Зачет по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Зачет по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Теоретические вопросы

1.     Определение перпендикулярности прямой и плоскости

2.     Признак перпендикулярности прямой и плоскости

3.     Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости

4.     Теорема о трех перпендикулярах

5.     Определение угла между прямой и плоскостью

Задачи

1.     В тетраэдре ДАВС АД  АС, АД  АВ, ДС  СВ.

А) Докажите, что АД  ВС.

Б) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АДС.

В) Найдите площадь треугольника ВСА, если ВС= 4, АС = 3.

      2. Отрезок АВ пересекает некоторую плоскость в точке О. Прямые АД и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках Д и С соответственно, АД = 6 см, ВС = 2 см, ОС = 1,5 см. Найдите АВ.

       3. Отрезок АВ, равный 5 см, не имеет  общих точек с плоскостью α. Прямые АС и ВД, перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках С и Д соответственно. Найдите ВД, если СД = 3 см, АС = 17 см, ВД < АС.

       4. Прямая СД перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника АВС. СК – его высота. Докажите, что прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДКС, если ДА =  √2 см, а  ДАК = 45˚.

         5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см,  В = 30˚. Прямая ВД перпендикулярна плоскости треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от точки В до плоскости АДС.

         6. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника АВСД. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30˚, АД = √2, СД = 2. Найдите АМ.

         7. В параллелограмме АВСД АВ = 20 см,   ВАД = 45˚, ВМ – перпендикуляр к  плоскости АВС. Угол между прямой МА и плоскостью АВС равен 60˚. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС.

         8. Точка О – центр квадрата АВСД. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости АВСД. Доказать, что отрезки АМ, ВМ и ДМ равны.

         9. В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 20 см, ВС = 24 см. Отрезок МА перпендикулярен плоскости АВС и имеет длину 12 см. Найти расстояние от точки М до прямой ВС.

         10. АВСД – квадрат, ВМ   АВС. Найдите отрезок ДМ, если АВ = √12 см, а ВМ = 5 см.

         11. Треугольник АВС – прямоугольный,   С = 90˚, АС = 8 см, ВС = 6 см. Отрезок СД – перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите СД, если расстояние от точки Д до стороны АВ равно 5 см.

         12. Треугольник МКН равносторонний со стороной, равной 18 см. Точка С удалена от вершин треугольника МКН на 12 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости МКН.

         13. АВСД – квадрат. Точка М удалена от сторон квадрата на 3√2 см. Найдите периметр квадрата, если точка М удалена от плоскости АВС на √2 см.

         14. АВСДА₁В₁С₁Д₁ – куб. Найдите расстояние между прямыми АВ₁ и ВС, если ребро куба равно 2√2 см.

         15. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны к плоскости α и пересекают ее в точках А₁ и В₁ соответственно.  Найдите АВ, если А₁А = 4 см,   А₁АО = 60˚, А₁О : ОВ = 1 : 2.

         16. Из точки А к плоскости α проведены наклонные АВ и АС. Найдите расстояние от точки А до плоскости α, если АВ = 20 см, АС = 15 см, а длины проекций АВ и АС на плоскость α относятся как 16 : 9.

         17. Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка АВ, если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45˚, а расстояние между данными плоскостями равно 4√2 дм.

         18. В треугольнике АВС АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см. Через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВД длиной 15 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС.

         19. Диагонали квадрата АВСД пересекаются в точке О. КО – перпендикуляр к плоскости квадрата, КО = 4√2 см. Докажите равенство углов, образуемых прямыми КА, КВ, КС и КД с плоскостью квадрата. Найдите эти углы, если периметр АВСД равен 32 см.

         20. Треугольник АСД -  равносторонний. Точка Х удалена от вершин треугольника АСД на 6 см, а от плоскости треугольника АСД на 3 см. Найдите сторону треугольника АСД.