8, 16» (sc.edu.ru);

4) анимация «Схема Горнера» (sc.edu.ru).

Ход урока

I.                  Орг. Момент

II.               Актуализация знаний, проверка усвоения изученного материала

1) проверка изученного материала по вопросам к §1.1;

2) визуальная проверка выполнения заданий в РТ;

3) рассмотрение заданий, вызвавших затруднения при выполнении

домашнего задания;

4) заслушивание краткого сообщения о методе разностей и алгоритме

выполнения № 21 (если есть ученик, выполнивший это задание).

III.           Изучение нового материала

Новый материал излагается в сопровождении презентации «Системы

счисления».

После краткого рассмотрения вопросов, связанных с восьмеричной

системой счисления, можно предложить ученикам в течение 5–7 минут

самостоятельно выполнить № 18.

В процессе изложения материала рекомендуется начать выполнение

заданий № 26, 27 и 31 в РТ.

Ответы и решения к заданиям в РТ.

№ 18. Если соединить точки 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-

18-19-20-21-22-23-1, то получится рисунок:

 № 25.

(1012; 10002), 6, 7;

(768; 1028), 63, 64, 65;

(1A16; 1F16), 27, 28, 29, 30.

№ 26.

25610 = 4008; 40010 = 6208.

123410 = 23118; 201210 = 37348.

№ 27.

25610 = 10016; 40010 = 19016.

123410 = 4D216; 201210 = 7DC16.

№ 31.

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

×	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Домашнее задание. §1.1 (п.3, 4), задания 12–13 к параграфу;

закончить решение № 26, 27 и 31 в РТ; выполнить № 19, 25 в РТ.

Дополнительное задание: познакомиться с анимациями «Схема Горнера»

и / или «Преобразование чисел между системами счисления 2, 8, 16».