Зачет №1 по математике на тему "Метод координат в пространстве" (11 класс)

Зачет № 1 по теме: «Метод координат в пространстве».

I вариант

Понятия и формулы

1.  Дайте определение радиус-вектора точки в пространстве. Назовите координаты радиус-вектора точки А(2; -1; 5).

2. Запишите формулу длины вектора в пространстве. Как она читается?

3. Запишите формулу вычисления косинуса угла между векторами в векторной форме. Как она читается?

4. Дайте определение центральной симметрии в пространстве.

5. Дайте определение скалярного произведения векторов в пространстве.

Вопросы теории

1. Верно ли, что при симметрии сохраняются расстояния между точками?

2. Закончите утверждение: «Если две точки симметричны относительно плоскости Оxz, то их ординаты …».

3. При каком условии скалярное произведение векторов а и b: а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?

4. Первая координата ненулевого вектора а равна нулю. Как расположен вектор а по отношению к координатной оси Оx?

5. Верно ли, что точки, симметричные относительно оси Оz, имеют противоположные аппликаты?

6.  Закончите утверждение: «Если вектор p лежит на прямой а, то при параллельном переносе на вектор  р прямая а …».

7^*. Может ли длина вектора, перпендикулярного к одной из координатных плоскостей, быть больше любой его координаты?

8^*. Закончите утверждение: «Если при осевой симметрии плоскость отображается на себя, то она перпендикулярна к оси симметрии либо …».

Задачи

1. Коллинеарны ли векторы  а и b.

2. Даны векторы а , b и с. Найдите координаты вектора

р = 3b – 2a + c.

3.  Дан вектор а. Назовите координатный вектор, образующий с вектором а тупой угол.

4. При зеркальной симметрии куба АВCDA₁B₁C₁D₁ относительно одной из плоскостей его симметрии ребро АА₁ отображается на ребро ВА. Назовите  плоскость симметрии.

5^*.  Найдите точку, равноудаленную от точек А(-2; 3; 5) и В(3; 2; -3) и расположенную на оси Оy.

6^*. Даны точки А(0; 0; -2), В(-1; 4; -2) и С(0; 4; 0). Среди данных точек назовите ту, радиус-вектор которой образует наибольший угол с вектором k.

Зачет № 1 по теме: «Метод координат в пространстве».

II вариант

Понятия и формулы

1. Сформулируйте правило вычисления координат вектора по координатам его концов.

2. Запишите формулу координат середины отрезка. Как она читается?

3. Запишите формулу вычисления косинуса угла между векторами в координатной форме. Как она читается?

4. Дайте определение осевой симметрии в пространстве.

5. Дайте определение понятию движения.  Перечислите виды движений.

Вопросы теории

1. Верно ли, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками?

2. Закончите утверждение:  «Если две точки симметричны относительно оси Оz, то они имеют равные …».

3. Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если одна её координата равна нулю?

4.  Векторы а и b  имеют длины а и b. Чему равно скалярное произведение векторов а и b, если угол между векторами равен 45°.

5. Верно ли, что точки, симметричные относительно плоскости Оxz, имеют противоположные ординаты?

6. Закончите утверждение: «Если вектор  р  лежит на прямой, параллельной прямой а, то при параллельном переносе на вектор  р  прямая а …».

7^*.  Может ли длина вектора, перпендикулярного к одной из координатных осей, быть больше любой его координаты?

8^*. Закончите утверждение: «Если при зеркальной симметрии прямая отображается на себя, то она лежит в плоскости симметрии либо …».

Задачи

1. Даны точки А(1; 3; 0), В(2; 3; -1) и С(1; 2; -1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.

2. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А(0; 3; -4) и В(-6; 2; 0).

3.  Дан вектор а. Назовите координатный вектор, образующий с вектором а острый  угол.

 4. При зеркальной симметрии куба АВCDA₁B₁C₁D₁ относительно одной из плоскостей его симметрии ребро ВВ₁ отображается на ребро ВА. Назовите  плоскость симметрии.

5^*.  Найдите точку, равноудаленную от точек А(-2; 3; 5) и В(3; 2; -3) и расположенную на оси Оz.

6^*. Даны точки А(0; 0; -2), В(-1; 4; -2) и С(0; 4; 0). Среди данных точек назовите ту, радиус-вектор которой образует наименьший угол с вектором  j.

Зачет № 1 по теме: «Метод координат в пространстве».

III вариант

Понятия и формулы

1. Сформулируйте правило, как ввести прямоугольную систему координат в пространстве?

2. Запишите формулу расстояния между двумя точками в пространстве. Как она читается?

3. Запишите формулу вычисления скалярного произведения двух векторов по их координатам. Как она читается?

4. Дайте определение зеркальной симметрии в пространстве.

5. Запишите формулу разложения вектора а по координатным векторам.

Вопросы теории

1. Первая и вторая координаты ненулевого вектора а равны нулю. Как расположен вектор а по отношению к осям координат?

2. Может ли вектор с тремя ненулевыми координатами быть параллельным одной из координатных плоскостей?

3. Может ли вектор, коллинеарный одному из координатных векторов, иметь ровно одну ненулевую координату?

4. Какие координаты имеет точка А , если при осевой симметрии относительно прямой а точка

В(2; 0; 3) переходит в точку С(3; -2; 5), причем А  ВС?

5. Чему равны координаты суммы, разности векторов и произведения вектора на число?

6. Определите, при каком виде симметрии в кубе АВCDA₁B₁C₁D₁ точка А отображается на точку С, а точка D₁ – на себя.

7^*. Ордината точки М равна 5, а ордината точки N  равна 2. Как расположен отрезок МN по отношению к оси Оy если его длина равна 3?

8^*. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Оx и Оy, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(4; 5; -7) переходит в точку М₁(-1; 5; -7)?

Задачи

1. Дана точка М(0; -3; 8). Назовите координатный вектор, образующий с радиус-вектором ОМ наибольший угол.

2.  Коллинеарны ли векторы с  и d ?

3. Даны векторы а , b и с. Найдите координаты вектора

q = 3c – 2b + a.

4.  При симметрии относительно некоторой точки точка А отображается на точку В. Назовите центр симметрии, если А(-1; -2; -3), В(1; 2; 3).

5. Найдите угол между прямыми АВ и СD, если А(3; -2; 4), В(4; -1; 2), С(6; -3; 2), D(7; -3; 1).

6^*.  Найдите точку, равноудаленную от точек А(-2; 3; 5) и В(3; 2; -3) и расположенную на оси Оx.

Зачет № 1 по теме: «Метод координат в пространстве».

IV вариант

Понятия и формулы